10.3.2: Ecuaciones y Desigualdades y Valor Absoluto

Objetivos de aprendizaje

• Resolver ecuaciones que contienen valores absolutos.
• Resolver desigualdades que contienen valores absolutos.
• Identificar casos de ecuaciones y desigualdades que contengan valores absolutos que no tengan soluciones.

Introducción

El valor absoluto de un número o expresión describe su distancia desde 0 en una recta numérica. Dado que el valor absoluto expresa solo la distancia, no la dirección del número en una recta numérica, siempre se expresa como un número positivo o 0.

Por ejemplo, -4 y 4 tienen un valor absoluto de 4 porque cada uno son 4 unidades de 0 en una línea numérica, aunque están ubicados en direcciones opuestas a 0 en la línea numérica.

A la hora de resolver ecuaciones de valores absolutos y desigualdades, hay que considerar tanto el comportamiento del valor absoluto como las propiedades de igualdad y desigualdad.

Resolver ecuaciones que contienen valores absolutos

Debido a que tanto los valores positivos como los negativos tienen un valor absoluto positivo, resolver ecuaciones de valores absolutos significa encontrar la solución tanto para los valores positivos como para los negativos.

Veamos primero un ejemplo muy básico.

\(\ |x|=5\)

Esta ecuación se lee “el valor absoluto de\(\ x\) es igual a cinco”. La solución es el (los) valor (es) que están a cinco unidades de distancia de 0 en una recta numérica.

Podrías pensar en 5 de inmediato; esa es una solución a la ecuación. Observe que -5 también es una solución porque -5 está a 5 unidades de distancia de 0 en la dirección opuesta. Entonces, la solución a esta ecuación\(\ |x|=5\) es\(\ x=-5\) o\(\ x=5\).

Un problema de valor absoluto más complejo se resuelve de manera similar. Considerar\(\ |x+5|=15\). Esta ecuación te pide encontrar qué número más 5 tiene un valor absoluto de 15. Dado que 15 y -15 ambos tienen un valor absoluto de 15, la ecuación del valor absoluto es verdadera cuando la cantidad\(\ x+5\) es 15 o\(\ x+5\) es -15, ya que\(\ |15|=15\) y\(\ |-15|=15\). Entonces, necesitas averiguar qué valor para\(\ x\) hará que esta expresión sea igual a 15 así como qué valor para\(\ x\) hará que la expresión sea igual a -15. Resolviendo las dos ecuaciones que obtienes:

\ (\\ begin {array} {r}
x+5&=15 &\ text {o} x+5&=-15\\
\ -5&\ -5&\ -5\\\ hline x
\\\\ hline x\\\\\ &= 10 &\ texto {o} x\\\\\\ &=-20
\ end {array}\\)

Puedes verificar estas dos soluciones en la ecuación de valor absoluto para ver si\(\ x=10\) y\(\ x=-20\) son correctas.

\ (\\ begin {array} {rr}
|x+5 |=15 & |x+5|=15\\
|10+5|=15 & |-20+5|=15\\
|15|=15 & |-15|=15\\
15=15 & 15=15
\ end {array}\)

Resolviendo Ecuaciones de la Forma\(\ |x|=a\)

Para cualquier número positivo\(\ a\), la solución de\(\ |x|=a\) es

\(\ x=a\)o\(\ x=-a\)

\(\ x\)puede ser una sola variable o cualquier expresión algebraica.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo

Resolver para\(\ p\).

\(\ |2 p-4|=26\)

Solución

\(\ 2 p-4=26 \text { or } 2 p-4=-26\)	Escribe las dos ecuaciones que darán un valor absoluto de 26.
\ (\\ begin {array} {r} 2 p-4&=26 && 2 p-4&=-26\ \\ +4 &\ +4 &&\ +4 &\ +4 \\\ hline\ frac {2 p} {2}\\\\\ &=\ frac {30} {2} &&\ frac {2 p} {2}\\\\\ &= ac {-22} {2}\\ p\\\\\\ &=15 &\ texto {o} & p\\\\\\ &=-11 \ end {array}\)	Resuelve cada ecuación\(\ p\) aislando la variable.
Cheque \ (\\ begin {array} {rr} |2 p-4|=26 & |2 p-4|=26\\ |2 (15) -4|=26 & |2 (-11) -4|=26\\ |30-4|=26 & |-22-4|=26\\ |26|=26 & |-26|=26 \ end {array}\)	Verifique las soluciones en la ecuación original. Ambas soluciones verifican!

\(\ p=15 \text { or } p=-11\)

En ocasiones, hay que aislar un valor absoluto antes de resolver la ecuación. A continuación se muestra un ejemplo.

Ejemplo

Resolver para\(\ w\).

\(\ 3|4 w-1|-5=10\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 3|4 w-1|-5&= 10\\ \ +5 &\ +5\ \ hline\ frac {3|4 w-1|} {3}\\\\\\ &=\ frac {15} {3} \ end {array}\)	Aísle el término con el valor absoluto sumando 5 a ambos lados. Divide ambos lados por 3.
\(\ |4 w-1|=5\)	Ahora el valor absoluto está aislado.
\ (\\ begin {array} {r} 4 w-1&=\ 5 && 4 w-1&=-5\ \\ +1 &\ +1 &\ text {o} &\ +1 &\ +1\ \ hline\ frac {4 w} {4}\\\\ &=\ frac {6} {4} &&\ frac {4 w} {4} {4}\\\\ & =\ frac {-4} {4}\\ w\\\\\\ &=\ frac {3} {2} && w\\\\\\\ &=-1 \ end {array}\) \(\ w=\frac{3}{2} \text { or }-1\)	Escribe las dos ecuaciones que darán un valor absoluto de 5 y las resolverán.
Cheque \ (\\ begin {array} {rrr} 3|4 w-1|-5=10 y 3|4 w-1|-5=10\\ 3\ izquierda|4\ izquierda (\ frac {3} {2}\ derecha) -1\ derecha|-5=10 y 3|4 w-1|-5=10\\ 3\ izquierda|\ frac {12} {2} -1\ derecha|-5=10 & 3|4 (-1) -1|-5=10\\ 3|6-1|-5=10 & 3|-4-1|-5=10\\ 3 (5) -5=10 & 3|-5|-5=10\\ 15-5=10 & 15-5=10\\ 10=10 & 10=10 \ end {array}\)	Verifique las soluciones en la ecuación original. Ambas soluciones verifican!

\(\ w=-1 \text { or } w=\frac{3}{2}\)

Echemos un vistazo a un ejemplo más:

Resolver para\(\ y\):

\(\ |3 y-5|=-1\)

Antes de eliminar el signo de valor absoluto y hacer dos ecuaciones, piense en lo que significa esta ecuación. Se lee “el valor absoluto de la cantidad\(\ 3y\) menos 5 es igual a -1”. Recuerde que un valor absoluto es la distancia desde 0 en una recta numérica, por lo que debe ser un número positivo. Como es imposible tener un valor absoluto igual a -1, esta ecuación no tiene solución. No hay valores para\(\ y\) eso hará de esta una verdadera afirmación. No hay trabajo adicional necesario para saber que esta ecuación no tiene soluciones.

Resolver desigualdades que contienen valores absolutos

Vamos a aplicar lo que sabes sobre la resolución de ecuaciones que contienen valores absolutos y lo que sabes sobre las desigualdades para resolver desigualdades que contienen valores absolutos. Empecemos con una simple desigualdad.

\(\ |x| \leq 4\)

Esta desigualdad se lee, “el valor absoluto de\(\ x\) es menor o igual a 4”. Si se le pide que resuelva\(\ x\), desea averiguar qué valores de\(\ x\) están a 4 unidades o menos de 0 en una recta numérica. Podrías comenzar pensando en la recta numérica y qué valores de\(\ x\) satisfacerían esta ecuación.

4 y -4 están ambas a cuatro unidades de distancia de 0, por lo que son soluciones. 3 y -3 también son soluciones porque cada uno de estos valores está a menos de 4 unidades de distancia de 0. Así son 1 y -1, 0.5 y -0.5, y así sucesión—hay un número infinito de valores para\(\ x\) eso satisfará esta desigualdad.

El gráfico de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, a 4 y -4. La distancia entre estos dos valores en la recta numérica está coloreada en azul porque todos estos valores satisfacen la ecuación.

La solución se puede escribir de esta manera:\(\ -4 \leq x \leq 4\).

La situación es un poco diferente cuando el signo de desigualdad es “mayor que” o “mayor que o igual a”. Considera la simple desigualdad\(\ |x|>3\). Nuevamente, se podría pensar en la recta numérica y qué valores de\(\ x\) están a más de 3 unidades de distancia de cero. Esta vez, 3 y -3 no están incluidos en la solución, por lo que hay círculos abiertos en ambos valores. 2 y -2 no serían soluciones porque no están a más de 3 unidades de distancia de 0. Pero, 5 y -5 funcionarían y así lo harían todos los valores extendiéndose a la izquierda de -3 y a la derecha de 3. La gráfica se vería como la de abajo.

La solución a esta desigualdad se puede escribir de esta manera:\(\ x<-3\) o\(\ x>3\).

Resolver desigualdades de valor absoluto

Para cualquier valor positivo de\(\ a\):

\(\ |x| \leq a\)es equivalente a\(\ -a \leq x \leq a\) (esta regla también se aplica para\(\ |x|<a\))

\(\ |x| \geq a\)es equivalente a\(\ x \leq-a\) o\(\ x \geq a\) (esta regla también se aplica para\(\ |x|>a \mid\))

\(\ x\)puede ser una sola variable o cualquier expresión algebraica.

Ejercicio

Resolver la desigualdad:\(\ |p| \leq 5\)

1. \(\ p \leq-5 \text { or } p \geq 5\)
2. \(\ -5 \leq p \leq 5\)
3. \(\ p \leq-5\)
4. Sin solución

Contestar

1. Incorrecto. Esta es la solución a\(\ |p| \geq 5\). Por ejemplo, 7, que es mayor que 5, no es una solución a la desigualdad original porque\(\ |7|\) es 7, que no es menor que 5. La respuesta correcta es\(\ -5 \leq p \leq 5\).
2. Correcto. Los valores de\(\ p\) que son mayores o iguales a -5 y menores o iguales a 5 satisfacen esta desigualdad.
3. Incorrecto. Si sustituye un valor inferior a -5 en la desigualdad original, obtiene una declaración falsedad. Por ejemplo, si\(\ p=-10\), un valor menor a -5, entonces\(\ |-10| \leq 5\). Esto no es cierto porque el valor absoluto de -10 es 10 y 10 no es menor o igual a 5. La respuesta correcta es\(\ -5 \leq p \leq 5\).
4. Incorrecto. Los valores mayores o iguales a -5 y menores o iguales a 5 satisfacen la desigualdad. La respuesta correcta es\(\ -5 \leq p \leq 5\).

Veamos algunos ejemplos más de desigualdades que contienen valores absolutos.

Ejemplo

Resolver para\(\ x\).

\(\ |x+3|>4\)

Solución

\(\ x+3<-4 \text { or } x+3>4\) \ (\\ begin {array} {rrrr} x+3<&-4 && x+3> & 4\\ -3\\\\ & -3 && -3\\\\ & -3\\\ \ hline x\\\\\\ <&-7 &\ text {o} & x\\\\\\\\ >& 1 \ fin {matriz}\) \(\ x<-7 \text { or } x>1\)	Dado que se trata de una desigualdad “mayor que”, la solución puede reescribirse de acuerdo con la regla de “mayor que”. Resolver cada desigualdad.
\ (\\ begin {array} {rr} |x+3|>&4&|x+3|&>4\\ |-7+3|=&4&|1+3|&=4\\ |-4|=&4 &|4|&=4\\ 4=&4 & 4&=4 \ end {array}\)	Verifique las soluciones en la ecuación original para asegurarse de que funcionan. Verifique el punto final de la primera ecuación relacionada, -7. Prueba -10, un valor menor que -7, para comprobar la desigualdad.
Cheque \ (\\ begin {array} {r} |x+3|&>4&|x+3|&>4\\ |-10+3|&>4&|5+3|&>4\\ |-7|&>4 &|8|&>4\\ 7&>4 &8&>4 \ end {array}\)	Verifique el punto final de la segunda ecuación relacionada, 1. Prueba 5, un valor mayor que 1. Ambas soluciones verifican!

\(\ x<-7 \text { or } x>1\)

Ejemplo

Resolver para\(\ y\).

\(\ 3|2 y+6|-9<27\)

Solución

\ begin {array} {r} 3|2 y+6|-9<&27\\ \ +9\\\\ &\ +9\\ \ hline 3|2 y+6|\\\\\\\\ <&36 \ end {array}	Empezar a aislar el valor absoluto sumando 9 a ambos lados de la desigualdad.
\(\ \frac{3|2 y+6|}{3}<\frac{36}{3}\)	Divide ambos lados por 3 para aislar el valor absoluto.
\(\ |2 y+6|<12\) \ (\\\ begin {array} {r} -12<&2 y+6<&12\ \\ -6\\\\ & -6\\\\ & -6\\ \ hline-18<&2 y\\\\ quad<&6\\ \ frac {-18} {2} <&\ frac {2 y} {2}\\\\\\\ <&\ frac {6} {2}\\ -9<&y\\\\\\\ <&3 \ end {array}\)	Escribe la desigualdad del valor absoluto usando la regla “menos que”. Restar 6 de cada parte de la desigualdad. Dividir por 2 para aislar la variable.

\(\ -9<y<3\)

Al igual que con las ecuaciones, puede haber instancias en las que no haya solución a una desigualdad.

Ejemplo

Resolver para\(\ x\).

\(\ |2 x+3|+9 \leq 7\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} |2 x+3 |+9\ leq& 7\\ \ -9\\\\ &\ -9\\ \ hline|2 x+3 |\\\\\\\ leq&\ -2 \ end {array}\\)

Aislar el valor absoluto restando 9 de ambos lados de la desigualdad. El valor absoluto de una cantidad nunca puede ser un número negativo, por lo que no hay solución a la desigualdad.

Sin solución

Resumen

Para resolver una ecuación que contenga un valor absoluto, se desea aislar la expresión de valor absoluto. Una vez hecho esto, se puede reescribir la ecuación del valor absoluto como dos ecuaciones, donde una de las sentencias equipara el valor dentro del valor absoluto a la cantidad positiva del otro lado de la ecuación y una que equipara el valor con el valor absoluto al valor negativo (u opuesto).

Las desigualdades también pueden contener valores absolutos. Las desigualdades absolutas también se pueden resolver reescribiéndolas usando desigualdades compuestas.