11.3.1: Simplificar y evaluar polinomios con más de un término

Objetivos de aprendizaje

• Evaluar un polinomio para valores dados de cada variable.
• Simplifique los polinomios recopilando términos similares.

Introducción

Se han estudiado polinomios consistentes en constantes y/o variables combinadas por suma o resta. Las variables pueden incluir exponentes. Los ejemplos hasta ahora se han limitado a expresiones como\(\ 5 x^{4}+3 x^{3}-6 x^{2}+2 x\) contener una variable, pero los polinomios también pueden contener múltiples variables. Un ejemplo de un polinomio con dos variables es\(\ 4 x^{2} y-2 x y^{2}+x-7\).

Muchas fórmulas son polinomios con más de una variable, como la fórmula para el área superficial de un prisma rectangular:\(\ 2 a b+2 b c+2 a c\), dónde\(\ a\),\(\ b\), y\(\ c\) son las longitudes de los tres lados. Al sustituir en los valores de las longitudes, se puede determinar el valor del área de superficie. Al aplicar los mismos principios para polinomios con una variable, puede evaluar o combinar términos similares en polinomios con más de una variable.

Evaluación de polinomios para valores dados de cada variable

Cuando evalúa una expresión por un valor dado, sustituye ese valor dado en la expresión y encuentra su valor numérico. En el siguiente ejemplo,\(\ x=-2\), reemplaza todos los\(\ x^{\prime} s\) con un valor de -2 y simplifica la expresión siguiendo el orden de las operaciones.

Ejemplo

Evaluar\(\ 7 x^{2}-3 x+2 \text { for } x=-2\).

Solución

\(\ 7(-2)^{2}-3(-2)+2\)	Sustituir (-2) por cada uno\(\ x\) en el polinomio.
\(\ 7(4)-3(-2)+2\)	Siguiendo el orden de las operaciones, evaluar primero a los exponentes.
\(\ 28+6+2\)	Realiza la multiplicación siguiente.
\(\ 34+2\)	Combina términos comenzando por la izquierda.
\(\ 36\)	Encuentra la suma.

Se puede seguir el mismo procedimiento cuando hay dos variables en una expresión. Repasemos un ejemplo.

Ejemplo

Evaluar\(\ 8 c-7 b \text { for } b=4 \text { and } c=5\).

Solución

\(\ 8(5)-7(4)\)	Sustituye 5 por cada uno\(\ c\) en el polinomio y 4 por cada uno\(\ b\).
\(\ 40-28\)	Multiplicar.
\(\ 12\)	Encuentra la diferencia.

\(\ 12\)

Al igual que con los polinomios con una variable, debes prestar atención a las reglas de exponentes y al orden de las operaciones para que evalúes correctamente una expresión con dos o más variables.

Ejemplo

Evaluar\(\ x^{2}+3 y^{3} \text { for } x=7 \text { and } y=-2\).

Solución

\(\ (7)^{2}+3(-2)^{3}\)	Sustituir los valores dados por\(\ x\) y\(\ y\).
\(\ 49+3(-8)\)	Evaluar primero los exponentes.
\(\ 49+(-24)\)	Multiplicar.
\(\ 25\)	Agregar.

\(\ 25\)

Ejemplo

Evaluar\(\ 4 x^{2} y-2 x y^{2}+x-7 \text { for } x=3 \text { and } y=-1\).

Solución

\(\ 4\left(3^{2}\right)(-1)-2(3)(-1)^{2}+3-7\)	Sustituir los valores dados por\(\ x\) y\(\ y\).
\(\ 4(9)(-1)-2(3)(1)+3-7\)	Evaluar primero los exponentes.
\(\ -36-6+3-7\)	Realizar multiplicación siguiente.
\ (\\ begin {array} {c} -42+3-7\\ -39-7 \ end {array}\)	Realizar suma y resta de izquierda a derecha.
\(\ -46\)	Encuentra la diferencia.

El siguiente ejemplo muestra cómo evaluar un polinomio con dos variables. Este polinomio es la fórmula para el perímetro de un rectángulo.

Ejemplo

La fórmula para el perímetro,\(\ P\), de un rectángulo está\(\ 2 a+2 b\) en cuál\(\ a\) y\(\ b\) son las longitudes de los lados del rectángulo.

Evalúe la fórmula para\(\ a=6\) pulgadas y\(\ b=10\) pulgadas.

Solución

\(\ 2(6)+2(10)\)	Sustituir los valores dados por\(\ a\) y\(\ b\).
\(\ 12+20\)	Multiplicar.
\(\ 32\)	Agregar.

Ejercicio

Evaluar:\(\ 2 x^{3}-x y^{2}+6 \text { for } x=-2 \text { and } y=5\)

1. -158
2. -60
3. 14
4. 40

Contestar

1. Incorrecto. A menos que haya paréntesis, un exponente sólo va con la variable inmediatamente a su izquierda. Entonces, el exponente 3 no aplica al 2 en ese término, sólo a la variable\(\ x\). Esto también es cierto en el siguiente término; no\(\ x\) es cuadrado. La respuesta correcta es 40.
2. Incorrecto. Ten más cuidado con tu trabajo de letreros. El término medio es positivo 50, no negativo 50. Al sustituir en los valores de las variables, se obtiene\(\ 2(-2)^{3}-(-2)(5)^{2}+6\), que se simplifica a\(\ 2(-8)-(-2)(25)+6\), que es igual\(\ -16+50+6\). La respuesta correcta es 40.
3. Incorrecto. Un exponente indica el número de veces que se usa un valor como factor. \(\ x^{3}\)significa\(\ x\) tiempos\(\ x\) tiempos\(\ x\), no\(\ x\) tiempos 3. \(\ 2(-2)(-2)(-2)-(-2)(5)(5)+6=-16+50+6\). La respuesta correcta es 40.
4. Correcto. \(\ 2(-2)^{3}-(-2)(5)^{2}+6=-16+50+6=34+6=40\)

Identificar el grado de un polinomio con dos o más variables

Los matemáticos utilizan convenciones para escribir y describir polinomios. Un polinomio con una variable puede ser descrito por el número de términos que tiene y el grado del término con mayor exponente. Los polinomios se escriben comúnmente con sus términos en orden descendente de grado. Empecemos por mirar un ejemplo de un polinomio con una variable:\(\ t^{3}-10 t^{2}-5 t-32\). Este polinomio ha sido escrito en orden descendente de grado, comenzando por el término con un exponente de 3 y terminando con el término cuyo grado es 0 porque no tiene variable. Este polinomio se denomina polinomio de tercer grado porque su término con el grado más alto es el monomio\(\ t^{3}\). (Obsérvese que el grado de un monomio\(\ t^{3}\),, también es 3, porque la variable\(\ t\) tiene un exponente de 3.)

Cuando un polinomio tiene más de una variable, aún se puede describirla según su grado y el grado de sus términos. Es un poco más complicado. Veamos un polinomio con dos variables:\(\ 7 x^{2} y-3 x y^{3}+2 x\). Este polinomio tiene tres términos y por lo tanto puede denominarse trinomio. Para determinar el grado de un término, se encuentra la suma de los exponentes de todas las variables del término. Aquí hay algunos ejemplos:

Términos	Suma de los Exponentes	Grado del Término
\(\ 7 x^{2} y\)	\(\ 2+1=3\)	\(\ 3\)
\(\ -3 x y^{3}\)	\(\ 1+3=4\)	\(\ 4\)
\(\ 2 x\)	\(\ 1=1\)	\(\ 1\)

El grado de un polinomio es el mismo que el grado del término con el grado más alto. En este caso,\(\ 7 x^{2} y-3 x y^{3}+2 x\) es un polinomio de cuarto grado.

Ejercicio

¿Qué descripción a continuación coincide mejor con la expresión:\(\ 2 x^{4} y-5 x^{3}-10 x y^{3}\)?

1. Un trinomio de doceavo grado
2. Un trinomio de quinto grado
3. Un polinomio de tercer grado
4. Un polinomio de cuarto grado

Contestar

1. Incorrecto. El grado de un polinomio es el mismo que el grado del término cuyos exponentes tienen la mayor suma, no por la suma de todos los exponentes en el polinomio. La respuesta correcta es un trinomio de quinto grado.
2. Correcto. \(\ 2 x^{4} y\)tiene un grado de 5 porque los exponentes de sus variables son 4 y 1, y\(\ 4+1=5\).
3. Incorrecto. El grado de un polinomio no está determinado por el número de términos que tiene. El grado es el mismo que el grado del término cuyos exponentes tienen la mayor suma. La respuesta correcta es un trinomio de quinto grado.
4. Incorrecto. Cuando hay múltiples variables, encuentra el grado de un polinomio determinando qué exponentes del término tienen la mayor suma. Este es el grado del polinomio. El\(\ 2 x^{4} y\) término es el término con mayor grado, la suma de los exponentes en el término\(\ 2 x^{4} y\) es\(\ 4+1=5\). Dado que hay 3 términos, este polinomio se llama trinomio. La respuesta correcta es un trinomio de quinto grado.

Simplificación de polinomios con más de una variable combinando términos similares

Si un polinomio tiene términos similares, el polinomio puede simplificarse combinando los términos similares.

Recordarás que términos similares contienen las mismas variables elevadas a la misma potencia. Si hay más de una variable, lo mismo es cierto: la misma (s) variable (s) exacta (s) cada una elevada a la misma potencia exacta.

El polinomio\(\ 3 x y^{3} z^{2}+5 x y^{3} z^{2}+6 x^{2} y^{3} z\) tiene términos similares que se pueden combinar. \(\ 3 x y^{3} z^{2}\)y\(\ 5 x y^{3} z^{2}\) son como términos porque tienen las mismas variables,,\(\ x\)\(\ y\), y\(\ z\), elevado a los mismos poderes,\(\ x\),\(\ y^{3}\), y\(\ z^{2}\). Se pueden recolectar, o combinar, para dar un resultado de\(\ 8 x y^{3} z^{2}\). Observe que mientras\(\ 6 x^{2} y^{3} z\) tiene las mismas variables,\(\ x\),\(\ y\), y\(\ z\), los exponentes en este término son diferentes, en\(\ x^{2}\) lugar de\(\ x\), y\(\ z\) en lugar de\(\ z^{2}\). Entonces,\(\ 6 x^{2} y^{3} z\) no se puede combinar con los otros términos. En cambio, el polinomio simplificado se escribe con dos términos:\(\ 8 x y^{3} z^{2}+6 x^{2} y^{3} z\).

Ejemplo

Simplificar\(\ 2 x y^{2}-8 x-3 x y^{2}+3 x\)

Solución

\(\ 2 x y^{2}-8 x-3 x y^{2}+3 x\)	Identificar cualquier término similar.
\ (\\ begin {array} {c} 2 x y^ {2} -3 x y^ {2} -8 x+3 x\\ (2-3) x y^ {2} + (-8+3) x\\ -1 x y^ {2} + (-5) x \ end {array}\)	Combina términos similares usando la propiedad distributiva.
\(\ -1 x y^{2}-5 x\)	Reescriba usando resta y verifique para asegurarse de que se hayan combinado todos los términos similares.

\(\ 2 x y^{2}-8 x-3 x y^{2}+3 x=-x y^{2}-5 x\)

Al igual que con los polinomios con una variable, puede combinar términos similares en polinomios con más de una variable combinando los coeficientes de esos términos similares y manteniendo la parte variable igual. Ese paso está escrito en el siguiente ejemplo. Pero para ahorrar tiempo, también puedes simplemente realizar el cómputo en tu cabeza.

Ejemplo

Simplificar\(\ 5 b a^{2}+3 a^{2}+a^{2} b-4 a^{2}-2 a b^{2}\).

Solución

\(\ 5 b a^{2}+3 a^{2}+a^{2} b-4 a^{2}-2 a b^{2}\)	Identificar los términos similares en el polinomio. Ya que también se\(\ 5 b a^{2}\) puede escribir\(\ 5 a^{2} b\), es un término similar a\(\ a^{2} b\).
\ (\\ begin {array} {c} (5+1) a^ {2} b+ (3-4) a^ {2} -2 a b^ {2}\\ 6 a^ {2} b-a^ {2} -2 a b^ {2} \ end {array}\)	Combine términos similares usando la propiedad distributiva y verifique para asegurarse de que todos los términos similares se hayan combinado.

\(\ 5 b a^{2}+3 a^{2}+a^{2} b-4 a^{2}-2 a b^{2}=6 a^{2} b-a^{2}-2 a b^{2}\)

Ejercicio

Simplifique recopilando términos similares:\(\ 4\left(x^{2} y+7 y\right)-5 y\left(3 x^{2}-y\right)-10 y\)

1. \(\ -11 x^{2} y+5 y^{2}+18 y\)
2. \(\ 4 x^{2} y+11 y-8 y x^{2}-16 y\)
3. \(\ 4 x^{2} y+18 y-15 y x^{2}+5 y^{2}\)
4. \(\ 4 x^{2} y-5 y\left(3 x^{2}-y\right)-3 y\)

Contestar

1. Correcto.

   \ (\\ begin {array} {l}
   4\ left (x^ {2} y+7 y\ right) -5 y\ left (3 x^ {2} -y\ right) -10 y\ text {es igual a}\\
   4 x^ {2} y+28 y-15 y x^ {2} +5 y^ {2} -10 y. \ text {Esto es igual a}\\
   4 x^ {2} y+18 y-15 y x^ {2} +5 y^ {2},\ text {que equivale a}\\
   -11 x^ {2} y+5 y^ {2} +18 y
   \ end {array}\)

2. Incorrecto. El 4 se distribuye a ambos términos entre paréntesis multiplicando cada término por 4 resultando en\(\ 28y\), no\(\ 11y\). El\(\ -5 y\) se distribuye de manera similar a cada término entre paréntesis, resultando en\(\ -15 y x^{2}+5 y^{2}\). La respuesta correcta es\(\ -11 x^{2} y+5 y^{2}+18 y\).
3. Incorrecto. Este polinomio puede simplificarse aún más combinando los términos similares\(\ 4 x^{2} y\) y\(\ -15 y x^{2}\). El orden de las variables en un término no importa. La respuesta correcta es\(\ -11 x^{2} y+5 y^{2}+18 y\).
4. Incorrecto. Antes de combinar términos similares, debes distribuir para borrar los paréntesis. La respuesta correcta es\(\ -11 x^{2} y+5 y^{2}+18 y\).

Resumen

Los polinomios pueden contener más de una variable y pueden evaluarse de la misma manera que los polinomios con una variable. Para evaluar cualquier polinomio, se sustituyen los valores dados por la variable y se realiza el cálculo para simplificar el polinomio a un valor numérico. El orden de las operaciones y las operaciones enteras deben aplicarse correctamente para evaluar correctamente un polinomio.

Los polinomios con más de una variable se pueden simplificar combinando términos similares, como se puede hacer con polinomios con una variable. Los términos similares deben contener las mismas variables exactas elevadas a la misma potencia exacta. En términos de más de una variable, el orden en que se escriben las variables no importa.