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11.2.6: Dividir por binomios y polinomios

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    111470

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje
    • Dividir un polinomio por un binomio.
    • Dividir un polinomio por otro polinomio.

    Introducción

    La división de un polinomio por un monomio se puede manejar dividiendo cada término en el polinomio por separado. Esto no se puede hacer cuando el divisor tiene más de un término. Sin embargo, el proceso de división larga puede ser muy útil con polinomios.

    Dividir por un binomio

    Primero, recuerda cómo puedes usar la división larga para dividir dos números enteros, digamos 900 divididos por 37.

    \(\ 3 7 \longdiv { {\color{red}9 0} 0 }\)

    Primero, pensarías en cuántos 37 hay en 90, ya que 9 es demasiado pequeño. (Nota: también se podría pensar, cuántos 40 hay en 90.)

    \ (\\ begin {array} {r}
    \ color {rojo} 2\\\\\\
    3 7\ longdiv {{\ color {rojo} 90} 0}\\\
    \ color {rojo} 74\\\
    \ final {array}\\)    		 Hay dos 37s en 90, así que escribe 2 por encima del último dígito de 90. Dos 37s es 74; escribe ese producto por debajo del 90.
    \ (\\ begin {array} {r}
    \ color {rojo} 2\\\\\\\
    3 7\ longdiv {{\ color {rojo} 9 0} 0}\\
    \\ color {rojo} -74\\\\\
    \ hline\ color {rojo} 16\\\
    \ final {matriz}\\)    		 Restar:\(\ 90-74\) es 16. (Si el resultado es mayor que el divisor, que es 37, entonces necesita usar un número mayor para el cociente).
    \ (\\ begin {array} {r}
    2\\\\\\
    37\ longdiv {900}\\
    -74\\\\\ hline
    \\\ hline\ color {rojo} 160
    \\ end {array}\)    		 Baje el siguiente dígito (0) y considere cuántos 37 hay en 160.
    \ (\\ begin {array} {r}
    2\ color {rojo} 4\\\
    37\ longdiv {900}\\
    -74\\\\
    \ hline\ color {rojo} 160\\\
    \ color {rojo} -148\\\
    \ hline
    \ fin {matriz}\)    		 Hay cuatro 37s en 160, así que escribe el 4 junto a los dos en el cociente. Cuatro 37s es 148; escribe ese producto por debajo del 160.
    \ (\\ begin {array} {r}
    24\\\
    37\ longdiv {900}\\
    -74\\\\
    \ hline\ color {rojo} 160\\\
    \ color {rojo} -148\\\
    \ hline\ color {rojo} 12\
    \ end {array}\)    		 Restar:\(\ 160-148\) es 12. Esto es menor a 37 por lo que el 4 es correcto. Ya que no hay más dígitos en el dividendo para derribar, ya terminaste.

    La respuesta final es 24R12, o\(\ 24 \frac{12}{37}\). Puedes verificar esto multiplicando el cociente (sin el resto) por el divisor, y luego agregando el resto. El resultado debe ser el dividendo:

    \(\ 24 \cdot 37+12=888+12=900\)

    Para dividir polinomios, utilice el mismo proceso. Este ejemplo muestra cómo hacer esto al dividir por un binomio.

    Ejemplo

    Dividir:\(\ \left(x^{2}-4 x-12\right) \div(x+2)\)

    Solución

    \(\ {\color{red}x} + 2 \longdiv { {\color{red}x ^ { 2 }} - 4 x - 1 2 }\) ¿Cuántos\(\ x \text { 's }\) hay en\(\ x^{2}\)? Es decir, ¿qué es\(\ \frac{x^{2}}{x}\)?
    \ (\\\ begin {array} {r}
    \ color {rojo} x\\\\\\\\\\\\
    {\ color {rojo} x} + 2\ longdiv {{\ color {rojo} x ^ {2}} - 4 x - 1 2}
    \\\\ color {rojo} -\ izquierda (x^ {2} +2 x\ derecha)\\\\\
    \ hline
    \ end {array}\)

    \(\ \frac{x^{2}}{x}=x\). Poner\(\ x\) en el cociente por encima del\(\ -4x\) término. (Estos son como términos, lo que ayuda a organizar el problema).

    Escribe el producto del divisor y la parte del cociente que acabas de encontrar debajo del dividendo.
    \ (\\\ comenzar {array} {r}
    \ color {rojo} x\\\\\\\\\\\\\
    {\ color {rojo} x} + 2\ longdiv {{\ color {rojo} x ^ {2}} - 4 x - 1 2}
    \\\\ color {rojo} -x^ {2} -2 x\\\\\\\
    \ hlínea
    \ end {array}\)    		 Ya que\(\ x(x+2)=x^{2}+2 x\), escribe esto debajo, y prepárate para restar.
    \ (\\\ comenzar {array} {r}
    \ color {rojo} x\\\\\\\\\\\\\
    {\ color {rojo} x} + 2\ longdiv {{\ color {rojo} x ^ {2}} - 4 x - 1 2}
    \\\\ color {rojo} -x^ {2} -2 x\\\\\\\
    \ hlínea
    \ end {array}\)    		 Reescribe\(\ -\left(x^{2}+2 x\right)\) como su opuesto\(\ -x^{2}-2 x\) para que puedas agregar lo contrario. (Sumar lo contrario es lo mismo que restar, y es más fácil de hacer).
    \ (\\\ begin {array} {r}
    \ color {rojo} x\\\\\\\\\\\
    {\ color {rojo} x} +2\ longdiv {{\ color {rojo} x^2} -4x-12}
    \\\ color {rojo} -x^2-2x\\\\\\\\\
    \\ hline\ color {rojo} -6x\\\\\\\\
    \ end {array}\)    		 Agregar\(\ -x^{2}\) a\(\ x^{2}\), y\(\ -2 x\) a\(\ -4 x\).
    \ (\\\ comenzar {matriz} {r}
    x\\\\\\\\\\\
    x + 2\ longdiv {x ^ {2} - 4 x - 1 2}\\\\
    -x^2-2x\\\\\\\\\\\
    \ hline\ color {rojo} -6x-12\\
    \ final {matriz}\\)    		 Derriba -12.
    \ (\\\ begin {array} {r}
    x\\\\\\\\\\\\
    {\ color {rojo} x} +2\ longdiv {x^2-4x-12}\\\
    -x^2-2x\\\\\\\\\\\ hline {\\\\
    \ hline {\\ color {rojo} -6x} -12\\\
    \ end {array}\\)

    Repita el proceso. ¿Cuántas veces\(\ x\) entra\(\ -6x\)?

    En otras palabras, ¿qué es\(\ \frac{-6 x}{x}\)?
    \ (\\ comenzar {array} {r}
    x\ color {rojo} -\\\ 6\\\
    {\ {\ color {rojo} x} + 2\ longdiv {x ^ {2} - 4 x - 1 2}\\
    -x^ {2} -2 x\\\\\\\\\
    \ hline {\\\ color {rojo} -6 x} -12\\\
    \ color {rojo} - ( -6x-12)\\
    \ hline
    \ end {array}\)    		 Ya que\(\ \frac{-6 x}{x}=-6\), escribe -6 en el cociente. Multiplica -6\(\ x+2\) y prepara para restar el producto.
    \ (\\ comenzar {matriz} {r}
    x\ color {rojo}\\ -6\\\
    {\ color {rojo} x} + 2\ longdiv {x ^ {2} - 4 x - 1 2}\\
    -x^2-2x\\\\\\\\\ hline {\\\
    \ hline {\\ color {rojo} -6x} -12\\\
    \ color {rojo} 6 x+12 \\
    \ hline
    \ end {array}\)    		 Reescribe\(\ -(-6 x-12)\) como\(\ 6 x+12\), para que puedas agregar lo contrario.
    \ (\\ begin {array} {r}
    x\ color {rojo} -\\\ 6\\\
    {\ {\ color {rojo} x} + 2\ longdiv {x ^ {2} - 4 x - 1 2}\\
    -x^ {2} -2 x\\\\\\\\
    \\ hline\ color {rojo} -6 x\ -12\
    \ color {rojo} 6 x\ +12\\
    \ hline\ color {rojo} 0
    \ end {array}\)    		 Agregar. En este caso, no hay resto, así que ya terminaste.

    \(\ \left(x^{2}-4 x-12\right) \div(x+2)=x-6\)

    Compruebe esto multiplicando:

    \(\ (x-6)(x+2)=x^{2}+2 x-6 x-12=x^{2}-4 x-12\)

    Probemos otro ejemplo. En este ejemplo, un término “falta” en el dividendo.

    Ejemplo

    Dividir:\(\ \left(x^{3}-6 x-10\right) \div(x-3)\)

    Solución

    \(\ x - 3 \longdiv { x ^ { 3 } {\color{red}+ 0 x ^ { 2 }} - 6 x - 1 0 }\) Al establecer este problema, observe que hay un\(\ x^{3}\) término pero ningún\(\ x^{2}\) término. Agregar\(\ 0 x^{2}\) como “lugar titular” para este término. (Desde 0 veces cualquier cosa es 0, no estás cambiando el valor del dividendo.)
    \ (\\\ begin {array} {r}
    \ color {rojo} x^2\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
    {\ color {rojo} x} - 3\ longdiv {{\ color {rojo} x ^ {3}} + 0 x ^ {2} - 6 x - 1 0}\\
    \ color {rojo} -\ izquierda (x^ {3} -3 x^ {2}\\ derecha)\\\\\\\\\\\\\\\\\ \
    \ hline
    \ end {array}\)    		 Enfócate de nuevo en los primeros términos: ¿cuántos\(\ \text { x's }\) hay en\(\ x^{3}\)? Ya que\(\ \frac{x^{3}}{x}=x^{2}\), poner\(\ x^{2}\) en el cociente.
    \ (\\\\ begin {array} {r}
    x^2\\\\\\\\\\\\\\\\\
    x - 3\ longdiv {{\ color {rojo} x ^ {3} + 0 x ^ {2}} - 6 x - 1 0}
    \\\\ color {rojo} -x^3+3x^2\\\\\\\\\\\\\
    \ hline\ color {rojo} 3x^2\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
    \ final {matriz}\)

    Multiplicar

    \(\ x^{2}(x-3)=x^{3}-3 x^{2}\)y escribe esto debajo del dividendo y prepárate para restar.
    \ (\\\\ begin {array} {r}
    x^2\\\\\\\\\\\\\\\\\
    x - 3\ longdiv {{\ color {rojo} x ^ {3} + 0 x ^ {2}} - 6 x - 1 0}
    \\\\ color {rojo} -x^3+3x^2\\\\\\\\\\\\\
    \ hline\ color {rojo} 3x^2\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
    \ final {matriz}\)

    Reescribe la resta usando lo contrario de la expresión\(\ x^{3}-3 x^{2}\).

    A continuación, agregue.
    \ (\\\\ begin {array} {r}
    x^2\\\\\\\\\\\\\\\\
    x - 3\ longdiv {x ^ {3} + 0 x ^ {2} - 6 x - 1 0}\\
    -x^3+3x^2\\\\\\\\
    \ hline 3x^2\ color {rojo} -6x-10\
    \ end {array}\)    		 Derribar el resto de la expresión en el dividendo. Es útil derribar todos los términos restantes.
    \ (\\\ begin {array} {r}
    x^2\ color {rojo} +3x\\\\\\\\\\
    x - 3\ longdiv {x ^ {3} + 0 x ^ {2} - 6 x - 1 0}\\
    -x^3+3x^2\\\\\\\\\
    \ hline 2-6x-10\\\
    \ color {rojo} - (3x^2-9x)\\\\\\\
    \ hline
    \ end {array}\)    		 Ahora, repita el proceso con la expresión restante como el dividendo:\(\ 3 x^{2}-6 x-10\).
    \ (\\\ begin {array} {r}
    x^2+3x\\\\\\\\\\
    x - 3\ longdiv {x ^ {3} + 0 x ^ {2} - 6 x - 1 0}\\\
    -x^3+3x^2\\\\\\\\\\\\\\\\ hline {\\\\\\\ hline {\\\\\\\\\\\ hline {\\\
    \\\\\\\\\\\\ hline {\\ 2-6x} -10\\\
    \ color {rojo} -3x^2+9x\\\\\\\\\
    \ hline {\\ color {rojo} 3x} -10\
    \ end {array}\)    		 ¡Recuerda vigilar las señales!
    \ (\\ begin {array} {r}
    x^2+3x\ color {rojo} +\\ 3\\\
    x - 3\ longdiv {x ^ {3} + 0 x ^ {2} - 6 x - 1 0}\\
    -x^3+3x^2\\\\\\\\\\\\\
    \ hline {3x^2-6x -10}\\\
    -3x^2+9x\\\\\\\\\\ hline {
    \ color {rojo} 3x-10}\\\
    \ color {rojo} - (3x-\ 9)\\
    \ hline
    \ end {array}\\)    		 ¿Cuántos\(\ \text { x's }\) hay en\(\ 3x\)? Ya que hay 3, multiplicar\(\ 3(x-3)=3 x-9\), escribir esto debajo del dividendo y prepararse para restar.
    \ (\\ begin {array} {r}
    x^2+3x\ color {rojo} +\\ 3\\\
    x - 3\ longdiv {x ^ {3} + 0 x ^ {2} - 6 x - 1 0}\\
    -x^3+3x^2\\\\\\\\\\\\\
    \ hline {3x^2-6x -10}\\\
    -3x^2+9x\\\\\\\\\
    \ hline {\ color {rojo} 3x-10}\\\
    \ color {rojo} -3x-\\ 9\\
    \ hline\ color {rojo} -\\\ 1
    \ final {array}\\)

    Continuar hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor. En este caso el grado del resto, -1, es 0, que es menor que el grado de\(\ x-3\), que es 1.

    También observe que ha derribado todos los términos en el dividendo, y que el cociente se extiende hasta el borde derecho del dividendo. Estas son otras formas de verificar si has completado el problema.

    \(\ \left(x^{3}-6 x-10\right) \div(x-3)=x^{2}+3 x+3, \mathrm{R}-1\)

    \(\ x^{2}+3 x+3+\frac{-1}{x-3} \text { , or } x^{2}+3 x+3-\frac{1}{x-3}\)

    		 Se puede escribir el resto usando el símbolo\(\R\), o como una fracción añadida al resto del cociente con el resto en el numerador y el divisor en el denominador. En este caso, dado que el resto es negativo, también se puede restar lo contrario.

    Compruebe el resultado:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    (x-3)\ izquierda (x^ {2} +3 x+3\ derecha) &=x\ izquierda (x^ {2} +3 x+3\ derecha) -3\ izquierda (x^ {2} +3 x+3\ derecha)\\
    &=x^ {3} +3 x^ {2} +3 x-3 x^ {2} -9 x-9\\ &=x^ {3} +3 x-3 x^ {2} -9 x-9\\
    &=x^ {3} -6 x-9\\
    x^ {3} -6 x-9+ (-1) &=x^ {3} -6 x-10
    \ final {alineado}\)

    Ejercicio

    Dividir:\(\ \left(x^{2}-8 x+3\right) \div(x-5)\)

    1. \(\ x-3-\frac{12}{x-5}\)
    2. \(\ x-13+\frac{68}{x-5}\)
    3. \(\ x-13-\frac{62}{x-5}\)
    4. \(\ x-15\)
    Contestar
    1. Correcto.

      \ (\\ comenzar {matriz} {r}
      x-\\ 3\\
      x - 5\ longdiv {x ^ {2} - 8 x +\\ 3}\\
      - (x^2-5x)\\\\\\
      \ hline -3x+\\\ 3\\
      - (-3 x+15)\\
      \ hline
      -\\\ 12
      \ end {array}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-3-\frac{12}{x-5}\).

    2. Incorrecto. Recuerda que estás restando expresiones enteras, no sólo el primer término.

      \ (\\ comenzar {matriz} {r}
      x-\\ 3\\
      x - 5\ longdiv {x ^ {2} - 8 x +\\ 3}\\
      - (x^2-5x)\\\\\\
      \ hline -3x+\\\ 3\\
      - (-3 x+15)\\
      \ hline
      -\\\ 12
      \ end {array}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-3-\frac{12}{x-5}\).

    3. Incorrecto. Recuerda que estás restando expresiones enteras, no sólo el primer término.

      \ (\\ comenzar {matriz} {r}
      x-\\ 3\\
      x - 5\ longdiv {x ^ {2} - 8 x +\\ 3}\\
      - (x^2-5x)\\\\\\
      \ hline -3x+\\\ 3\\
      - (-3 x+15)\\
      \ hline
      -\\\ 12
      \ end {array}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-3-\frac{12}{x-5}\).

    4. Incorrecto. El resto no sólo se suma al cociente. Se convierte en el numerador de una fracción que se suma al cociente.

      \ (\\ comenzar {matriz} {r}
      x-\\ 3\\
      x - 5\ longdiv {x ^ {2} - 8 x +\\ 3}\\
      - (x^2-5x)\\\\\\
      \ hline -3x+\\\ 3\\
      - (-3 x+15)\\
      \ hline
      -\\\ 12
      \ end {array}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-3-\frac{12}{x-5}\).

    Dividir polinomios por polinomios

    El proceso anterior funciona para dividir cualquier polinomio, sin importar cuántos términos haya en el divisor o en el dividendo. Las principales cosas que hay que recordar son:

    • Al restar, asegúrese de restar toda la expresión, no sólo el primer término. Esto es muy fácil de olvidar, ¡así que ten cuidado!
    • Deténgase cuando el grado del resto sea menor que el grado del dividendo, o cuando haya bajado todos los términos del dividendo, y que el cociente se extienda hasta el borde derecho del dividendo.
    Ejemplo

    Dividir:\(\ \left(3 x^{3}+2 x^{2}-3 x+4\right) \div\left(x^{2}-3 x+5\right)\)

    Solución

    \ (\\ comenzar {matriz} {r}
    3x+11\\\\
    x^2-3x+5\ longdiv {3x^3+2x^2-\ 3x+\ 4}\\\\
    - (3x^3-9x^2+15x)\\\\\\\ hline 11x^^2-18x+\\
    \\\\ hline 11x^2-18x+\\\ 4\\\
    - (11x^2-33x+55)\\
    \ hline 15x-51\
    \ end {array}\)

    Enfoque en los primeros términos: ¿Qué es\(\ \frac{3 x^{3}}{x^{2}}\)?

    Ya que\(\ \frac{3 x^{3}}{x^{2}}=3 x\), empezar por poner\(\ 3x\) en el cociente.

    Siga el proceso como arriba.

    ¡Vigila las señales!

    El grado del resto es 1, que es menor que el grado del divisor, 2.

    Puedes parar.

    \ (\\ begin {array} {ll}
    \ left (3 x^ {3} +2 x^ {2} -3 x+4\ derecha)\ div\ izquierda (x^ {2} -3 x+5\ derecha) &=&3 x+11\ nombreoperador {R} 51 x-51\\
    &\ texto {o} &3 x+11+\ frac {15 x-51} {x^ {2} -3 x+5}
    \ end {array}\)

    Comprobar:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    \ izquierda (x^ {2} -3 x+5\ derecha) (3 x+11) &=\ izquierda (x^ {2} -3 x+5\ derecha) (3 x) +\ izquierda (x^ {2} -3 x+5\ derecha) (11)\\
    &=3 x^ {3} -9 x^ {2} +15 x+11 x^ {2} -33 x+55\\
    &=3 x^ {3} +2 x^ {2} -18 x+55\\
    3 x^ {3} +2 x^ {2} -18 x+55+ (15 x-51) &=3 x^ {3} +2 x^ { 2} -3 x+4
    \ final {alineado}\)

    Ejercicio

    Dividir:\(\ \left(x^{3}-2 x^{2}+3 x+7\right) \div\left(x^{2}+2 x-1\right)\)

    1. \(\ x+\frac{2 x+7}{x^{2}+2 x-1}\)
    2. \(\ x+8+\frac{23}{x^{2}+2 x-1}\)
    3. \(\ x-4+\frac{12 x+3}{x^{2}+2 x-1}\)
    4. \(\ 13 x-1\)
    Contestar
    1. Incorrecto. Recuerda que estás restando expresiones enteras, no sólo el primer término.

      \ (\\ begin {array} {r}
      x-4\\\
      x^2+2x-1\ longdiv {x^3-2x^2+3x+7}\\
      - (x^3+2x^2-x)\\\\\
      \ hline -4x^2+4x+7\\
      - (-4x^2-8x+4)\\
      \ hline 12x+\ 3
      \ end { matriz}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-4+\frac{12 x+3}{x^{2}+2 x-1}\).

    2. Incorrecto. Vuelve a revisar tu división, especialmente la resta de términos.

      \ (\\ begin {array} {r}
      x-4\\\
      x^2+2x-1\ longdiv {x^3-2x^2+3x+7}\\
      - (x^3+2x^2-x)\\\\\
      \ hline -4x^2+4x+7\\
      - (-4x^2-8x+4)\\
      \ hline 12x+\ 3
      \ end { matriz}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-4+\frac{12 x+3}{x^{2}+2 x-1}\).

    3. Correcto.

      \ (\\ begin {array} {r}
      x-4\\\
      x^2+2x-1\ longdiv {x^3-2x^2+3x+7}\\
      - (x^3+2x^2-x)\\\\\
      \ hline -4x^2+4x+7\\
      - (-4x^2-8x+4)\\
      \ hline 12x+\ 3
      \ end { matriz}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-4+\frac{12 x+3}{x^{2}+2 x-1}\).

    4. Incorrecto. El resto no sólo se suma al cociente. Se convierte en el numerador de una fracción que se suma al cociente.

      \ (\\ begin {array} {r}
      x-4\\\
      x^2+2x-1\ longdiv {x^3-2x^2+3x+7}\\
      - (x^3+2x^2-x)\\\\\
      \ hline -4x^2+4x+7\\
      - (-4x^2-8x+4)\\
      \ hline 12x+\ 3
      \ end { matriz}\)

      La respuesta correcta es\(\ x-4+\frac{12 x+3}{x^{2}+2 x-1}\).

    Resumen

    Dividir polinomios por polinomios de más de un término se puede hacer usando un proceso muy parecido a la división larga de números enteros. Hay que tener cuidado de restar expresiones enteras, no sólo el primer término. Deténgase cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. El resto se puede escribir usando notación R, o como una fracción añadida al cociente con el resto en el numerador y el divisor en el denominador.

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