12.2.3: Estuches Especiales- Cubos

Objetivos de aprendizaje

• Factorizar la suma de cubos.
• Factorizar la diferencia de cubos.

Introducción

En muchos sentidos, factorizar se trata de patrones: si reconoces los patrones que hacen los números cuando se multiplican juntos, puedes usar esos patrones para separar estos números en sus factores individuales.

Algunos patrones interesantes surgen cuando se trabaja con cantidades en cubos dentro de polinomios. Específicamente, hay dos casos especiales más a considerar:\(\ a^{3}+b^{3}\) y\(\ a^{3}-b^{3}\).

Echemos un vistazo a cómo factorizar sumas y diferencias de cubos.

Suma de Cubos

El término “en cubos” se utiliza para describir un número elevado a la tercera potencia. En geometría, un cubo es una forma de seis lados con igual anchura, longitud y altura; dado que todas estas medidas son iguales, el volumen de un cubo con ancho\(\ x\) puede ser representado por\(\ x^{3}\).

(¡Observe al exponente!)

Los números en cubos se hacen grandes muy rápidamente. \(\ 1^{3}=1,2^{3}=8,3^{3}=27,4^{3}=64\), y\(\ 5^{3}=125\).

Antes de considerar factorizar una suma de dos cubos, veamos los posibles factores.

Resulta que en realidad se\(\ a^{3}+b^{3}\) puede factorizar como\(\ (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\). Comprobemos estos factores multiplicando.

¿Lo hace\(\ (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3}\)?
\(\ \text { (a) }\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)+(b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\)	Aplicar la propiedad distributiva.
\(\ \left(a^{3}-a^{2} b+a b^{2}\right)+(b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\)	Multiplicar por\(\ a\).
\(\ \left(a^{3}-a^{2} b+a b^{2}\right)+\left(a^{2} b-a b^{2}+b^{3}\right)\)	Multiplicar por\(\ b\).
\(\ a^{3}-a^{2} b+a^{2} b+a b^{2}-a b^{2}+b^{3}\)	Reorganizar los términos para combinar los términos similares.
\(\ a^{3}+b^{3}\)	Simplificar.

¿Vías eso? Cuatro de los términos cancelados, dejándonos con el binomio (aparentemente) simple\(\ a^{3}+b^{3}\). Entonces, los factores son correctos.

Puede utilizar este patrón para factorizar binomios en la forma\(\ a^{3}+b^{3}\), también conocida como “la suma de cubos”.

La Suma de Cubos

Un binomio en la forma se\(\ a^{3}+b^{3}\) puede factorizar como\(\ (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\).

Ejemplos:

La forma factorizada de\(\ x^{3}+64\) es\(\ (x+4)\left(x^{2}-4 x+16\right)\).

La forma factorizada de\(\ 8 x^{3}+y^{3}\) es\(\ (2 x+y)\left(4 x^{2}-2 x y+y^{2}\right)\).

Ejemplo

Factor\(\ x^{3}+8 y^{3}\).

Solución

\(\ x^{3}+8 y^{3}\)	Identificar que este binomio se ajusta al patrón de suma de cubos:\(\ a^{3}+b^{3} \cdot a=x\) y\(\ b=2 y\) (desde\(\ 2 y \cdot 2 y \cdot 2 y=8 y^{3}\)).
\(\ (x+2 y)\left(x^{2}-x(2 y)+(2 y)^{2}\right)\)	Factorizar el binomio como\(\ (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\), sustituyendo\(\ a=x\) y\(\ b=2 y\) en la expresión.
\(\ (x+2 y)\left(x^{2}-x(2 y)+4 y^{2}\right)\)	Cuadrado\(\ (2 y)^{2}=4 y^{2}\)
\(\ (x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)\)	Multiplicar\(\ -x \cdot 2 y=-2 x y\) (escribir primero el coeficiente).

Y eso es todo. El binomio se\(\ x^{3}+8 y^{3}\) puede factorizar como\(\ (x+2 y)\left(x^{2}-2 x y+4 y^{2}\right)\). Intentemos con otro.

Siempre debes buscar un factor común antes de seguir cualquiera de los patrones para factorizar.

Ejemplo

Factor\(\ 16 m^{3}+54 n^{3}\).

Solución

\(\ 16 m^{3}+54 n^{3}\)	Factorizar el factor común, 2.
\(\ 2\left(8 m^{3}+27 n^{3}\right)\)	\(\ 8 m^{3}\)y\(\ 27 n^{3}\) son cubos, por lo que se puede factorizar\(\ 8 m^{3}+27 n^{3}\) como la suma de dos cubos:\(\ a=2 m\) y\(\ b=3 n\).
\(\ 2(2 m+3 n)\left[(2 m)^{2}-(2 m)(3 n)+(3 n)^{2}\right]\)	Factorizar la\(\ 8 m^{3}+27 n^{3}\) sustitución binomial\(\ a=2 m\) y\(\ b=3 n\) en la expresión\(\ \color{red}(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\).
\(\ 2(2 m+3 n)\left[\mathbf{4 m^{2}}-(2 m)(3 n)+\mathbf{9 n^{2}}\right]\)	Cuadrado:\(\ (2 m)^{2}=4 m^{2}\) y\(\ (3 n)^{2}=9 n^{2}\).
\(\ 2(2 m+3 n)\left(4 m^{2}-6 m n+9 n^{2}\right)\)	Multiplicar\(\ -(2 m)(3 n)=-6 m n\).

Ejercicio

Factor\(\ 125 x^{3}+64\).

1. \(\ (5 x+64)\left(25 x^{2}-125 x+16\right)\)
2. \(\ (5 x+4)\left(25 x^{2}-20 x+16\right)\)
3. \(\ (x+4)\left(x^{2}-2 x+16\right)\)
4. \(\ (5 x+4)\left(25 x^{2}+20 x-64\right)\)

Contestar

1. Incorrecto. Consulta tus valores para\(\ a\) y\(\ b\) aquí. \(\ b^{3}=64\), entonces, ¿qué es\(\ b\)? La respuesta correcta es\(\ (5 x+4)\left(25 x^{2}-20 x+16\right)\).
2. Correcto. \(\ 5 x\)es la raíz cúbica de\(\ 125 x^{3}\), y 4 es la raíz cúbica de 64. Sustituyendo estos valores por\(\ a\) y\(\ b\), encuentras\(\ (5 x+4)\left(25 x^{2}-20 x+16\right)\).
3. Incorrecto. Consulta tus valores para\(\ a\) y\(\ b\) aquí. \(\ a^{3}=125 x^{3}\), entonces, ¿qué es\(\ a\)? La respuesta correcta es\(\ (5 x+4)\left(25 x^{2}-20 x+16\right)\).
4. Incorrecto. Verifique los signos matemáticos; el\(\ b^{2}\) término es positivo, no negativo, al factorizar una suma de cubos. La respuesta correcta es\(\ (5 x+4)\left(25 x^{2}-20 x+16\right)\).

Diferencia de Cubos

Habiendo visto cómo se\(\ a^{3}+b^{3}\) pueden factorizar los binomios en la forma, no debería sorprendernos que los binomios en la forma\(\ a^{3}-b^{3}\) puedan factorizarse de manera similar.

La diferencia de los cubos

Un binomio en la forma se\(\ a^{3}-b^{3}\) puede factorizar como\(\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\).

Ejemplos:

La forma factorizada de\(\ x^{3}-64\) es\(\ (x-4)\left(x^{2}+4 x+16\right)\).

La forma factorizada de\(\ 27 x^{3}-8 y^{3}\) es\(\ (3 x-2 y)\left(9 x^{2}+6 x y+4 y^{2}\right)\).

Observe que la construcción básica de la factorización es la misma que lo es para la suma de cubos; la diferencia está en los signos + y -. Tómese un momento para comparar la forma factorizada de\(\ a^{3}+b^{3}\) con la forma factorizada de\(\ a^{3}-b^{3}\).

Forma factorizada de\(\ a^{3}+b^{3}\):\(\ (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\)

Forma factorizada de\(\ a^{3}-b^{3}\):\(\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\)

Esto puede ser complicado de recordar debido a los diferentes signos. La forma factorizada de\(\ a^{3}+b^{3}\) contiene un negativo, y la forma factorizada de\(\ a^{3}-b^{3}\) contiene un positivo! Algunas personas recuerdan las diferentes formas como esta:

“Recuerda una secuencia de variables:\(\ a^{3} b^{3}=(a b)\left(a^{2}\ a b\ b^{2}\right)\). Faltan 4 señales. Sea cual sea el primer signo, también es el segundo signo. El tercer signo es lo contrario, y el cuarto signo es siempre +”.

Prueba esto por ti mismo. Si el primer signo es +, como en\(\ a^{3}+b^{3}\), según esta estrategia ¿cómo se rellena el resto:\(\ (a b)\left(a^{2}\ a b\ b^{2}\right)\)?

¿Este método te ayuda a recordar la forma factorizada de\(\ a^{3}+b^{3}\) y\(\ a^{3}-b^{3}\)?

Sigamos adelante y veamos un par de ejemplos. Recuerda factorizar primero todos los factores comunes.

Ejemplo

Factor\(\ 8 x^{3}-1,000\).

Solución

\(\ 8\left(x^{3}-125\right)\)	Factor de salida 8.
\(\ 8\left(x^{3}-125\right)\)	Identificar que el binomio se ajusta al patrón\(\ a^{3}-b^{3}\):\(\ a=x\) y\(\ b=5\) (desde\(\ 5^{3}=125\)).
\(\ 8(x-5)\left[x^{2}+(x)(5)+5^{2}\right]\)	Factor\(\ x^{3}-125\) como\(\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\), sustituyendo\(\ a=x\) y\(\ b=5\) en la expresión.
\(\ 8(x-5)\left(x^{2}+5 x+25\right)\)	Cuadrado el primer y último término, y reescribir\(\ (x)(5)\) como\(\ 5x\).

\(\ 8(x-5)\left(x^{2}+5 x+25\right)\)

Veamos qué pasa si no se factoriza primero el factor común. En este ejemplo, todavía se puede factorizar como la diferencia de dos cubos. Sin embargo, la forma factorizada todavía tiene factores comunes, que deben ser factorizados.

Ejemplo

Factor\(\ 8 x^{3}-1,000\).

Solución

\(\ 8 x^{3}-1,000\)	Identificar que este binomio se ajusta al patrón\(\ a^{3}-b^{3}\):\(\ a=2 x\) y\(\ b=10\) (desde\(\ 10^{3}=1,000\)).
\(\ (2 x-10)\left[(2 x)^{2}+2 x \cdot 10+10^{2}\right]\)	Factor como\(\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\), sustituyendo\(\ a=2 x\) y\(\ b=10\) en la expresión.
\(\ (2 x-10)\left(4 x^{2}+20 x+100\right)\)	Cuadrar y multiplicar:\(\ (2 x)^{2}=4 x^{2}\)\(\ (2 x)(10)=20 x\),, y\(\ 10^{2}=100\).
\(\ 2(x-5)(4)\left(x^{2}+5 x+25\right)\)	Factorizar los factores comunes restantes en cada factor. Factor fuera 2 del primer factor, factor fuera 4 del segundo factor.
\(\ (2 \cdot 4)(x-5)\left(x^{2}+5 x+25\right)\)	Multiplicar los factores numéricos.

\(\ 8(x-5)\left(x^{2}+5 x+25\right)\)

Como puedes ver, este último ejemplo aún funcionó, pero requirió de un par de pasos adicionales. Siempre es una buena idea factorizar primero todos los factores comunes. En algunos casos, la única manera eficiente de factorizar el binomio es factorizar primero los factores comunes.

Aquí hay un ejemplo más. Tenga en cuenta eso\(\ r^{9}=\left(r^{3}\right)^{3}\) y eso\(\ 8 s^{6}=\left(2 s^{2}\right)^{3}\).

Ejemplo

Factor\(\ r^{9}-8 s^{6}\).

Solución

\(\ r^{9}-8 s^{6}\)	Identificar este binomio como la diferencia de dos cubos. Como se muestra arriba, lo es. Usando las leyes de los exponentes, reescribe\(\ r^{9}\) como\(\ \left(r^{3}\right)^{3}\).
\(\ \left(r^{3}\right)^{3}-\left(2 s^{2}\right)^{3}\)	Reescribir\(\ r^{9}\) como\(\ \left(r^{3}\right)^{3}\) y reescribir\(\ 8 s^{6}\) como\(\ \left(2 s^{2}\right)^{3}\).
\(\ \left(r^{3}-2 s^{2}\right)\left[\left(r^{3}\right)^{2}+\left(r^{3}\right)\left(2 s^{2}\right)+\left(2 s^{2}\right)^{2}\right]\)	Ahora el binomio está escrito en términos de cantidades en cubos. Pensando en\(\ a^{3}-b^{3}\),\(\ a=r^{3}\) y\(\ b=2 s^{2}\). Factorizar el binomio como\(\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\), sustituyendo\(\ a=r^{3}\) y\(\ b=2 s^{2}\) en la expresión.
\(\ \left(r^{3}-2 s^{2}\right)\left(r^{6}+2 r^{3} s^{2}+4 s^{4}\right)\)	Multiplicar y cuadrar los términos.

\(\ \left(r^{3}-2 s^{2}\right)\left(r^{6}+2 r^{3} s^{2}+4 s^{4}\right)\)

Ejercicio

Utilizando la diferencia de cubos, identificar el producto de\(\ 3(x-3 y)\left(x^{2}+3 x y+9 y^{2}\right)\).

1. \(\ x^{3}-y^{3}\)
2. \(\ 3 x-81 y\)
3. \(\ 3 x^{3}+81 y^{3}\)
4. \(\ 3 x^{3}-81 y^{3}\)

Contestar

1. Incorrecto. Si esto fuera cierto, la expresión mostrada anteriormente sería\(\ (x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\). La respuesta correcta es\(\ 3 x^{3}-81 y^{3}\).
2. Incorrecto. ¡Ninguno de los términos en este binomio es un número en cubos! La respuesta correcta es\(\ 3 x^{3}-81 y^{3}\).
3. Incorrecto. Revisa tus señales. Si esta expresión cae dentro de la categoría de diferencia de cubos, el símbolo entre\(\ 3 x^{3}\) y\(\ 81 y^{3}\) debe ser -. La respuesta correcta es\(\ 3 x^{3}-81 y^{3}\).
4. Correcto. Reconociendo que esta expresión está en la forma\(\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\), encuentras\(\ a=x\) y\(\ b=3 y\). Esto significa que el\(\ a^{3}-b^{3}\) monomio resultante es\(\ x^{3}-27 y^{3}\). Se\(\ 3 x^{3}-81 y^{3}\).

Resumen

Te encuentras con algunos patrones interesantes a la hora de factorizar. Dos casos especiales, la suma de cubos y la diferencia de cubos, pueden ayudarte a factorizar algunos binomios que tienen un grado de tres (o superior, en algunos casos). Los casos especiales son:

• Un binomio en la forma se\(\ a^{3}+b^{3}\) puede factorizar como\(\ (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\)
• Un binomio en la forma se\(\ a^{3}-b^{3}\) puede factorizar como\(\ (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\)

Siempre recuerde factorizar primero cualquier factor común.