11.3.2: Operaciones con polinomios

Objetivos de aprendizaje

• Agregar polinomios con más de una variable.
• Restar polinomios con más de una variable.
• Multiplicar polinomios con más de una variable.
• Dividir polinomios con más de una variable.

Introducción

Así como puedes realizar las cuatro operaciones en polinomios con una variable, puedes sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios con más de una variable. El proceso es exactamente el mismo, pero tienes más variables de las que hacer un seguimiento. Cuando estás sumando y restando polinomios con más de una variable, tienes que prestar especial atención a combinar solo términos similares. Cuando multiplicas y divides, también debes prestar especial atención a las múltiples variables y términos. Se pueden multiplicar y dividir términos que no son como, pero para sumar y restar términos deben ser como términos.

Adición de polinomios con más de una variable

Para agregar polinomios, primero es necesario identificar los términos similares en los polinomios y luego combinarlos de acuerdo con las operaciones enteras correctas. Dado que los términos similares deben tener las mismas variables elevadas a la misma potencia exacta, identificarlos en polinomios con más de una variable requiere un ojo cuidadoso. A veces se utilizan paréntesis para distinguir entre la adición de dos polinomios y la adición de una colección de monomios. Con adición, simplemente puede eliminar los paréntesis y realizar la adición.

Ejemplo

Agregar. \(\ \left(4 x^{2}-12 x y+9 y^{2}\right)+\left(25 x^{2}+4 x y-32 y^{2}\right)\)

Solución

\(\ 4 x^{2}+(-12 x y)+9 y^{2}+25 x^{2}+4 x y+\left(-32 y^{2}\right)\)	Quita los paréntesis agrupando el polinomio y reescribe cualquier resta como suma de lo contrario.
\(\ \left(4 x^{2}+25 x^{2}\right)+[(-12 x y)+4 x y]+\left[9 y^{2}+\left(-32 y^{2}\right)\right]\)	Agrupar términos similares usando propiedades conmutativas y asociativas.
\(\ 29 x^{2}+(-8 x y)+\left(-23 y^{2}\right)\)	Combina términos similares. Después reescribe como resta para la respuesta.

La suma es\(\ 29 x^{2}-8 x y-23 y^{2}\)

Algunas personas encuentran que escribir la adición polinómica en forma vertical facilita la combinación de términos similares. El proceso de adición de los polinomios es el mismo, pero la disposición de los términos es diferente. El siguiente ejemplo muestra este método “vertical” de agregar polinomios:

Ejemplo

Agregar. \(\ (3 x+2 y-4 z)+(45 x-y+75 z)\)

Solución

\ (\ begin {array} {r} 3 x+2 y-\\ 4 z\\ +45 x-\\ y+75 z\\ \ hline 48 x+\\ y+71 z \ end {array}\)

Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear términos similares. Combina términos similares, prestando mucha atención a las señales.

La suma es\(\ 48 x+y+71 z\).

Cuando no hay un término similar coincidente para cada término en cada polinomio, habrá lugares vacíos en la disposición vertical de los polinomios. Este diseño hace que sea fácil verificar que solo estás combinando términos similares.

Ejemplo

Agregar. \(\ (10 a b+15 a c-25 b c+5)+(4 a b-8 b c-12)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 10 a b+15 a c-25 b c+\\ 5\\ +\ quad 4 a b\\\\\\\\\\\\\\\\\ -\\ 8 b c-12\ \ hline 14 a b+15 a c-33 b c\\ -7 \ end {array}\)

Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear términos similares. Combina términos similares, prestando mucha atención a las señales.

La suma es\(\ 14 a b+15 a c-33 b c-7\).

Ejercicio

Agregar. \(\ \left(8 a^{3} b^{2}+6 a^{2} b-4 b^{2}+5\right)+\left(10 a^{2} b-4 a^{3} b^{2}+6 a^{2}-7\right)\)

1. \(\ 18 a^{3} b^{2}+2 a^{2} b+2 b^{2}-2\)
2. \(\ 4 a^{3} b^{2}+16 a^{2} b+6 a^{2}-4 b^{2}-2\)
3. \(\ 18 a^{3} b^{2}+2 a^{2} b+6 a^{2}-4 b^{2}-2\)
4. \(\ 4 a^{6} b^{4}+16 a^{4} b^{2}+6 a^{2}-4 b^{2}-2\)

Contestar

1. Incorrecto. Asegúrate de combinar solo términos similares. La secuencia de términos en los polinomios no es la misma. Además, los términos\(\ -4 b^{2}\) y no\(\ 6 a^{2}\) son como términos y no se pueden combinar. La respuesta correcta es\(\ 4 a^{3} b^{2}+16 a^{2} b+6 a^{2}-4 b^{2}-2\).
2. Correcto. \(\ \left(8 a^{3} b^{2}+6 a^{2} b-4 b^{2}+5\right)+\left(10 a^{2} b-4 a^{3} b^{2}+6 a^{2}-7\right)\)igual a\(\ 8 a^{3} b^{2}-4 a^{3} b^{2}+6 a^{2} b+10 a^{2} b-4 b^{2}+6 a^{2}-7+5\) lo que es igual\(\ 4 a^{3} b^{2}+16 a^{2} b+6 a^{2}-4 b^{2}-2\).
3. Incorrecto. Asegúrate de combinar solo términos similares. La secuencia de términos en los polinomios no es la misma. La respuesta correcta es\(\ 4 a^{3} b^{2}+16 a^{2} b+6 a^{2}-4 b^{2}-2\).
4. Incorrecto. Cuando añades términos similares, no agregues los exponentes, solo los coeficientes. La respuesta correcta es\(\ 4 a^{3} b^{2}+16 a^{2} b+6 a^{2}-4 b^{2}-2\).

Restar polinomios con más de una variable

Se puede aplicar el mismo proceso utilizado para restar polinomios con una variable para restar polinomios con más de una variable. Para eliminar los paréntesis que siguen a un signo de resta, debes multiplicar cada término por -1.

Ejemplo

Restar. \(\ \left(14 x^{3} y^{2}-5 x y+14 y\right)-\left(7 x^{3} y^{2}-8 x y+10 y\right)\)

Solución

\(\ 14 x^{3} y^{2}-5 x y+14 y-7 x^{3} y^{2}+8 x y-10 y\)	Quite los paréntesis. ¡Observe las señales!
\(\ 14 x^{3} y^{2}-7 x^{3} y^{2}-5 x y+8 x y+14 y-10 y\)	Reagruparse para armar términos similares. Cuando reagrupa o reordena términos que implican resta, piensa en la resta como “sumar lo contrario” y mueve el signo negativo junto con el término.
\(\ 7 x^{3} y^{2}+3 x y+4 y\)	Combina términos similares.

La diferencia es\(\ 7 x^{3} y^{2}+3 x y+4 y\)

Una alternativa al enfoque mostrado anteriormente es el método vertical para arreglar el problema de la resta. Este método se muestra a continuación para un problema diferente. Ambos métodos son efectivos para restar polinomios. La idea es identificar y organizar términos similares para poder computar con ellos con precisión.

Ejemplo

Restar. \(\ \left(10 a^{3}+5 b^{2}-5 c+10\right)-\left(15+5 c-15 b^{2}+10 a^{3}\right)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 10 a^ {3} +\\ 5 b^ {2} -5 c+10\\\\ -\ izquierda (10 a^ {3} -15 b^ {2} +5 c+15\ derecha)\ \ hline \ end {array}\)	Organice los términos similares usando el enfoque vertical.
\(\ 0+20 b^{2}-10 c-5\)	Combina términos similares. Presta atención a las señales al restar.

La diferencia es\(\ 20 b^{2}-10 c-5\).

Los ejemplos que siguen ilustran los métodos de izquierda a derecha y vertical para el mismo problema de sustracción polinomial. Piensa en qué método te resulta más fácil.

Ejemplo

Restar. \(\ \left(3 x^{4} y^{3}+5 x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{2}\right)-\left(-2 x^{4} y^{3}+4 x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{3}-1\right)\)

Solución

\(\ 3 x^{4} y^{3}+5 x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{2}+2 x^{4} y^{3}-4 x^{3} y^{2}+2 x^{2} y^{3}+1\)	Quite los paréntesis. El primer polinomio permanece igual. Los signos cambian en el segundo polinomio.
\(\ 3 x^{4} y^{3}+2 x^{4} y^{3}+5 x^{3} y^{2}-4 x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{2}+2 x^{2} y^{3}+1\)	Reagruparse usando propiedades conmutativas y asociativas.
\(\ 5 x^{4} y^{3}+x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{2}+2 x^{2} y^{3}+1\)	Combina términos similares.

La diferencia es\(\ 5 x^{4} y^{3}+x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{2}+2 x^{2} y^{3}+1\).

Ejemplo

Restar. \(\ \left(3 x^{4} y^{3}+5 x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{2}\right)-\left(-2 x^{4} y^{3}+4 x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{3}-1\right)\)

Solución

\ (\\ comenzar {matriz} {r} 3 x^ {4} y^ {3} +5 x^ {3} y^ {2} -2 x^ {2} y^ {2}\\\\\\\\\\\\\\\ -\ izquierda (-2 x^ {4} y^ {3} +4 x^ {3} y^ {3} y^ {3} y^ {2}\ cuádruples x^ {2} y^ {3} -1\ derecha) \\ hline 5 x^ {4} y^ {3} +x^ {3} y^ {2} -2 x^ {2} y^ {2} +2 x^ {2} y^ {3} + 1 \ end {array}\)

Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear términos similares. Combina términos similares, prestando mucha atención a las señales.

La diferencia es\(\ 5 x^{4} y^{3}+x^{3} y^{2}-2 x^{2} y^{2}+2 x^{2} y^{3}+1\).

Multiplicar polinomios con más de una variable

Los polinomios con más de una variable también se pueden multiplicar entre sí. Utiliza las mismas técnicas que usaste cuando multiplicaste polinomios con una sola variable. Considera el siguiente ejemplo.

\(\ \left(4 x^{2} y^{3}\right)\left(5 x^{4} y^{2}\right)\)

Este es un ejemplo de multiplicación de dos polinomios, específicamente monomios, con dos variables. Para hacer esta multiplicación, multiplicas los coeficientes y usas las reglas de exponentes para encontrar el exponente para cada variable a fin de encontrar el producto. Vamos a ver.

\(\ \left(4 x^{2} y^{3}\right)\left(5 x^{4} y^{2}\right)=(4 \cdot 5)\left(x^{2+4}\right)\left(y^{3+2}\right)=20 x^{6} y^{5}\)

Para multiplicar un monomio por un binomio, se usa la propiedad distributiva de la misma manera que multiplicar polinomios con una variable.

Ejemplo

Multiplicar. \(\ 5 x^{2} y^{2}\left(2 x^{2}+5 x y-10\right)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 5 x^ {2} y^ {2}\ izquierda (2 x^ {2} +5 x y-10\ derecha)\\ 5 x^ {2} y^ {2}\ izquierda (2 x^ {2}\ derecha) +5 x^ {2} y^ {2} (5 x y) -5 x^ {2} y^ {2} (10)\\ 5 (2) x^ {2}\ izquierda (x^ {2}\ derecha) y^ {2} +5 (5) x^ {2} (x) y^ {2} (y) -5 (10) x^ {2} y^ {2}\\ 10 x^ {4} y^ {2} +25 x^ {3} y^ {3} -50 x^ {2} y^ {2} \ end {array}\)

Multiplicar, usando la propiedad distributiva.

El producto es\(\ 10 x^{4} y^{2}+25 x^{3} y^{3}-50 x^{2} y^{2}\).

Para multiplicar dos binomios que contienen más de una variable, aún puede usar el método FOIL (First, Outer, Inner, Last) que funciona para binomios con una variable. Después de todo, FOIL es simplemente un atajo para usar la propiedad distributiva para multiplicar cada término en un binomio por cada término en el otro binomio. Este proceso funciona para multiplicar dos binomios cualesquiera. Siguen dos ejemplos.

Ejemplo

Multiplicar. \(\ (4 x-7 x y)(2 y+3 x)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {l} \ texto {Primero:} 4 x\ cdot 2 y=8 x y\ \ texto {Exterior:} 4 x\ cdot 3 x=12 x^ {2}\\ \ texto {Interior:} -7 x y\ cdot 2 y=-14 x y^ {2}\\ \ texto {Último:} -7 x y\ cdot 3 x=-21 x^ {2} y \ end {array}\)	Tenga cuidado de incluir el signo negativo con\(\ -7 x y\), ya que este término se está restando.
\(\ 8 x y+12 x^{2}-14 x y^{2}-21 x^{2} y\)	Combina términos en una sola expresión.

El producto es\(\ 8 x y+12 x^{2}-14 x y^{2}-21 x^{2} y\).

El siguiente ejemplo muestra el producto de un binomio y un trinomio, cada uno con dos variables. Dado que FOIL solo se puede usar con el producto de dos binomios, es necesario multiplicar sistemáticamente cada término en el binomio por cada término en el trinomio.

Ejemplo

Multiplicar. \(\ (9 b-a b)\left(5 a^{2} b+7 a b-b\right)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 9 b\ left (5 a^ {2} b+7 a b-b\ derecha)\\ 45 a^ {2} b^ {2} +63 a b^ {2} -9 b^ {2} \ end {array}\)	Multiplicar\(\ 9b\) por cada término en el trinomio, prestando atención a los signos.
\ (\\ begin {array} {l} -a b\ left (5 a^ {2} b+7 a b-b\ derecha)\\ -5 a^ {3} b^ {2} -7 a^ {2} b^ {2} +a b^ {2} \ end {array}\)	Multiplicar\(\ -ab\) por cada término en el trinomio, prestando atención a los signos.
\(\ 45 a^{2} b^{2}+63 a b^{2}-9 b^{2}-5 a^{3} b^{2}-7 a^{2} b^{2}+a b^{2}\)	Combina los productos.
\ (\\ begin {array} {r} 45 a^ {2} b^ {2} +63 a b^ {2} -9 b^ {2} -5 a^ {3} b^ {2} -7 a^ {2} b^ {2} +a b^ {2}\ 38 a^ {2} b^ {2} +64 a b^ {2} -9 b^ {2} -5 a^ {3} b^ {2} \ end {array}\)	Combina términos similares.

El producto es\(\ 38 a^{2} b^{2}+64 a b^{2}-9 b^{2}-5 a^{3} b^{2}\).

Al multiplicar polinomios multivariables como este, algunas personas prefieren configurar la multiplicación de manera vertical, como harías si estuvieras multiplicando\(\ 45 \cdot 189\). El siguiente ejemplo muestra\(\ (9 b-a b)\left(5 a^{2} b+7 a b-b\right)\) configurado de manera vertical.

Ejemplo

Multiplicar. \(\ (9 b-a b)\left(5 a^{2} b+7 a b-b\right)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 9 b -\ a b\ \ veces\ quad 5 a^ {2} b +7 a b\ color {rojo} -\\\ b\ \ hline\ color {rojo} -9 b^ {2} +a b^ {2} \ end {array}\)	Configura el problema en forma vertical, y comienza multiplicando\(\ 9 b-a b\) por\(\ -b\). ¡Asegúrate de prestar atención a las señales! Coloque los productos debajo, como se muestra.
\ (\\ begin {array} {r} 9 b -\\\\\ a b\\\ veces \ quad 5 a^ {2} b {\ color {azul} + 7 a b} -\\\\\\\\ b \ hline -9 b^ {2} +\\\\ a b^ {2}\\ a b^ {2} \\\ color {azul} -7a^2b^2\\\\\\\\ +63ab^2 \ end {array}\)	Ahora multiplicar\(\ 9 b-a b\) por\(\ +7 a b\). Observe eso\(\ (9 b)(7 a b)=63 a b^{2}\); ya que este término es como\(\ a b^{2}\), colóquelo directamente debajo de él.
\ (\\ comenzar {matriz} {r} 9 b -\\\\\ a b\\ \ veces\ cuádruple\ cuádruple {\ color {verde} 5 a^ {2} b} + 7 a b -\\\\\\\\ b \\ hline -9 b^ {2} +\\\\ a b^ {2}\\\ -7a^2b^2\\\\\\\ +63ab^2\\ \ color {verde} -5a^3b^2 +45a^2b^2\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ hline \ end {array}\\)	Por último, multiplicar\(\ 9 b-a b\) por\(\ 5 a^{2} b\).
\ (\\\ begin {array} {r} 9 b -\\\\\ a b\ \\ veces\ quad\ quad 5 a^ {2} b + 7 a b -\\\\\\\\\ b \\ hline -9 b^ {2} +\\\\ a b^ {2}\\ -7a^2b^2\\\\\\\\ +63ab^2\\ -5a^3b^2 +45a^2b^2\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ hline -5a^3b^2+38a^2b^2-9b^2+64ab^2 \ end {array}\)	Ahora agrega términos similares.

\(\ -5 a^{3} b^{2}+38 a^{2} b^{2}-9 b^{2}+64 a b^{2}\)

Observe que los productos de los dos ejemplos son los mismos, aunque el orden de los términos individuales es diferente debido a los diferentes métodos de solución.

Ejercicio

Encuentra el producto. \(\ -4 p t^{2}\left(5 p t^{3}+3 p t^{2}-t\right)\)

1. \(\ -20 p^{2} t^{5}-12 p^{2} t^{4}+4 p t^{3}\)
2. \(\ -20 t^{5}+12 p^{2} t^{4}-4 p t^{3}\)
3. \(\ -20 p t^{6}-12 p t^{4}+4 p t^{2}\)
4. \(\ -20 p^{2} t^{5}+3 p t^{2}-t\)

Contestar

1. Correcto. Reescribir la resta como sumar lo contrario da\(\ -4 p t^{2}\left(5 p t^{3}+3 p t^{2}+(-t)\right)\). Distribuyendo el monomio\(\ -4 p t^{2}\) da\(\ -4 p t^{2} \cdot 5 p t^{3}+\left(-4 p t^{2} \cdot 3 p t^{2}\right)+\left(-4 p t^{2} \cdot-t\right)\), que es\(\ -20 p^{2} t^{5}-12 p^{2} t^{4}+4 p t^{3}\).
2. Incorrecto. El negativo debe distribuirse a todos los términos junto con el\(\ 4 p t^{2}\). Esto cambia el signo de los términos medio y último. La respuesta correcta es\(\ -20 p^{2} t^{5}-12 p^{2} t^{4}+4 p t^{3}\).
3. Incorrecto. Por las leyes de los exponentes, se suman (no multiplican) exponentes al multiplicar:\(\ -4 p t^{2} \cdot 5 p t^{3}+\left(-4 p t^{2} \cdot 3 p t^{2}\right)+\left(-4 p t^{2} \cdot-t\right)\) is\(\ -20 p^{2} t^{5}-12 p^{2} t^{4}+4 p t^{3}\). La respuesta correcta es\(\ -20 p^{2} t^{5}-12 p^{2} t^{4}+4 p t^{3}\).
4. Incorrecto. Debe distribuir el monomio a los tres términos en el polinomio, no sólo el primero:\(\ -4 p t^{2} \cdot 5 p t^{3}+\left(-4 p t^{2} \cdot 3 p t^{2}\right)+\left(-4 p t^{2} \cdot-t\right)\). La respuesta correcta es\(\ -20 p^{2} t^{5}-12 p^{2} t^{4}+4 p t^{3}\).

Dividir polinomios con más de una variable

La cuarta operación aritmética es la división. También se pueden dividir polinomios con más de una variable. Al dividir los monomios con más de una variable, se dividen los coeficientes y luego se dividen las variables. Cuando hay exponentes con la misma base, la ley de los exponentes dice que se divide restando los exponentes. Considera este ejemplo.

Ejemplo

Dividir. \(\ \frac{14 x^{3} y}{28 x^{6} y^{4}}\)

Solución

\(\ \left(\frac{14}{28}\right)\left(\frac{x^{3}}{x^{6}}\right)\left(\frac{y}{y^{4}}\right)\)	Para hacerlo más fácil, puede dividir los coeficientes y variables en factores numéricos y variables.
\(\ \frac{1}{2} x^{-3} y^{-3}\)	Divida los coeficientes y divida las variables restando los exponentes con bases similares.
\(\ \frac{1}{2 x^{3} y^{3}}\)	Reescribir con exponentes positivos.

El cociente es\(\ \frac{1}{2 x^{3} y^{3}}\).

Ahora veamos un ejemplo de dividir un trinomio con más de una variable por un monomio con más de una variable. Esto sigue el mismo procedimiento que cuando se tiene una variable, pero hay que prestar atención a distinguir entre las variables.

Ejemplo

Dividir. \(\ \frac{4 x^{4} y^{5}-2 x^{8} y^{3}+6 x^{3} y^{2}}{2 x^{2} y}\)

Solución

\(\ \frac{4 x^{4} y^{5}-2 x^{8} y^{3}+6 x^{3} y^{2}}{2 x^{2} y}\) \(\ \left(\frac{4 x^{4} y^{5}}{2 x^{2} y}\right)-\left(\frac{2 x^{8} y^{3}}{2 x^{2} y}\right)+\left(\frac{6 x^{3} y^{2}}{2 x^{2} y}\right)\)	Para hacerlo más fácil, se puede romper la división por los términos en el polinomio ya que cada término está siendo dividido por\(\ 2 x^{2} y\).
\(\ 2 x^{2} y^{4}-x^{6} y^{2}+3 x y\)	Realizar la división de cada término dividiendo los coeficientes, y dividiendo las variables restando los exponentes de variables con bases similares.

El cociente es\(\ 2 x^{2} y^{4}-x^{6} y^{2}+3 x y\).

Ejercicio

Dividir. \(\ \frac{25 s^{2} t^{4}-10 s^{3} t^{3}+5 s t^{2}}{5 s t^{2}}\)

1. \(\ 5 s t^{2}-2 s^{2} t+1\)
2. \(\ 5 s t^{2}-10 s^{3} t^{3}+5 s t^{2}\)
3. \(\ 20 s t^{2}-5 s^{2} t\)
4. \(\ \frac{25 s^{2} t^{4}-10 s^{3} t^{3}+5 s t^{2}}{5 s t^{2}}\)

Contestar

1. Correcto. Dividir cada término en el polinomio por el monomio:\(\ \frac{25 s^{2} t^{4}}{5 s t^{2}}-\frac{10 s^{3} t^{3}}{5 s t^{2}}+\frac{5 s t^{2}}{5 s t^{2}}\).
2. Incorrecto. Sólo dividiste el primer término. Dividir cada término en el polinomio por el monomio:\(\ \frac{25 s^{2} t^{4}}{5 s t^{2}}-\frac{10 s^{3} t^{3}}{5 s t^{2}}+\frac{5 s t^{2}}{5 s t^{2}}\). La respuesta correcta es\(\ 5 s t^{2}-2 s^{2} t+1\).
3. Incorrecto. Dividir, no restar, los coeficientes. La respuesta correcta es\(\ 5 s t^{2}-2 s^{2} t+1\).
4. Incorrecto. Realizar la división para simplificar. Está bien que no sean como términos, aún puedes dividir. Tienes que tener términos similares cuando sumas o restas términos, no cuando multiplicas y divides términos. Dividir cada término en el polinomio por el monomio:\(\ \frac{25 s^{2} t^{4}}{5 s t^{2}}-\frac{10 s^{3} t^{3}}{5 s t^{2}}+\frac{5 s t^{2}}{5 s t^{2}}\). La respuesta correcta es\(\ 5 s t^{2}-2 s^{2} t+1\).

Resumen

Realizar suma, resta, multiplicación y división de polinomios con más de una variable sigue los mismos pasos que operar sobre polinomios en una variable. Las cosas clave a las que hay que prestar atención son combinar solo términos similares y aplicar las leyes de los exponentes, las operaciones enteras y el orden de las operaciones con precisión.