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15.1.1: Introducción a las expresiones racionales

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    Objetivos de aprendizaje
    • Buscar valores de una variable que hagan indefinida una expresión racional.
    • Simplifica las expresiones racionales.

    Introducción

    Las expresiones racionales son fracciones que tienen un polinomio en el numerador, denominador o ambos. Aunque las expresiones racionales pueden parecer complicadas porque contienen variables, se pueden simplificar de la misma manera que se simplifican las fracciones numéricas, también llamadas fracciones numéricas.

    Encontrar el dominio de una expresión

    El primer paso para simplificar una expresión racional es determinar el dominio, el conjunto de todos los valores posibles de las variables. El denominador en una fracción no puede ser cero porque la división por cero es indefinida. La razón\(\ \frac{6}{3}=2\) es que cuando multiplicas la respuesta 2, multiplicado por el divisor 3, vuelves 6. Para poder dividir cualquier número\(\ c\) por cero\(\ \left(\frac{c}{0}=?\right)\), tendrías que encontrar un número que al multiplicarlo por 0 recuperarías\(\ c\) (¿qué veces cero es igual\(\ c\)?). No hay números que puedan hacer esto, así que decimos “la división por cero es indefinida”. Al simplificar las expresiones racionales, es necesario prestar atención a qué valores de la (s) variable (s) en la expresión harían que el denominador sea igual a cero. Estos valores no se pueden incluir en el dominio, por lo que se denominan valores excluidos. Desétalos justo al inicio, antes de ir más lejos.

    (Tenga en cuenta que aunque el denominador no puede ser equivalente a 0, el numerador sí. Es por ello que solo se buscan valores excluidos en el denominador de una expresión racional.)

    Para expresiones racionales, el dominio excluirá valores para los cuales el valor del denominador es 0. A continuación se muestran dos ejemplos para ilustrar el hallazgo del dominio de una expresión.

    Ejemplo

    Identificar el dominio de la expresión.

    \(\ \frac{3 x+2}{x-4}\)

    Solución

    \(\ x-4=0\) Encontrar cualquier valor para\(\ x\) eso haría que el denominador sea igual a 0.
    \(\ x=4\) Cuando\(\ x=4\), el denominador es igual a 0.

    El dominio es todo números reales, excepto 4.

    Encontraste que\(\ x\) no puede ser 4. (A veces se puede ver esta idea presentada como “\(\ x \neq 4\).”) ¿Qué pasa si sustituyen ese valor en la expresión?

    \ (\\ begin {array} {c}
    \ frac {3 x+2} {x-4}\
    \ frac {3 (4) +2} {(4) -4}\
    \ frac {12+2} {0} {0}\
    \ frac {14} {0}
    \ end {array}\)

    Se encuentra que cuando\(\ x=4\), el numerador evalúa a 14, pero el denominador evalúa a 0. Y como la división por 0 es indefinida, este debe ser un valor excluido.

    Vamos a probar uno que sea un poco más desafiante.

    Ejemplo

    Identificar el dominio de la expresión.

    \(\ \frac{x+7}{x^{2}+8 x-9}\)

    Solución

    \(\ x^{2}+8 x-9=0\) Encontrar cualquier valor para\(\ x\) eso haría que el denominador sea igual a 0 estableciendo el denominador igual a 0 y resolviendo la ecuación.
    \ (\\ begin {array} {c}
    (x+9) (x-1) =0\\
    x=-9\ text {o} x=1
    \ end {array}\)    		 Resolver la ecuación factorizando. Las soluciones son los valores que se excluyen del dominio.

    El dominio es todo números reales excepto -9 y 1.

    Ejercicio

    Encontrar el dominio de la expresión racional\(\ \frac{5 x}{2 x+8}\).

    1. todos los números reales excepto -4
    2. todos los números reales excepto 4
    3. todos los números reales excepto 0
    4. todos los números reales
    Contestar
    1. Correcto. Cuando\(\ x=-4\), el denominador es\(\ 2(-4)+8=-8+8=0\). La división por 0 no está definida, por lo que el dominio debe excluir\(\ x=-4\).
    2. Incorrecto. Cuando\(\ x=4\), el denominador no es igual a 0, por lo tanto no es un valor excluido. Establezca el denominador igual a 0 y resuelva para\(\ x\). La respuesta correcta son todos los números reales excepto -4.
    3. Incorrecto. Cuando\(\ x=0\), el numerador es igual a 0 pero el denominador no, por lo tanto no es un valor excluido. Establezca el denominador igual a 0 y resuelva para\(\ x\). La respuesta correcta son todos los números reales excepto -4.
    4. Incorrecto. Hay un valor de\(\ x\) que hará que el denominador 0. Establezca el denominador igual a 0 y resuelva para\(\ x\). La respuesta correcta son todos los números reales excepto -4.

    Simplificación de expresiones racionales

    Una vez que hayas descubierto los valores excluidos, el siguiente paso es simplificar la expresión racional. Para simplificar una expresión racional, siga el mismo enfoque que utiliza para simplificar las fracciones numéricas: encuentre factores comunes en el numerador y denominador. Empecemos simplificando una fracción numérica.

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \frac{15}{27}\)

    Solución

    \(\ \frac{15}{27}=\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot 3}\) Factorizar el numerador y el denominador.
    \(\ \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot 3}\) Identificar las fracciones que equivalen a 1, y luego sacarlas de la fracción.
    \ (\\ begin {array} {l}
    \ frac {5} {3\ cdot 3}\ cdot\ frac {3} {3}\
    \ frac {5} {3\ cdot 3}\ cdot 1
    \ end {array}\)    		 En esta fracción, el factor 3 está tanto en el numerador como en el denominador. Recordemos que\(\ \frac{3}{3}\) es otro nombre para 1.
    \(\ \frac{5}{3 \cdot 3}=\frac{5}{9}\) Simplificar.

    \(\ \frac{15}{27}=\frac{5}{9}\)

    Ahora, podrías haber hecho ese problema en tu cabeza, pero valió la pena escribirlo todo porque así es exactamente como simplificas una expresión racional.

    Entonces vamos a simplificar una expresión racional, usando la misma técnica que aplicaste a la fracción\(\ \frac{15}{27}\). Sólo que esta vez, el numerador y el denominador son ambos monomios con variables.

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}\)

    Solución

    \(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}=\frac{5 \cdot x \cdot x}{5 \cdot 5 \cdot x}\) Factorizar el numerador y el denominador.
    \ (\\ begin {array} {r}
    \ frac {5\ cdot x\ cdot x} {5\ cdot 5\ cdot x}\
    \ frac {x} {5}\ cdot\ frac {5\ cdot x} {5\ cdot x} {5\ cdot x}
    \\ frac {x} {5}\ cdot 1
    \ end {array}\)    		 Identificar las fracciones que equivalen a 1, y luego sacarlas de la fracción.
    \(\ \frac{x}{5}\) Simplificar.

    \(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}=\frac{x}{5}\)

    Los mismos pasos volvieron a funcionar. Factorizar el numerador, factorizar el denominador, identificar factores que son comunes al numerador y denominador y escribir como factor de 1, y simplificar.

    Al simplificar las expresiones racionales, es un buen hábito considerar siempre el dominio, y encontrar los valores de la variable (o variables) que hacen que la expresión sea indefinida. (Esto será útil cuando empieces a resolver variables un poco más tarde).

    Ejemplo

    Identificar el dominio de la expresión.

    \(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}\)

    Solución

    \(\ 25 x=0\) Encontrar cualquier valor para\(\ x\) eso haría que el denominador sea igual a 0 estableciendo el denominador igual a 0 y resolviendo la ecuación.

    \(\ \frac{25 x}{25}=\frac{0}{25}\)

    \(\ x=0\)

    		 Se excluyen del dominio los valores para\(\ x\) que el denominador sea igual a 0.

    El dominio es todo números reales excepto 0.

    Observe que inició con la expresión original, y los valores identificados de\(\ x\) eso harían\(\ 25x\) igual a 0. ¿Por qué importa esto? Cuando\(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}\) se simplifica, es la fracción\(\ \frac{x}{5}\). Dado que 5 es el denominador, parece que no es necesario excluir del dominio ningún valor. Al encontrar el dominio de una expresión, siempre comienzas con la expresión original porque los términos variables pueden ser factorizados como parte del proceso de simplificación.

    En los ejemplos que siguen, el numerador y el denominador son polinomios con más de un término, pero nuevamente se aplicarán los mismos principios de simplificación. Factorizar el numerador y denominador para simplificar la expresión racional.

    Ejemplo

    Simplifique y establezca el dominio para la expresión.

    \(\ \frac{x+3}{x^{2}+12 x+27}\)

    Solución

    \(\ x^{2}+12 x+27=0\)

    \(\ (x+3)(x+9)=0\)

    \ (\\ begin {array} {llrl}
    x+3=0 & &\ text {o} & x+9=0\
    x=0-3 & &\ text {o} & x=0-9\
    x=-3 & &\ text {o} & x=-9
    \ end {array}\)

    \(\ x=-3\)o\(\ x=-9\)

    dominio es todos los números reales excepto -3 y -9

    		 Para encontrar el dominio (y los valores excluidos), busque los valores para los que el denominador es igual a 0. Factorizar la cuadrática para encontrar los valores.
    \(\ \frac{x+3}{x^{2}+12 x+27}\) Factorizar el numerador y el denominador.
    \(\ \frac{x+3}{(x+3)(x+9)}\) Identificar los factores que son iguales en el numerador y denominador.
    \ (\\ begin {array} {r}
    \ frac {x+3} {x+3}\ cdot\ frac {1} {x+9}\\
    1\ cdot\ frac {1} {x+9}
    \ end {array}\)

    Escribe como fracciones separadas, sacando fracciones que equivalen a 1.

    Simplificar.

    \(\ \frac{x+3}{x^{2}+12 x+27}=\frac{1}{x+9}\)

    El dominio es todo números reales excepto -3 y -9.

    Ejemplo

    Simplifique y establezca el dominio para la expresión.

    \(\ \frac{x^{2}+10 x+24}{x^{3}-x^{2}-20 x}\)

    Solución

    \(\ x^{3}-x^{2}-20 x=0\)
    \ (\\ begin {array} {l}
    x\ izquierda (x^ {2} -x-20\ derecha) =0\\
    x (x-5) (x+4) =0
    \ end {array}\)    		 Para encontrar el dominio, determine los valores para los cuales el denominador es igual a 0.
    el dominio es todos los números reales excepto 0, 5 y -4
    \ (\\ begin {array} {r}
    \ frac {x^ {2} +10 x+24} {x^ {3} -x^ {2} -20 x}\
    \ frac {(x+4) (x+6)} {x (x-5) (x+4)}\
    \ frac {x+6} {x (x-5)}\ cdot\ frac {(x+4)} {(x+4)}
    \ end {array}\)

    Para simplificar, factorizar el numerador y denominador de la expresión racional. Identificar los factores que son iguales en el numerador y denominador.

    Escribe como fracciones separadas, sacando fracciones que equivalen a 1.
    \(\ \frac{x+6}{x(x-5)} \text { or } \frac{x+6}{x^{2}-5 x}\) Simplificar. Es aceptable o bien dejar el denominador en forma factorizada o distribuirlo con multiplicación.

    \(\ \frac{x+6}{x(x-5)} \text { or } \frac{x+6}{x^{2}-5 x}\)

    El dominio es todo números reales excepto 0, 5 y -4.

    Pasos para simplificar una expresión racional

    Para simplificar una expresión racional, siga estos pasos:

    • Determinar el dominio. Los valores excluidos son aquellos valores para la variable que dan como resultado que la expresión tenga un denominador de 0.
    • Factorizar el numerador y el denominador.
    • Encuentra factores comunes para el numerador y denominador y simplifica.
    Ejercicio

    Simplifica la expresión racional a continuación.

    \(\ \frac{2 x^{2}+13 x+15}{2 x^{2}+23 x+30}\)

    [Nota: Si bien el dominio y los valores excluidos de una expresión racional son importantes, no siempre se le pedirá que los encuentre a la hora de simplificar una expresión racional. En esta expresión, el dominio es todo números reales excepto\(\ \frac{3}{2}\) y -10.]

    1. \(\ \frac{14}{25}\)
    2. \(\ \frac{x+5}{x+10}\)
    3. \(\ \frac{2 x}{3}\)
    4. \(\ \frac{1}{2}\)
    Contestar
    1. Incorrecto. Primero debes factorizar los polinomios en el numerador y el denominador y luego expresar factores similares en el numerador y denominador como 1 para simplificar. La expresión se puede factorizar como\(\ \frac{(2 x+3)(x+5)}{(2 x+3)(x+10)}\), por lo que la respuesta correcta es\(\ \frac{x+5}{x+10}\).
    2. Correcto. La expresión racional se puede simplificar factorizando el numerador y denominador como\(\ \frac{(2 x+3)(x+5)}{(2 x+3)(x+10)}\). Ya que\(\ \frac{2 x+3}{2 x+3}=1\), simplificar la expresión a\(\ \frac{x+5}{x+10}\).
    3. Incorrecto. Primero debes factorizar los polinomios en el numerador y el denominador y luego expresar factores similares en el numerador y denominador como 1 para simplificar. La expresión se puede factorizar como\(\ \frac{(2 x+3)(x+5)}{(2 x+3)(x+10)}\), por lo que la respuesta correcta es\(\ \frac{x+5}{x+10}\).
    4. Incorrecto. No se puede simplificar\(\ \frac{x+5}{x+10}\) a\(\ \frac{1}{2}\) porque el\(\ x\) en el numerador y el\(\ x\) en el denominador no se están multiplicando, se están agregando. La respuesta correcta es\(\ \frac{x+5}{x+10}\).

    Resumen

    Las expresiones racionales son fracciones que contienen polinomios. Se pueden simplificar al igual que las fracciones numéricas. Para simplificar una expresión racional, primero determinar los factores comunes del numerador y denominador, y luego eliminarlos reescribiéndolos como expresiones iguales a 1.

    Una consideración adicional para las expresiones racionales es determinar qué valores se excluyen del dominio. Dado que la división por 0 no está definida, se debe excluir cualquier valor de las variables que den como resultado un denominador de 0. Los valores excluidos deben identificarse en la ecuación original, no de su forma factorizada.

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