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16.1.3: Exponentes racionales

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    Objetivos de aprendizaje
    • Convertir radicales en expresiones con exponentes racionales.
    • Convertir expresiones con exponentes racionales a su equivalente radical.
    • Utilizar las leyes de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales.
    • Usa exponentes racionales para simplificar expresiones radicales.

    Introducción

    Las raíces cuadradas se escriben con mayor frecuencia usando un signo radical, así,\(\ \sqrt{4}\). Pero hay otra manera de representar la toma de raíces. Se pueden utilizar exponentes racionales en lugar de un radical. Un exponente racional es un exponente que es una fracción. Por ejemplo, se\(\ \sqrt{4}\) puede escribir como\(\ 4^{\frac{1}{2}}\).

    ¿No te imaginas elevar un número a un exponente racional? Puede ser difícil acostumbrarse a ellos, pero los exponentes racionales en realidad pueden ayudar a simplificar algunos problemas. Exploremos la relación entre exponentes racionales (fraccionarios) y radicales.

    Reescritura de expresiones radicales usando exponentes racionales

    Los radicales y los exponentes fraccionarios son formas alternas de expresar lo mismo. Ya has visto cómo las raíces cuadradas se pueden expresar como un exponente al poder de la mitad.

    Forma Radical Forma de exponente Entera
    \(\ \sqrt{16}\) \(\ 16^{\frac{1}{2}}\) 4
    \(\ \sqrt{25}\) \(\ 25^{\frac{1}{2}}\) 5
    \(\ \sqrt{100}\) \(\ 100^{\frac{1}{2}}\) 10

    Veamos algunos ejemplos más, pero esta vez con raíces cúbicas. Recuerden, al cubicar un número lo eleva al poder de tres. Observe que en estos ejemplos, el denominador del exponente racional es el número 3.

    Forma Radical Forma de exponente Entera
    \(\ \sqrt[3]{8}\) \(\ 8^{\frac{1}{3}}\) 2
    \(\ \sqrt[3]{125}\) \(\ 125^{\frac{1}{3}}\) 5
    \(\ \sqrt[3]{1000}\) \(\ 1000^{\frac{1}{3}}\) 10

    Estos ejemplos nos ayudan a modelar una relación entre radicales y exponentes racionales: es decir, que la raíz\(\ n\) th de un número se puede escribir como cualquiera\(\ \sqrt[n]{x}\) o\(\ x^{\frac{1}{n}}\).

    Forma Radical Forma de exponente
    \(\ \sqrt{x}\) \(\ x^{\frac{1}{2}}\)
    \(\ \sqrt[3]{x}\) \(\ x^{\frac{1}{3}}\)
    \(\ \sqrt[4]{x}\) \(\ x^{\frac{1}{4}}\)
    ... ...
    \(\ \sqrt[n]{x}\) \(\ x^{\frac{1}{n}}\)

    Cuando se enfrenta a una expresión que contiene un exponente racional, se puede reescribirla usando un radical. En la tabla anterior, observe cómo el denominador del exponente racional determina el índice de la raíz. Entonces, un exponente de\(\ \frac{1}{2}\) se traduce a la raíz cuadrada, un exponente de\(\ \frac{1}{5}\) traduce a la quinta raíz o\(\ \sqrt[5]{\quad }\), y\(\ \frac{1}{8}\) se traduce a la octava raíz o\(\ \sqrt[8]{\quad }\).

    Ejemplo

    Escribir\(\ \sqrt[4]{81}\) como una expresión con un exponente racional.

    Solución

    \(\ 81^{\frac{1}{4}}\) La forma radical se\(\ \sqrt[4]{ \quad}\) puede reescribir como exponente\(\ \frac{1}{4}\). Retira el radical y coloca el exponente junto a la base.

    \(\ \sqrt[4]{81}=81^{\frac{1}{4}}\)

    Ejemplo

    Expreso\(\ (2 x)^{\frac{1}{3}}\) en forma radical.

    Solución

    \(\ \sqrt[3]{2 x}\) Reescribe la expresión con el exponente fraccionario como radical. El denominador de la fracción determina la raíz, en este caso la raíz cubo.
    Los paréntesis en\(\ (2 x)^{\frac{1}{3}}\) indican que el exponente se refiere a todo lo que está dentro de los paréntesis.

    \(\ (2 x)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2 x}\)

    Recuerda que los exponentes solo se refieren a la cantidad inmediatamente a su izquierda a menos que se utilice un símbolo de agrupación. El siguiente ejemplo se parece mucho al ejemplo anterior con una diferencia importante: ¡no hay paréntesis! Mira lo que pasa.

    Ejemplo

    Expreso\(\ 2 x^{\frac{1}{3}}\) en forma radical.

    Solución

    \(\ 2 \sqrt[3]{x}\) Reescribe la expresión con el exponente fraccionario como radical. El denominador de la fracción determina la raíz, en este caso la raíz cubo.
    El exponente se refiere sólo a la parte de la expresión inmediatamente a la izquierda del exponente, en este caso\(\ x\), pero no a la 2.

    \(\ 2 x^{\frac{1}{3}}=2 \sqrt[3]{x}\)

    Reescritura de expresiones con exponentes racionales usando radicales

    Así como puedes reescribir una expresión con un exponente racional como expresión radical, puedes expresar una expresión radical usando un exponente racional.

    Ejemplo

    \(\ 4 \sqrt[3]{x y}\)Exprese con exponentes racionales.

    Solución

    \(\ 4(x y)^{\frac{1}{3}}\) Reescribir el radical usando un exponente racional. La raíz determina la fracción. En este caso, el índice del radical es 3, por lo que será el exponente racional\(\ \frac{1}{3}\).
    Dado que 4 está fuera del radical, no se incluye en el símbolo de agrupación y el exponente no se refiere a él.

    \(\ 4 \sqrt[3]{x y}=4(x y)^{\frac{1}{3}}\)

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \left(36 x^{4}\right)^{\frac{1}{2}}\)

    Solución

    \(\ \sqrt{36 x^{4}}\) Reescribe la expresión con el exponente fraccionario como radical.
    \ (\\ begin {array} {r}
    \ sqrt {\ izquierda (6^ {2}\ derecha)\ cdot x^ {4}}\
    \ sqrt {6^ {2}}\ cdot\ sqrt {x^ {4}}\
    \ sqrt {6^ {2}}\ cdot\ sqrt {\ izquierda (x^ {2}\ derecha) ^ {2}}\\
    6\ cdot x^ {2}
    \ end {array}\)    		 Encuentra la raíz cuadrada tanto del coeficiente como de la variable.

    \(\ \left(36 x^{4}\right)^{\frac{1}{2}}=6 x^{2}\)

    Exponentes racionales con numeradores distintos de uno

    Todos los numeradores para los exponentes fraccionarios en los ejemplos anteriores fueron 1. Puedes usar exponentes fraccionarios que tengan numeradores distintos a 1 para expresar raíces, como se muestra a continuación. ¿Notaste algún patrón dentro de esta tabla?

    Radical Exponente
    \(\ \sqrt{9}\) \(\ 9^{\frac{1}{2}}\)
    \(\ \sqrt[3]{9^{2}}\) \(\ 9^{\frac{2}{3}}\)
    \(\ \sqrt[4]{\left(9^{3}\right)}\) \(\ 9^{\frac{3}{4}}\)
    \(\ \sqrt[5]{9^{2}}\) \(\ 9^{\frac{2}{5}}\)
    ... ...
    \(\ \sqrt[n]{9^{x}}\) \(\ 9^{\frac{x}{n}}\)

    Para reescribir un radical usando un exponente fraccionario, el poder al que se eleva el radicando se convierte en el numerador y la raíz se convierte en el denominador.

    Redacción de exponentes fraccionarios

    Cualquier radical en la forma se\(\ \sqrt[n]{a^{x}}\) puede escribir usando un exponente fraccionario en la forma\(\ a^{\frac{x}{n}}\).

    La relación entre\(\ \sqrt[n]{a^{x}}\) y\(\ a^{\frac{x}{n}}\) funciona para exponentes racionales que tienen un numerador de 1 también. Por ejemplo, el radical también se\(\ \sqrt[3]{8}\) puede escribir como\(\ \sqrt[3]{8^{1}}\), ya que cualquier número sigue siendo el mismo valor si se eleva a la primera potencia. Ahora se puede ver de dónde viene el numerador de 1 en la forma equivalente de\(\ 8^{\frac{1}{3}}\).

    Simplificación de expresiones radicales usando exponentes racionales y las leyes de los exponentes

    Exploremos ahora algunas expresiones radicales y veamos cómo simplificarlas. Aquí hay una expresión radical que necesita simplificarse,\(\ \sqrt[3]{a^{6}}\).

    Un método para simplificar esta expresión es factorizar y sacar grupos de\(\ a^{3}\), como se muestra a continuación en este ejemplo.

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \sqrt[3]{a^{6}}\)

    Solución

    \(\ \sqrt[3]{a^{3} \cdot a^{3}}\) Reescribir factorizando cubos.

    \(\ \sqrt[3]{a^{3}} \cdot \sqrt[3]{a^{3}}\)

    \(\ a \cdot a\)

    		 Escribe cada factor bajo su propio radical y simplifica.

    \(\ \sqrt[3]{a^{6}}=a^{2}\)

    También se puede simplificar esta expresión pensando en el radical como una expresión con un exponente racional, y utilizando el principio de que cualquier radical en la forma\(\ \sqrt[n]{a^{x}}\) puede escribirse usando un exponente fraccionario en la forma\(\ a^{\frac{x}{n}}\).

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \sqrt[3]{a^{6}}\)

    Solución

    \(\ a^{\frac{6}{3}}\) Reescribir el radical usando un exponente racional.
    \(\ a^{2}\) Simplifica el exponente.

    \(\ \sqrt[3]{a^{6}}=a^{2}\)

    Tenga en cuenta que los exponentes racionales están sujetos a todas las mismas reglas que otros exponentes cuando aparecen en expresiones algebraicas.

    Ambos métodos de simplificación dieron el mismo resultado,\(\ a^{2}\). Dependiendo del contexto del problema, puede ser más fácil usar un método u otro, pero por ahora, notarás que pudiste simplificar esta expresión más rápidamente usando exponentes racionales que al usar el método “pull-out”.

    Intentemos otro ejemplo.

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \sqrt[4]{81 x^{8} y^{3}}\)

    Solución

    \ (\\ begin {array} {r}
    \ left (81 x^ {8} y^ {3}\ derecha) ^ {\ frac {1} {4}}\
    81^ {\ frac {1} {4}}\ cdot x^ {\ frac {8} {4}}\ cdot y^ {\ frac {3} {4}}
    \ end {array}\)

    Reescribir el radical usando exponentes racionales.

    Usa las reglas de exponentes para simplificar la expresión.
    \ (\\ begin {array} {r}
    (3\ cdot 3\ cdot 3\ cdot 3) ^ {\ frac {1} {4}} x^ {2} y^ {\ frac {3} {4}}\\ izquierda (3^ {4}
    \ derecha) ^ {\ frac {1} {4}} x^ {2} y^ {\ frac {3} x^ {2} y^ {\ frac {3}} {4}}\\
    3 x^ {2} y^ {\ frac {3} {4}}\\
    3 x^ {2}\ sqrt [4] {y^ {3}}
    \ end {array}\)    		 Cambiar la expresión con el exponente racional de nuevo a la forma radical.

    \(\ \sqrt[4]{81 x^{8} y^{3}}=3 x^{2} \sqrt[4]{y^{3}}\)

    Nuevamente, el método alternativo es trabajar en la simplificación bajo el radical mediante el uso de factorización. Para el ejemplo que acabas de resolver, se ve así.

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \sqrt[4]{81 x^{8} y^{3}}\)

    Solución

    \(\ \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{x^{8}} \sqrt[4]{y^{3}}\) Reescribir la expresión.
    \(\ \sqrt[4]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2}} \cdot \sqrt[4]{y^{3}}\) Factorial cada radicando.
    \ (\\ begin {array} {r}
    \ sqrt [4] {3^ {4}}\ cdot\ sqrt [4] {\ izquierda (x^ {2}\ derecha) ^ {4}}\ cdot\ sqrt [4] {y^ {3}}\\
    3\ cdot x^ {2}\ cdot\ sqrt [4] {y^ {3}}
    \ fin {matriz}\)    		 Simplificar.

    \(\ \sqrt[4]{81 x^{8} y^{3}}=3 x^{2} \sqrt[4]{y^{3}}\)

    Ejercicio

    ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a la expresión\(\ \sqrt{25 a^{4} b^{5}}\) cuando se escribe usando un exponente racional?

    1. \(\ 5 a^{2} b^{2} \sqrt{b}\)
    2. \(\ \left(25 a^{4} b^{5}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    3. \(\ \left(25 a^{4} b^{5}\right)\)
    4. \(\ 25\left(a^{4} b^{5}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    Contestar
    1. Incorrecto. El problema pide una expresión con exponentes racionales, o fraccionarios. Esta respuesta es para simplificar la expresión radical. La respuesta correcta es\(\ \left(25 a^{4} b^{5}\right)^{\frac{1}{2}}\).
    2. Correcto. Tomar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar la cantidad bajo el radical a un poder de\(\ \frac{1}{2}\).
    3. Incorrecto. Esta cantidad es la radicanda—la expresión bajo el signo radical. Tomar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar la cantidad bajo el radical a un poder de\(\ \frac{1}{2}\). La respuesta correcta es\(\ \left(25 a^{4} b^{5}\right)^{\frac{1}{2}}\).
    4. Incorrecto. Ya que 25 también está bajo el símbolo radical, hay que elevarlo al poder de\(\ \frac{1}{2}\). La respuesta correcta es\(\ \left(25 a^{4} b^{5}\right)^{\frac{1}{2}}\).

    Intentemos una expresión más complicada,\(\ \frac{10 b^{2} c^{2}}{c \sqrt[3]{8 b^{4}}}\). Esta expresión tiene dos variables, una fracción y un radical. Tomémoslo paso a paso y veamos si usar exponentes fraccionarios puede ayudarnos a simplificarlo.

    Empecemos simplificando el denominador, ya que aquí es donde se ubica el signo radical.

    Ejemplo

    Simplificar. \(\ \frac{10 b^{2} c^{2}}{c \sqrt[3]{8 b^{4}}}\)

    Solución

    \(\ \frac{10 b^{2} c^{2}}{c \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{b^{4}}}\) Separar los factores en el denominador.
    \(\ \frac{10 b^{2} c^{2}}{c \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{b^{4}}}\) Toma la raíz cúbita de 8, que es 2.
    \(\ \frac{10 b^{2} c^{2}}{c \cdot 2 \cdot b^{\frac{4}{3}}}\) Reescribe el radical usando un exponente fraccionario.
    \(\ \frac{10}{2} \cdot \frac{c^{2}}{c} \cdot \frac{b^{2}}{b^{\frac{4}{3}}}\) Reescribir la fracción como una serie de factores para cancelar factores (ver siguiente paso).
    \(\ 5 \cdot c \cdot \frac{b^{2}}{b^{\frac{4}{3}}}\) Simplifica la constante y\(\ c\) los factores.
    \(\ 5 c b^{2} b^{-\frac{4}{3}}\) Utilice la regla de exponentes negativos,\(\ n^{-x}=\frac{1}{n^{x}}\) para reescribir\(\ \frac{1}{b^{\frac{4}{3}}}\) como\(\ b^{-\frac{4}{3}}\).
    \(\ 5 c b^{\frac{2}{3}}\) Combine los\(\ b\) factores sumando los exponentes.
    \(\ 5 c \sqrt[3]{b^{2}}\) Cambiar la expresión con el exponente fraccionario de nuevo a la forma radical. Por convención, una expresión no suele considerarse simplificada si tiene un exponente fraccionario o un radical en el denominador.

    \(\ \frac{10 b^{2} c^{2}}{c \sqrt[3]{8 b^{4}}}=5 c \sqrt[3]{b^{2}}\)

    Bueno, eso tomó un tiempo, pero tú lo hiciste. Aplicaste lo que sabes sobre exponentes fraccionarios, exponentes negativos y las reglas de exponentes para simplificar la expresión.

    Resumen

    Un radical se puede expresar como una expresión con un exponente fraccionario siguiendo la convención\(\ \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}\). Reescribir radicales usando exponentes fraccionarios puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando trabaje con exponentes fraccionarios, recuerde que los exponentes fraccionarios están sujetos a todas las mismas reglas que otros exponentes cuando aparecen en expresiones algebraicas.

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