11.2.5: Dividir por un monomio

Objetivos de aprendizaje

• Dividir un monomio por un monomio.
• Dividir un polinomio por un monomio.

Introducción

La cuarta operación aritmética es la división, la inversa de la multiplicación. La división de polinomios no es muy diferente de la división de números. Empecemos por dividir un monomio por otro monomio, que es la base para dividir un polinomio por un monomio.

Dividiendo los Monomios por Monomios

Cuando multiplicas dos monomios, multiplicas los coeficientes juntos y luego multiplicas las variables juntas. Del mismo modo, al dividir los monomios, se dividen los coeficientes y luego se dividen las variables. Cuando hay exponentes con la misma base, la ley de los exponentes dice que se divide restando los exponentes. Considera este ejemplo:

Ejemplo

Dividir. \(\ \frac{10 y^{5}}{2 y^{2}}\)

Solución

\(\ \left(\frac{10}{2}\right)\left(\frac{y^{5}}{y^{2}}\right)\)	Agrupar el monomio en factores numéricos y variables.
\(\ 5\left(y^{5-2}\right)\)	Divida los coeficientes y divida las variables restando los exponentes de cada\(\ y\) término.

\(\ \frac{10 y^{5}}{2 y^{2}}=5 y^{3}\)

Aquí hay otro ejemplo:

Ejemplo

Un rectángulo tiene un área de\(\ 8 x^{2}\) y una longitud de\(\ 4x\). Encuentra el ancho del rectángulo usando la fórmula:\(\ \frac{\text { Area }}{\text { length }}=\text { width }\)

Solución

\(\ \frac{8 x^{2}}{4 x}\)	Sustituir valores conocidos.
\(\ 2 x^{2-1}\)	Dividir los coeficientes y dividir las variables restando los exponentes de cada\(\ x\) término.
\(\ 2x\)

\(\ \text { width }=2 x \text { units }\)

A veces la división requiere simplificación.

Ejemplo

Dividir. \(\ \frac{-6 r^{3}}{4 r^{4}}\)

Solución

\(\ \left(\frac{-6}{4}\right)\left(\frac{r^{3}}{r^{4}}\right)\)	Agrupar el monomio en factores numéricos y variables.
\(\ \left(\frac{-3}{2}\right)\left(\frac{r^{3}}{r^{4}}\right)\)	Simplificar\(\ \left(\frac{-6}{4}\right)\) a\(\ \left(\frac{-3}{2}\right)\).
\(\ \frac{-3}{2} r^{-1}\)	Dividir las variables restando los exponentes de\(\ r\). Tenga en cuenta que la variable tiene un exponente negativo.
\(\ \frac{-3}{2} \cdot \frac{1}{r}\)	Simplificar\(\ r^{-1}\) reescribiéndola como la inversa de\(\ r\).
\(\ \frac{-3}{2 r}\)	Multiplicar.

\(\ \frac{-6 r^{3}}{4 r^{4}}=\frac{-3}{2 r}\)

Recuerde que un término no se considera simplificado si contiene un exponente negativo; es por ello que\(\ \frac{-3}{2} r^{-1}\) se reescribió como\(\ \frac{-3}{2 r}\).

Ejercicio

Dividir:\(\ \frac{22 x^{4}}{2 x}\)

1. \(\ 11 x^{4}\)
2. \(\ 22 x^{3}\)
3. \(\ 11 x^{3}\)
4. \(\ 22 x^{4}\)

Contestar

1. Incorrecto. Dividiste 22 por 2, pero debes restar los exponentes de la variable\(\ x\). Ya que\(\ x=x^{1}\), esto es\(\ x^{4-1}=x^{3}\). La respuesta correcta es\(\ 11 x^{3}\).
2. Incorrecto. Dividiste correctamente las variables, pero también debes dividir 22 por 2. La respuesta correcta es\(\ 11 x^{3}\).
3. Correcto. \(\ \frac{22}{2}=11\)y\(\ x^{4-1}=x^{3}\) así la respuesta correcta es\(\ 11 x^{3}\).
4. Incorrecto. Dividir los coeficientes para obtener\(\ \frac{22}{2}=11\) para el coeficiente. Dividir las variables restando los exponentes. Ya que\(\ x=x^{1}\), esto es\(\ x^{4-1}=x^{3}\). La respuesta correcta es\(\ 11 x^{3}\).

Dividir polinomios por monomios

La propiedad distributiva establece que se puede distribuir un factor que se está multiplicando por una suma o diferencia, y de igual manera se puede distribuir un divisor que se está dividiendo en una suma o diferencia (ya que la división se puede cambiar a multiplicación).

\(\ \frac{8+4+10}{2}=\frac{22}{2}=11\)

O puedes distribuir el 2, y dividir cada término por 2.

\(\ \frac{8}{2}+\frac{4}{2}+\frac{10}{2}=4+2+5=11\)

Intentemos algo similar con un polinomio.

Ejemplo

Dividir. \(\ \frac{14 x^{3}-6 x^{2}+2 x}{2 x}\)

Solución

\(\ \frac{14 x^{3}}{2 x}-\frac{6 x^{2}}{2 x}+\frac{2 x}{2 x}\)	Distribuir\(\ 2x\) sobre el polinomio dividiendo cada término por\(\ 2x\).
\(\ 7 x^{2}-3 x+1\)	Dividir cada término, un monomio dividido por otro monomio.

\(\ \frac{14 x^{3}-6 x^{2}+2 x}{2 x}=7 x^{2}-3 x+1\)

Intentemos un ejemplo más. Vigila las señales.

Ejemplo

Dividir. \(\ \frac{27 y^{4}+6 y^{2}-18}{-6 y}\)

Solución

\(\ \frac{27 y^{4}}{-6 y}+\frac{6 y^{2}}{-6 y}-\frac{18}{-6 y}\)	Dividir cada término en el polinomio por el monomio.
\(\ -\frac{9}{2} y^{3}-y+3 y^{-1}\)	Simplificar. Recuerda que 18 se puede escribir como\(\ 18 y^{0}\). Entonces lo son los exponentes\(\ 0-1=-1\).
\(\ -\frac{9}{2} y^{3}-y+\frac{3}{y}\)	Escribe la respuesta final sin exponentes negativos.

\(\ \frac{27 y^{4}+6 y^{2}-18}{-6 y}=-\frac{9}{2} y^{3}-y+\frac{3}{y}\)

Ejercicio

Dividir:\(\ \frac{30 t^{4}-10 t^{3}+t^{2}-20}{10 t^{2}}\)

1. \(\ 3 t^{2}-t+\frac{1}{10}-\frac{2}{t^{2}}\)
2. \(\ 3 t^{2}-10 t^{3}+t^{2}-20\)
3. \(\ 30 t^{2}-10 t^{3}-20\)
4. \(\ 3 t^{8}-t^{6}+\frac{1}{10}-20 t^{2}\)

Contestar

1. Correcto. Dividir cada término en el polinomio por el monomio:\(\ \frac{30 t^{4}}{10 t^{2}}-\frac{10 t^{3}}{10 t^{2}}+\frac{t^{2}}{10 t^{2}}-\frac{20}{10 t^{2}}\), que da\(\ 3 t^{2}-t+\frac{1}{10}-\frac{2}{t^{2}}\).
2. Incorrecto. Sólo dividiste el primer término. Dividir cada término en el polinomio por el monomio:\(\ \frac{30 t^{4}}{10 t^{2}}-\frac{10 t^{3}}{10 t^{2}}+\frac{t^{2}}{10 t^{2}}-\frac{20}{10 t^{2}}\). La respuesta correcta es\(\ 3 t^{2}-t+\frac{1}{10}-\frac{2}{t^{2}}\).
3. Incorrecto. Se quitaron los dos\(\ t^{2}\) términos, pero no se dividieron. Dividir cada término en el polinomio por el monomio:\(\ \frac{30 t^{4}}{10 t^{2}}-\frac{10 t^{3}}{10 t^{2}}+\frac{t^{2}}{10 t^{2}}-\frac{20}{10 t^{2}}\). La respuesta correcta es\(\ 3 t^{2}-t+\frac{1}{10}-\frac{2}{t^{2}}\).
4. Incorrecto. Dividir cada término en el polinomio por el monomio:\(\ \frac{30 t^{4}}{10 t^{2}}-\frac{10 t^{3}}{10 t^{2}}+\frac{t^{2}}{10 t^{2}}-\frac{20}{10 t^{2}}\). La respuesta correcta es\(\ 3 t^{2}-t+\frac{1}{10}-\frac{2}{t^{2}}\).

Resumen

Para dividir un monomio por un monomio, divide los coeficientes (o simplificalos como harías una fracción) y divide las variables con bases similares restando sus exponentes. Para dividir un polinomio por un monomio, dividir cada término del polinomio por el monomio. ¡Asegúrate de ver las señales! Las respuestas finales deben escribirse sin exponentes negativos.