15.1.2: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Objetivos de aprendizaje

• Multiplicar expresiones racionales y simplificar.
• Dividir expresiones racionales y simplificar.

Introducción

Así como puedes multiplicar y dividir fracciones, puedes multiplicar y dividir expresiones racionales. De hecho, usas los mismos procesos para multiplicar y dividir expresiones racionales que utilizas para multiplicar y dividir fracciones numéricas. ¡El proceso es el mismo aunque las expresiones se vean diferentes!

Multiplicación de expresiones racionales

Recuerda que hay dos formas de multiplicar fracciones numéricas.

Una forma es multiplicar los numeradores y los denominadores y luego simplificar el producto, como se muestra aquí.

\(\ \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{8}=\frac{36}{40}=\frac{3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}=\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}=\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2} \cdot 1=\frac{9}{10}\)

Una segunda forma es factorizar y simplificar las fracciones antes de realizar la multiplicación.

\(\ \frac{4}{5} \cdot \frac{9}{8}=\frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2}=\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \cdot \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2}=1 \cdot \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2}=\frac{9}{10}\)

Observe que ambos métodos dan como resultado el mismo producto. En algunos casos, puede resultarle más fácil multiplicar y luego simplificar, mientras que en otros puede tener más sentido simplificar las fracciones antes de multiplicar.

Los mismos dos enfoques se pueden aplicar a las expresiones racionales. En los siguientes ejemplos, se muestran ambas técnicas. Primero, multipliquemos y luego simplifiquemos.

Ejemplo

Multiplicar. Declarar el producto en la forma más simple.

\(\ \frac{5 a^{2}}{14} \cdot \frac{7}{10 a^{3}}\)

Solución

\(\ \frac{5 a^{2}}{14} \cdot \frac{7}{10 a^{3}}=\frac{35 a^{2}}{140 a^{3}}\)	Multiplicar los numeradores, y luego multiplicar los denominadores.
\(\ \frac{35 a^{2}}{140 a^{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot a^{2}}{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot a^{2} \cdot a}\)	Simplifica encontrando factores comunes en el numerador y denominador.
\ (\\ begin {array} {r} =\ frac {5\ cdot 7\ cdot a^ {2}} {5\ cdot 7\ cdot a^ {2}}\ cdot\ frac {1} {2\ cdot 2\ cdot a}\\ =1\ cdot\ frac {1} {4 a} \ end {array}\)	Utilice los factores comunes para reescribir como multiplicación por 1.
\(\ \frac{1}{4 a}\)	Simplificar.

\(\ \frac{5 a^{2}}{14} \cdot \frac{7}{10 a^{3}}=\frac{1}{4 a}\)

Bien, eso funcionó. Pero esta vez, simplifiquemos primero, luego multipliquemos. Al usar este método, ayuda a buscar el mayor factor común. Puedes factorizar cualquier factor común, pero encontrar el más grande tomará menos pasos.

Ejemplo

Multiplicar.

Declarar el producto en la forma más simple.

\(\ \frac{5 a^{2}}{14} \cdot \frac{7}{10 a^{3}}\)

Solución

\(\ \frac{5 \cdot a^{2}}{7 \cdot 2} \cdot \frac{7}{5 \cdot 2 \cdot a^{2} \cdot a}\)	Facturar los numeradores y denominadores. Busca los mayores factores comunes.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {5} {5}\ cdot\ frac {a^ {2}} {a^ {2}}\ cdot\ frac {7} {7}\ cdot\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {1} {a}\\ 1\ cdot 1\ cdot 1\ cdot\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {1} {a} \ end {array}\)	Reagrupa las fracciones para expresar factores comunes como multiplicación por 1, y luego multiplicar.

\(\ \frac{5 a^{2}}{14} \cdot \frac{7}{10 a^{3}}=\frac{1}{4 a}\)

Ambos métodos produjeron la misma respuesta.

Además, recuerda que al trabajar con expresiones racionales, debes adentrarte en el hábito de identificar cualquier valor para las variables que resultaría en división por 0. Estos valores excluidos deben ser eliminados del dominio, el conjunto de todos los valores posibles de la variable. En el ejemplo anterior,\(\ \frac{5 a^{2}}{14} \cdot \frac{7}{10 a^{3}}\), el dominio es todo números reales donde no\(\ a\) es igual a 0. Cuando\(\ a=0\), el denominador de la fracción\(\ \frac{7}{10 a^{3}}\) es igual a 0, lo que hará que la fracción sea indefinida.

Algunas expresiones racionales contienen expresiones cuadráticas y otros polinomios multitérmino. Para multiplicar estas expresiones racionales, el mejor enfoque es factorizar primero los polinomios y luego buscar factores comunes. (Multiplicar los términos antes de factorizar muchas veces creará polinomios complicados, ¡y entonces tendrás que factorizar estos polinomios de todos modos! Por esta razón, es más fácil factorizar, simplificar y luego multiplicar.) Simplemente tómalo paso a paso, como en los ejemplos a continuación.

Ejemplo

Multiplicar. Declarar el producto en la forma más simple.

\(\ \frac{a^{2}-a-2}{5 a} \cdot \frac{10 a}{a+1}, a \neq-1,0\)

Solución

\(\ \frac{(a-2)(a+1)}{5 \cdot a} \cdot \frac{5 \cdot 2 \cdot a}{(a+1)}\)	Facturar los numeradores y denominadores.
\(\ \frac{(a+1)}{(a+1)} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{a}{a} \cdot \frac{(a-2)}{1} \cdot \frac{2}{1}\)	Reagruparse para expresar expresiones racionales equivalentes a 1.
\ (\\ begin {array} {r} 1\ cdot 1\ cdot 1\ cdot\ cdot\ frac {(a-2)} {1}\ cdot\ frac {2} {1}\\ 2 (a-2) \ end {array}\)	Multiplicar expresiones racionales simplificadas. Esta expresión puede dejarse con el numerador en forma factorizada o multiplicarse.

\(\ \frac{a^{2}-a-2}{5 a} \cdot \frac{10 a}{a+1}=2 a-4\)

Ejemplo

Multiplicar. Declarar el producto en la forma más simple.

\(\ \frac{a^{2}+4 a+4}{2 a^{2}-a-10} \cdot \frac{a+5}{a^{2}+2 a}, a \neq-2,0, \frac{5}{2}\)

Solución

\(\ \frac{(a+2)(a+2)}{(2 a-5)(a+2)} \cdot \frac{a+5}{a(a+2)}\)	Facturar los numeradores y denominadores.
\(\ \frac{a+2}{a+2} \cdot \frac{a+2}{a+2} \cdot \frac{1}{(2 a-5)} \cdot \frac{a+5}{a}\)	Reagruparse para expresar expresiones racionales equivalentes a 1.
\(\ 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{(2 a-5)} \cdot \frac{a+5}{a}=\frac{a+5}{a(2 a-5)}\)	Multiplicar expresiones racionales simplificadas. Esta expresión puede dejarse con el denominador en forma factorizada o multiplicarse.

\(\ \frac{a^{2}+4 a+4}{2 a^{2}-a-10} \cdot \frac{a+5}{a^{2}+2 a}=\frac{a+5}{a(2 a-5)}\)

Tenga en cuenta que en la respuesta anterior, no se puede simplificar más la expresión racional. Puede ser tentador expresar el\(\ 5s\) en el numerador y denominador como la fracción\(\ \frac{5}{5}\), pero estos\(\ 5s\) son términos porque se están sumando o restando. ¡Recuerda que solo los factores comunes, no los términos, pueden reagruparse para formar factores de 1!

Ejercicio

Multiplicar y expresar el producto como una expresión racional simplificada.

\(\ \frac{y^{2}-4}{y^{2}-2 y} \cdot \frac{y}{y^{2}+10 y+16}, y \neq-8,-2,0,2\)

1. \(\ \frac{2}{y^{2}+26 y}\)
2. \(\ \frac{y}{y(y+8)}\)
3. \(\ \frac{(y-2) y}{\left(y^{2}-2 y\right)(y+8)}\)
4. \(\ \frac{1}{y+8}\)

Contestar

1. Incorrecto. Simplificas factorizando los numeradores y denominadores. La fracción se\(\ \frac{y^{2}-4}{y^{2}-2 y}\) puede escribir como\( \frac{(y+2)(y-2)}{y(y-2)}\), y la fracción se\(\ \frac{y}{y^{2}+10 y+16}\) puede escribir como\(\ \frac{y}{(y+8)(y+2)}\).
2. Incorrecto. Esta expresión es equivalente, pero se puede simplificar aún más ya que existe un factor común de\(\ y\) en el numerador y denominador. La respuesta correcta es\(\ \frac{1}{y+8}\).
3. Incorrecto. Esta expresión es equivalente, pero se puede simplificar aún más ya que hay factores comunes en el numerador y denominador:\(\ y^{2}-2 y=y(y-2)\). La respuesta correcta es\(\ \frac{1}{y+8}\).
4. Correcto. Factorizando los numeradores y denominadores, se obtiene\(\ \frac{(y-2)(y+2)}{y(y-2)} \cdot \frac{y}{(y+8)(y+2)}\). Reagrupándose, se obtiene\(\ \frac{y-2}{y-2} \cdot \frac{y+2}{y+2} \cdot \frac{y}{y} \cdot \frac{1}{y+8}=\frac{1}{y+8}\).

Dividir expresiones racionales

Has visto que multiplicas expresiones racionales a medida que multiplicas fracciones numéricas. No debería sorprendernos que también dividas expresiones racionales de la misma manera que divides fracciones numéricas. Específicamente, para dividir expresiones racionales, mantener la primera expresión racional, cambiar el signo de división a multiplicación, y luego tomar el recíproco de la segunda expresión racional.

Comencemos recordando la división de fracciones numéricas.

\(\ \frac{2}{3} \div \frac{5}{9}=\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{5}=\frac{18}{15}=\frac{6}{5}\)

Utilizar el mismo proceso para dividir expresiones racionales. Se puede pensar en la división como multiplicación por lo recíproco, y luego usar lo que sabe sobre la multiplicación para simplificar.

Aún hace falta pensar en el dominio, específicamente los valores de las variables que harían que cualquiera de los dos denominador sea igual a cero. Pero esta vez hay una nueva consideración porque divides multiplicando por el recíproco de una de las expresiones racionales, también necesitas encontrar los valores que harían que el numerador de esa expresión sea igual a cero. Eche un vistazo.

Ejemplo

Identificar el dominio de la expresión.

\(\ \frac{5 x^{2}}{9} \div \frac{15 x^{3}}{27}\)

Solución

\(\ 15 x^{3}=0\) \(\ x=0\)es un valor excluido.

Encuentra valores excluidos. 9 y 27 nunca pueden ser iguales a 0. Porque\(\ 15 x^{3}\) se convierte en el denominador en el recíproco de\(\ \frac{15 x^{3}}{27}\), hay que encontrar los valores de\(\ x\) que harían\(\ 15 x^{3}\) igual 0.

El dominio es todo números reales excepto 0.

Saber encontrar el dominio puede parecer poco importante aquí, pero te ayudará a la hora de aprender a resolver ecuaciones racionales. Dividir, multiplicar por lo recíproco.

Ejemplo

Dividir. Declarar el cociente en la forma más simple.

\(\ \frac{5 x^{2}}{9} \div \frac{15 x^{3}}{27}\)

Solución

\(\ \frac{5 x^{2}}{9} \cdot \frac{27}{15 x^{3}}\)	Reescribir la división como multiplicación por el recíproco.
\(\ \frac{5 \cdot x \cdot x}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x}\)	Facturar los numeradores y denominadores.
\(\ \frac{5 \cdot x \cdot x \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot x \cdot x \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \cdot \frac{1}{x}\)	Reordenar los factores y expresar como multiplicación por 1.
\(\ 1 \cdot \frac{1}{x}\)	Simplificar.

\(\ \frac{5 x^{2}}{9} \div \frac{15 x^{3}}{27}=\frac{1}{x}, x \neq 0\)

Ejemplo

Dividir. Declarar el cociente en la forma más simple, y expresar el dominio de la expresión.

\(\ \frac{3 x^{2}}{x+2} \div \frac{6 x^{4}}{x^{2}+5 x+6}\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} (x+2) =0\\ x=-2 \ end {array}\)
\ (\\ begin {array} {r} \ izquierda (x^ {2} +5 x+6\ derecha) =0\\ (x+3) (x+2) =0\\ x=-3\ texto {o} -2 \ end {array}\) \ (\\ comenzar {alineado} 6 x^ {4} &=0\\ x &=0 \ fin {alineado}\)	Determinar los valores excluidos que hacen que los denominadores y el numerador del divisor sean iguales a 0.
El dominio es todos los números reales excepto 0, -2 y -3.
\(\ \frac{3 x^{2}}{x+2} \cdot \frac{x^{2}+5 x+6}{6 x^{4}}\)	Reescribir la división como multiplicación por el recíproco.
\(\ \frac{3 \cdot x \cdot x}{x+2} \cdot \frac{(x+2)(x+3)}{2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}\)	Facturar los numeradores y denominadores.
\ (\\ begin {array} {r} \ frac {3\ cdot x\ cdot x\ cdot (x+2)} {3\ cdot x\ cdot x\ cdot (x+2)}\ cdot\ frac {x+3} {2\ cdot x\ cdot x}\\ 1\ cdot\ frac {(x+3)} {2 x^ {2} \ end {array}\)	Reordenar los factores y expresar como multiplicación por 1. Simplificar.

\(\ \frac{3 x^{2}}{x+2} \div \frac{6 x^{4}}{x^{2}+5 x+6}=\frac{x+3}{2 x^{2}}\)

El dominio es todo números reales excepto 0, -2 y -3.

Observe que una vez que reescribe la división como multiplicación por un recíproco, sigue el mismo proceso que utilizó para multiplicar expresiones racionales.

Ejercicio

Encontrar el cociente y expresarlo como una expresión racional simplificada.

\(\ \frac{(y+2)(y+1)}{4} \div \frac{y+2}{y+1}\), dominio es todos los números reales excepto -2 y -1.

1. \(\ \frac{(y+2)^{2}}{4}\)
2. \(\ \frac{(y+1)^{2}}{4}\)
3. \(\ \frac{y^{2}+y+1}{4}\)
4. \(\ \frac{y^{2}+3 y+3}{4 y+4}\)

Contestar

1. Incorrecto. Esta operación es división, no multiplicación. El primer paso en la división es reescribirla como multiplicación por lo recíproco. La respuesta correcta es\(\ \frac{(y+1)^{2}}{4}\).
2. Correcto. La división es lo mismo que la multiplicación por lo recíproco, por lo que este problema puede escribirse:\(\ \frac{(y+2)(y+1)}{4} \cdot \frac{y+1}{y+2}=\frac{(y+1)^{2}}{4}\).
3. Incorrecto. Parece que has tomado lo recíproco, factorizado correctamente, y simplificado tus factores comunes a 1, consiguiendo\(\ \frac{(y+2)}{(y+2)} \cdot \frac{(y+1)}{4} \cdot \frac{y+1}{1}=1 \cdot \frac{(y+1)}{4} \cdot \frac{y+1}{1}\). Pero hay que multiplicar los dos numeradores juntos\(\ \frac{(y+1)}{4} \cdot \frac{y+1}{1}=\frac{(y+1)}{4} \cdot \frac{(y+1)}{1}\). La respuesta correcta es\(\ \frac{(y+1)^{2}}{4}\).
4. Incorrecto. Esto es un problema de división. El primer paso en la división es reescribirla como multiplicación por lo recíproco. También parece haber simplificado incorrectamente. La respuesta correcta es\(\ \frac{(y+1)^{2}}{4}\).

Resumen

Las expresiones racionales se multiplican y dividen de la misma manera que las fracciones numéricas. Para multiplicar, primero encuentra los mayores factores comunes del numerador y denominador. A continuación, reagrupar los factores para hacer fracciones equivalentes a uno. Después, multiplique cualquier factor restante. Para dividir, primero reescribir la división como multiplicación por el recíproco del denominador. Los pasos son entonces los mismos que para la multiplicación.

Al expresar un producto o cociente, es importante indicar los valores excluidos. Todos estos son valores de una variable que haría que un denominador fuera igual a cero en cualquier paso de los cálculos.