12.2.2: Factoring- Casos Especiales

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Objetivos de aprendizaje

Trinomios factoriales que son cuadrados perfectos.
Binomios factoriales en forma de la diferencia de cuadrados.

Introducción

Una de las claves para factorizar es encontrar patrones entre el trinomio y los factores del trinomio. Aprender a reconocer algunos tipos de polinomios comunes disminuirá la cantidad de tiempo que lleva factorizarlos. Conociendo los patrones característicos de productos especiales, los trinomios que provienen de cuadrar binomios, por ejemplo, proporcionan un atajo para encontrar sus factores.

Plazas Perfectas

Los cuadrados perfectos son números que son el resultado de un número entero multiplicado por sí mismo o cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100 son todos cuadrados perfectos; vienen de cuadrar cada uno de los números del 1 al 10. Observe que estos cuadrados perfectos también pueden provenir de cuadrar los números negativos de -1 a -10, as\(\ (-1)(-1)=1\),\(\ (-2)(-2)=4\),\(\ (-3)(-3)=9\), y así sucesivamente.

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que es el resultado de un binomio multiplicado por sí mismo o cuadrado. Por ejemplo,\(\ (x+3)^{2}=(x+3)(x+3)=x^{2}+6 x+9\). El trinomio\(\ x^{2}+6 x+9\) es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a factorizar este trinomio usando los métodos que ya has visto.

Ejemplo

Factor\(\ x^{2}+6 x+9\).

Solución

\(\ x^{2}+3 x+3 x+9\)	Reescribir\(\ 6x\) como\(\ 3 x+3 x\), como\(\ 3 \cdot 3=9\), el último término, y\(\ 3+3=6\), el término medio.
\(\ \left(x^{2}+3 x\right)+(3 x+9)\)	Pares de términos de grupo.
\(\ x(x+3)+3(x+3)\)	Factor\(\ x\) fuera del primer par y factor 3 del segundo par.
\ (\\ begin {array} {r} (x+3) (x+3)\\ \ text {o} (x+3) ^ {2} \ end {array}\)	Factor hacia fuera\(\ x+3\). \(\ (x+3)(x+3)\)también se puede escribir como\(\ (x+3)^{2}\).

\(\ (x+3)(x+3) \text { or }(x+3)^{2}\)

Observe que en el trinomio\(\ x^{2}+6 x+9\), los\(\ c\) términos\(\ a\) y son cada uno un cuadrado perfecto, como\(\ x^{2}=x \cdot x\), y\(\ 9=3 \cdot 3\). También el término medio es el doble del producto de los\(\ x\) y 3 términos,\(\ 2(3) x=6 x\).

Consideremos a continuación un ejemplo ligeramente diferente. El ejemplo anterior muestra cómo\(\ (x+3)^{2}=x^{2}+6 x+9\). ¿Qué supone que\(\ (x-3)^{2}\) es igual? Usando lo que sabes sobre multiplicar binomios, ves lo siguiente.

\ (\\ begin {array} {l}
(x-3) ^ {2}\\
(x-3) (x-3)\\
x^ {2} -3 x-3 x+9\\
x^ {2} -6 x+9
\ end {array}\)

¡Observe eso\(\ (x+3)^{2}=x^{2}+6 x+9\) y\(\ (x-3)^{2}=x^{2}-6 x+9\)! Aquí, 9 se puede escribir como\(\ (-3)^{2}\), así lo es el término medio\(\ 2(-3) x=-6 x\). Entonces, cuando el signo del término medio es negativo, el trinomio puede factorizarse como\(\ (a-b)^{2}\).

Intentemos un ejemplo más:\(\ 9 x^{2}-24 x+16\). Observe que\(\ 9 x^{2}\) es un cuadrado perfecto, como\(\ (3 x)^{2}=9 x^{2}\) y que 16 es un cuadrado perfecto, como\(\ 4^{2}=16\). No obstante, el término medio,\(\ -24 x\) es negativo, así que inténtalo\(\ 16=(-4)^{2}\). En este caso, el término medio es\(\ 2(3 x)(-4)=-24 x\). Entonces el trinomio\(\ 9 x^{2}-24 x+16\) es un cuadrado perfecto y factores como\(\ (3 x-4)^{2}\).

También puede continuar factorizando usando la agrupación como se muestra a continuación.

Ejemplo

Factor\(\ 9 x^{2}-24 x+16\).

Solución

\(\ 9 x^{2}-12 x-12 x+16\)	Reescribir\(\ -24 x\) como\(\ -12 x-12 x\)
\(\ \left(9 x^{2}-12 x\right)+(-12 x+16)\)	Pares de términos de grupo. (Mantener el signo negativo con el 12.)
\(\ 3 x(3 x-4)-4(3 x-4)\)	Factor\(\ 3x\) fuera del primer grupo, y factor fuera -4 del segundo grupo.
\ (\\ begin {array} {r} (3 x-4) (3 x-4)\ \ text {or} (3 x-4) ^ {2} \ end {array}\)	Factor hacia fuera\(\ (3 x-4)\). \(\ (3 x-4)(3 x-4)\)también se puede escribir como\(\ (3 x-4)^{2}\).

\(\ (3 x-4)^{2}\)

Observe que si hubiera factorizado 4 en lugar de -4, el\(\ 3 x-4\) factor habría sido\(\ -3 x+4\), que es lo contrario de\(\ 3 x-4\). Al factorizar el -4, los factores de la agrupación salen igual, tanto como\(\ 3 x-4\). Necesitamos que eso suceda si vamos a sacar un factor de agrupación común para nuestro siguiente paso.

El patrón para factorizar trinomios cuadrados perfectos conduce a esta regla general.

Trinomios Cuadrados Perfectos

Un trinomio en la forma se\(\ a^{2}+2 a b+b^{2}\) puede factorizar como\(\ (a+b)^{2}\).

Un trinomio en la forma se\(\ a^{2}-2 a b+b^{2}\) puede factorizar como\(\ (a-b)^{2}\).

Ejemplos:

La forma factorizada de\(\ 4 x^{2}+20 x+25\) es\(\ (2 x+5)^{2}\).

La forma factorizada de\(\ x^{2}-10 x+25\) es\(\ (x-5)^{2}\).

Vamos a factorizar un trinomio usando la regla anterior. Una vez que hayas determinado que el trinomio es efectivamente un cuadrado perfecto, el resto es fácil. Observe que el\(\ c\) término siempre es positivo en un cuadrado trinomio perfecto.

Ejemplo

Factor\(\ x^{2}-14 x+49\).

Solución

\(\ x^{2}-14 x+49\)	Determinar si se trata de un trinomio cuadrado perfecto. El primer término es un cuadrado, como\(\ x^{2}=x \cdot x\). El último término es un cuadrado como\(\ 7 \cdot 7=49\). También\(\ -7 \cdot-7=49\).
\(\ -14 x=-7 x+-7 x\)	Entonces,\(\ a=x\) y\(\ b=7\) o -7. El término medio es\(\ -2 a b\) si usamos\(\ b=7\), porque\(\ -2 x \cdot 7=-14 x\). Es un trinomio cuadrado perfecto.
\(\ (x-7)^{2}\)	Factorizar como\(\ (a-b)^{2}\).

\(\ (x-7)^{2}\)

Puedes, y debes, multiplicar siempre para verificar la respuesta. \(\ (x-7)^{2}=(x-7)(x-7)=x^{2}-7 x-7 x+49=x^{2}-14 x+49\).

Ejercicio

Factor\(\ x^{2}-12 x+36\).

\(\ (x-4)(x-9)\)
\(\ (x+6)^{2}\)
\(\ (x-6)^{2}\)
\(\ (x+6)(x-6)\)

Responder

Incorrecto. Si bien\(\ -4 \cdot(-9)\) da el término constante 36, el término medio sería\(\ -13 x\) más bien que\(\ -12 x\). La respuesta correcta es\(\ (x-6)^{2}\).
Incorrecto. Si bien\(\ 6^{2}\) es 36, el término medio en el polinomio original es negativo, por lo que debes restar en el binomio tu cuadrado. La respuesta correcta es\(\ (x-6)^{2}\).
Correcto. Este es un trinomio cuadrado perfecto\(\ a^{2}-2 a b+b^{2}\) donde\(\ a=x\) y\(\ b=6\). La forma factorizada es\(\ (a-b)^{2}\), o\(\ (x-6)^{2}\).
Incorrecto. Este es un trinomio cuadrado perfecto\(\ a^{2}-2 a b+b^{2}\) donde\(\ a=x\) y\(\ b=6\), entonces la forma factorizada es\(\ (a-b)^{2}\), o\(\ (x-6)^{2}\). Observe que si se expande\(\ (x+6)(x-6)\), obtiene\(\ x^{2}+6 x-6 x-36\). El 36 se resta en lugar de sumar, y el\(\ 6 x-6 x\) da un término medio de 0 (es decir, ningún término medio en absoluto).

Factorizar una diferencia de cuadrados

La diferencia de dos cuadrados,\(\ a^{2}-b^{2}\), es también un producto especial que influye en el producto de dos binomios.

Vamos a factorizar\(\ 9 x^{2}-4\) escribiéndolo como trinomio,\(\ 9 x^{2}+0 x-4\). Ahora puedes factorizar este trinomio tal como lo has estado haciendo.

\(\ 9 x^{2}+0 x-4\)se ajusta a la forma estándar de un trinomio,\(\ a x^{2}+b x+c\). Vamos a factorizar este trinomio de la misma manera que lo harías con cualquier otro trinomio. Encuentra los factores de\(\ a c(9 \cdot-4=-36)\) cuya suma es\(\ b\), en este caso, 0.

*Factores de -36*	*Suma de los factores*
\(\ 1 \cdot-36=-36\)	\(\ 1+(-36)-35\)
\(\ 2 \cdot-18=-36\)	\(\ 2+(-18)=-16\)
\(\ 3 \cdot-12=-36\)	\(\ 3+(-12)=-9\)
\(\ 4 \cdot-9=-36\)	\(\ 4+(-9)=-5\)
\(\ 6 \cdot-6=-36\)	\(\ 6+(-6)=0\)
\(\ 9 \cdot-4=-36\)	\(\ 9+(-4)=5\)
...	...

Hay más factores, pero has encontrado el par que tiene una suma de 0, 6 y -6. Puedes utilizarlos para factorizar\(\ 9 x^{2}-4\).

Ejemplo

Factor\(\ 9 x^{2}-4\).

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 9 x^ {2} +0 x-4\\ 9 x^ {2} -6 x+6 x-4 \ end {array}\)	Reescribir\(\ 0 x\) como\(\ -6 x+6 x\).
\(\ \left(9 x^{2}-6 x\right)+(6 x-4)\)	Pares grupales.
\(\ 3 x(3 x-2)+2(3 x-2)\)	Factor\(\ 3 x\) fuera del primer grupo. Factor 2 del segundo grupo.
\(\ (3 x-2)(3 x+2)\)	Factor hacia fuera\(\ (3 x-2)\).

\(\ (3 x-2)(3 x+2)\)

Dado que la multiplicación es conmutativa, la respuesta también se puede escribir como\(\ (3 x+2)(3 x-2)\).

Se puede verificar la respuesta multiplicando\(\ (3 x-2)(3 x+2)=9 x^{2}+6 x-6 x-4=9 x^{2}-4\).

Factorizar una diferencia de cuadrados

Un binomio en la forma se\(\ a^{2}-b^{2}\) puede factorizar como\(\ (a+b)(a-b)\).

Ejemplos

La forma factorizada de\(\ x^{2}-100\) es\(\ (x+10)(x-10)\).

La forma factorizada de\(\ 49 y^{2}-25\) es\(\ (7 y+5)(7 y-5)\).

Vamos a factorizar la diferencia de dos cuadrados usando la regla anterior. Una vez que hayas determinado que tienes la diferencia de dos cuadrados, solo tienes que seguir el patrón.

Ejemplo

Factor\(\ 4 x^{2}-36\).

Solución

\(\ 4 x^{2}-36\)

\(\ 4 x^{2}=(2 x)^{2}\), entonces\(\ a=2 x\)

\(\ 36=6^{2}\), entonces\(\ b=6\)

Y\(\ 4 x^{2}-36\) es la diferencia de dos cuadrados.

\(\ (2 x+6)(2 x-6)\)

Factorizar como\(\ (a+b)(a-b)\).

\(\ (2 x+6)(2 x-6)\)

Verifique la respuesta multiplicando:\(\ (2 x+6)(2 x-6)=4 x^{2}-12 x+12 x-36=4 x^{2}-36\).

Ejercicio

Factor\(\ 4 b^{2}-25\).

\(\ (2 b-25)(2 b+1)\)
\(\ (2 b+5)^{2}\)
\(\ (2 b-5)^{2}\)
\(\ (2 b+5)(2 b-5)\)

Responder

Incorrecto. \(\ (2 b-25)(2 b+1)=4 b^{2}+2 b-50 b-25=4 b^{2}-48 b-25\). El término medio debería ser\(\ 0 b\), no\(\ -48 b\). La respuesta correcta es\(\ (2 b+5)(2 b-5)\).
Incorrecto. \(\ (2 b+5)^{2}=(2 b+5)(2 b+5)=4 b^{2}+10 b+10 b+25=4 b^{2}+20 b+25\). El término medio debería ser\(\ 0 b\), no\(\ 20 b\). La respuesta correcta es\(\ (2 b+5)(2 b-5)\).
Incorrecto. \(\ (2 b-5)^{2}=(2 b-5)(2 b-5)=4 b^{2}-10 b-10 b+25=4 b^{2}-20 b+25\). El término medio debería ser\(\ 0 b\), no\(\ -20 b\). La respuesta correcta es\(\ (2 b+5)(2 b-5)\).
Correcto. \(\ 4 b^{2}-25\)es un caso especial. Es la diferencia de dos cuadrados. \(\ (2 b+5)(2 b-5)=4 b^{2}-10 b+10 b-25=(2 b+5)(2 b-5)\), lo cual es correcto.

Observe que no se puede factorizar la suma de dos cuadrados,\(\ a^{2}+b^{2}\). Puede que se sienta tentado a factorizar esto como\(\ (a+b)^{2}\), pero verifíquelo multiplicando:\(\ (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+a b+a b+b^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\), NO\(\ a^{2}+b^{2}\).

Resumen

Aprender a identificar ciertos patrones en polinomios te ayuda a factorizar algunos “casos especiales” de polinomios rápidamente. Los casos especiales son:

trinomios que son cuadrados perfectos,\(\ a^{2}+2 a b+b^{2}\) y\(\ a^{2}-2 a b+b^{2}\), que factorizan como\(\ (a+b)^{2}\) y\(\ (a-b)^{2}\), respectivamente;
binomios que son la diferencia de dos cuadrados,\(\ a^{2}-b^{2}\), que factores como\(\ (a+b)(a-b)\).

Para algunos polinomios, es posible que necesites combinar técnicas (buscando factores comunes, agrupando y usando productos especiales) para factorizar el polinomio por completo.