16.1.2: Cuadrados, Cubos y Más Allá
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
- Simplifica las raíces cuadradas.
- Encuentra raíces cubicas.
- Simplifica expresiones con raíces pares e impares.
Introducción
Las expresiones radicales son expresiones que contienen radicales. Las expresiones radicales vienen en muchas formas, desde simples y familiares, como √16, hasta bastante complicadas, como en 3√250x4y. Además de las raíces cuadradas, existen radicales llamados raíces cúbicas, cuartas raíces, quintas raíces, etc. Usando la factorización, también puedes simplificar estas expresiones radicales.
Simplificación de las raíces cuadradas
Las expresiones radicales a veces incluirán variables así como números. Considera la expresión √9x6y4. Para simplificar una expresión radical como esta, puedes usar factoring, pero también tendrás que aplicar las reglas de los exponentes. Vamos a probarlo.
Simplificar. √9x6y4
Solución
√3⋅3⋅x6y4 | Factorizar el coeficiente 9 en 3⋅3. |
√3⋅3⋅x2⋅x2⋅x2⋅y2⋅y2 | Facturar las variables en cuadrados. |
√32⋅√x2⋅√x2⋅√x2⋅√y2⋅√y2 | Escribir 3⋅3 como 32 y separar en radicales individuales. |
3⋅x⋅x⋅x⋅y⋅y | Simplificar, usando la regla que √x2=x. |
3x3y2 | Reescribe la expresión con constantes al frente y usando exponentes para las variables. |
√9x6y4=3x3y2
El objetivo es encontrar factores bajo el radical que sean cuadrados perfectos para que puedas tomar su raíz cuadrada. Repetimos el ejemplo anterior y centrémonos en encontrar pares idénticos de factores.
Simplificar. √9x6y4
Solución
√3⋅3⋅x3⋅x3⋅y2⋅y2 | Factor para encontrar pares idénticos. |
√(32)⋅(x3)2⋅(y2)2 | Reescribe los pares como cuadrados perfectos. |
√32⋅√(x3)2⋅√(y2)2 | Separar en radicales individuales. |
3x3y2 | Simplificar, usando la regla que √x2=x. |
√9x6y4=3x3y2
Los factores variables con exponentes pares se pueden escribir como cuadrados. En el ejemplo anterior, x6=x3⋅x3=(x3)2 y y4=y2⋅y2=(y2)2. Tratemos de simplificar otra expresión radical.
Simplificar. √49x10y8
Solución
√7⋅7⋅x5⋅x5⋅y4⋅y4 | Busque números y variables al cuadrado. Factor 49 en 7.7, x10 en x5⋅x5, y y8 en y4⋅y4. |
√72⋅(x5)2⋅(y4)2 | Reescribe los pares como cuadrados. |
√72⋅√(x5)2⋅√(y4)2 | Separar los factores al cuadrado en radicales individuales. |
7⋅x5⋅y4 | Toma la raíz cuadrada de cada radical usando la regla que √x2=x. |
7x5y4 | Multiplicar. |
√49x10y8=7x5y4
Encuentras que la raíz cuadrada de 49x10y8 es 7x5y4. Para verificar este cálculo, podrías cuadrar 7x5y4, esperando llegar a 49x10y8. Y, de hecho, obtendrías esta expresión si evaluaras (7x5y4)2.
Valor Absoluto
Tómate un momento para pensar en dos expresiones radicales: √900 y √a3b5c7. Utilizarías las mismas técnicas para simplificar cualquiera de estas: encontrar cuadrados dentro del radical, reescribir la expresión como producto de radicales separados, simplificar y multiplicar.
Hay un problema agregado cuando estás tomando la raíz de una expresión radical que contiene variables. Recordemos que la raíz de un entero, tal como √900, se define como no negativa. Esto significa que aunque ambos 302 y (−30)2 son iguales a 900, √900 se define sólo como 30. Esta es la idea detrás de 30 siendo la raíz principal de 900.
Pero no es tan sencillo con expresiones radicales que contienen variables. Considera la expresión √x2. Esto parece que debería ser igual a x, ¿verdad? Probemos algunos valores para x y veamos qué sucede.
En el gráfico de abajo, mire a lo largo de cada fila y determine si el valor de x es el mismo que el valor de √x2. ¿Dónde son iguales? ¿Dónde no son iguales?
Después de hacer eso para cada fila, mira de nuevo y determina si el valor de √x2 es el mismo que el valor de |x|.
x | x2 | √x2 | |x| |
-5 | 25 | 5 | 5 |
-2 | 4 | 2 | 2 |
0 | 0 | 0 | 0 |
6 | 36 | 6 | 6 |
10 | 100 | 10 | 10 |
Observe en los casos en los x que hay un número negativo, √x2≠x! (Esto sucede porque el proceso de cuadrar el número pierde el signo negativo, ya que un negativo veces un negativo es un positivo). Sin embargo, en todos los casos √x2=|x|. Hay que tener en cuenta este hecho a la hora de simplificar los radicales que contienen variables, porque por definición siempre √x2 es no negativo.
Al encontrar la raíz cuadrada de una expresión que contiene variables elevadas a una potencia, considérelo √x2=|x|.
Ejemplos: √9x2=3|x|, y √16x2y2=4|xy|
Mira cómo se aplica esta idea en este siguiente ejemplo.
Simplificar. √a3b5c2
Solución
√a2⋅a⋅b4⋅b⋅c2 | Factor para encontrar variables con exponentes pares. |
√a2⋅a⋅(b2)2⋅b⋅c2 | Reescribir b4 como (b2)2 |
√a2⋅√(b2)2⋅√c2⋅√a⋅b | Separar los factores al cuadrado en radicales individuales. |
|a|⋅b2⋅|c|⋅√a⋅b | Toma la raíz cuadrada de cada radical. Recuerden eso √a2=|a|. |
|ab2c|√ab | Simplifica y multiplica. La cantidad entera se ab2c puede encerrar en el signo de valor absoluto porque b2 será positiva, por lo que su inclusión no tiene ningún efecto. |
√a3b5c2=|ab2c|√ab
Simplificar. √72y2z3
- 36yz√z
- 6√2y2z3
- 6yz√2z
- 6|yz|√2z
- Contestar
-
- Incorrecto. La raíz cuadrada no es la mitad del número; √72 es el número que, al multiplicarse por sí mismo, da 72. 36 veces 36 es mucho mayor que 72. La respuesta es 6|yz|√2z.
- Incorrecto. La raíz cuadrada de 72 se simplificó correctamente, pero la raíz cuadrada de la parte variable no se simplificó. La respuesta es 6|yz|√2z.
- Incorrecto. No aplicaste la regla que √x2=|x|. La respuesta es 6|yz|√2z.
- Correcto. Para simplificar la expresión, el factor 72 en 36⋅2 luego tomar la raíz cuadrada de 36 dejando un coeficiente de 6 frente al radical y el factor simplificado √2. A continuación, simplificar √y2=|y| y √z3=|z|√z.
Encontrar raíces de cubo
Si bien las raíces cuadradas son probablemente el radical más común, también puedes encontrar la tercera raíz, la quinta raíz, la 10th raíz, o realmente cualquier otra nth raíz de un número. Así como la raíz cuadrada es un número que, al cuadrar, da el radicando, la raíz cúbica es un número que, cuando se recubre, da el radicando. Cubicar un número es lo mismo que llevarlo a la tercera potencia: 23 es 2 cubos, por lo que la raíz cúbica de 23 es 2.
La raíz cúbica de un número se escribe con un pequeño número 3, llamado índice, justo afuera y por encima del símbolo radical. Parece que 3√. Este pequeño 3 distingue las raíces cúbicas de las raíces cuadradas, las cuales están escritas sin un pequeño número fuera y por encima del símbolo radical.
Tenga cuidado de distinguir entre 3√x, la raíz cúbica de x, y 3√x, tres veces la raíz cuadrada de x. Pueden parecer similares al principio, ¡pero te llevan a expresiones muy diferentes!
Simplificar. 3√8
Solución
2⋅2⋅2 | Pregúntate: “¿Qué número puedo multiplicar por sí mismo, y luego por sí mismo otra vez, para obtener 8?” |
3√8=2
Otro enfoque para simplificar una raíz cúbico es utilizar el factoring. Exploremos factorizar con la expresión 3√125. Se puede leer esto como “la tercera raíz de 125” o “la raíz cúbita de 125”. Para simplificar esta expresión, busque un número que, al multiplicarse por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), sea igual a 125. Vamos al factor 125 y encontremos ese número.
Simplificar. 3√125
Solución
3√5⋅25 | 125 termina en 5, entonces sabes que 5 es un factor. Expandir 125 en 5⋅25. |
3√5⋅5⋅5 | Factor 25 en 5 y 5. |
3√53 | Los factores son 5⋅5⋅5, o 53. |
3√125=5
Los factores primos de 125 son 5⋅5⋅5, que puede ser reescrito como 53. La raíz cúbico de un número en cubos es el número en sí, entonces 3√53=5. Has encontrado la raíz cúbica, los tres factores idénticos que cuando se multiplican juntos dan 125. 125 se conoce como un cubo perfecto porque su raíz cúbica es un entero.
He aquí un ejemplo de cómo simplificar un radical que no es un cubo perfecto.
Simplificar. 3√32m5
Solución
3√2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅m5 | Factor 32 en factores primos. |
3√23⋅2⋅2⋅m5 | Ya que estás buscando la raíz cúbica, necesitas encontrar factores que aparecen 3 veces bajo el radical. Reescribir 2⋅2⋅2 como 23. |
3√23⋅2⋅2⋅m3⋅m2 | Reescribir m5 como m3⋅m2. |
3√23⋅3√2⋅2⋅3√m3⋅3√m2 | Reescribir la expresión como producto de múltiples radicales. |
2⋅3√4⋅m⋅3√m2 | Simplifica y multiplica. |
3√32m5=2m3√4m2
Simplificar. 3√64h6
- 8h3
- 8√h6
- 4+h2
- 4h2
- Contestar
-
- Incorrecto. 8h3es la raíz cuadrada de 64h6, no la raíz cúbico. La respuesta es 4h2.
- Incorrecto. Para encontrar la raíz cúbica de 64h6, encuentra la raíz cúbica de 64, y luego la raíz cúbica de h6. La respuesta es 4h2.
- Incorrecto. 4 es la raíz cúbica de 64 y h2 es la raíz cúbica de h6, pero son factores y deben multiplicarse. La respuesta es 4h2.
- Correcto. Para simplificar la expresión, encuentra la raíz cúbita de 64 y la raíz cúbita de\h6. 3√64h6=3√4⋅4⋅4⋅(h2)3=3√43⋅(h2)3=3√43⋅3√(h2)3=4h2
Simplificación de expresiones con raíces pares e impares
Hay un dato interesante sobre las raíces cúbicas que no es cierto para las raíces cuadradas. Los números negativos no pueden tener raíces cuadradas de números reales, ¡pero los números negativos pueden tener raíces cúbicas de números reales! ¿Cuál es la raíz cubicada de -8? 3√−8=−2porque −2⋅−2⋅−2=−8. Recuerda, cuando estás multiplicando un número impar de números negativos, ¡el resultado es negativo! En el siguiente ejemplo, observe cómo 3√(−1)3=−1 se utiliza para simplificar el radical.
Simplificar. 3√−27x4y3
Solución
\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt [3] {-1\ cdot 27\ cdot x^4\ cdot y^3}\\ \ sqrt [3] {(-1) ^ {3}\ cdot (3) ^ {3}\ cdot x^ {3}\ cdot x\ cdot y^ {3}} \ end {array}\) |
Factorice la expresión en cubos. |
3√−13⋅3√(3)3⋅3√x3⋅3√x⋅3√y3 | Separar los factores en cubos en radicales individuales. |
−1⋅3⋅x⋅y⋅3√x | Simplifica las raíces cubicas. |
3√−27x4y3=−3xy3√x
Podrías verificar tu respuesta realizando la operación inversa. Si tienes razón, cuando cubas −3xy3√x deberías conseguir −27x4y3.
\ (\\ comenzar {matriz} {c}
(-3 x y\ sqrt [3] {x}) (-3 x y\ sqrt [3] {x}) (-3 x y\ sqrt [3] {x})\\
-3\ cdot-3\ cdot-3\ cdot-3\ cdot x\ cdot x\ cdot x\ cdot y\ cdot sqrt [3] {x}\ cdot\ sqrt [3] {x}\ cdot\ sqrt [3] {x}\\
-27\ cdot x^ {3}\ cdot y^ {3}\ cdot\ sqrt [3] {x^ {3}}\\
-27 x^ {3} y^ {3}\ cdot x\\
-27 x^ {4} y^ {3}
\ end {array}\)
Entonces, puedes encontrar la raíz impar de un número negativo, pero no puedes encontrar la raíz par de un número negativo. Esto significa que puedes simplificar los radicales 3√−81, 5√−64, y 7√−2187, pero no puedes simplificar los radicales √−100, 4√−16, o 6√−2,500.
Veamos otro ejemplo.
Simplificar. 3√−24a5
Solución
3√−1⋅8⋅3⋅a5 | Factor -24 para encontrar cubos perfectos. Aquí, -1 y 8 son los cubos perfectos. |
3√(−1)3⋅23⋅3⋅a3⋅a2 | Variables factoriales. Estás buscando exponentes de cubo, así factorizas a5 en a3 y a2. |
3√−13⋅3√23⋅3√a3⋅3√3⋅a2 | Separar los factores en radicales individuales. |
−1⋅2⋅a⋅3√3⋅a2 | Simplificar, usando la propiedad 3√x3=x. |
−2a3√3a2 | Esta es la forma más simple de esta expresión; todos los cubos han sido sacados de la expresión radical. |
3√−24a5=−2a3√3a2
A continuación se detallan los pasos a considerar a la hora de simplificar un radical.
Cuando se trabaja con exponentes y radicales:
- Si n es impar, n√xn=x.
- Si n es par, n√xn=|x|. (El valor absoluto explica el hecho de que si x es negativo y elevado a una potencia par, ese número será positivo, al igual que n la raíz principal de ese número.)
Simplificar. √100x2y4
Solución
√10⋅10⋅x2⋅y4 | Separar factores; buscar números y variables al cuadrado. Factor 100 en 10⋅10. |
√10⋅10⋅x2⋅(y2)2 | Factorizar y4 en (y2)2. |
√102⋅√x2⋅√(y2)2 | Separar los factores al cuadrado en radicales individuales. |
10⋅|x|⋅y2 | Toma la raíz cuadrada de cada radical. Como no sabes si x es positivo o negativo, utiliza para |x| dar cuenta de ambas posibilidades, garantizando con ello que tu respuesta sea positiva. |
10|x|y2 | Simplifica y multiplica. |
√100x2y4=10|x|y2
Puedes verificar tu respuesta al cuadrarla para asegurarte de que es igual 100x2y4.
Resumen
Una expresión radical es una forma matemática de representar la raíz n th de un número. Las raíces cuadradas y las raíces cúbicas son los radicales más comunes, pero una raíz puede ser cualquier número. Para simplificar las expresiones radicales, busque factores exponenciales dentro del radical, y luego use la propiedad n√xn=x if n es impar, y n√xn=|x| if n es par para sacar cantidades. Todas las reglas de operaciones enteras y exponentes se aplican al simplificar expresiones radicales.