16.1.2: Cuadrados, Cubos y Más Allá

Objetivos de aprendizaje

• Simplifica las raíces cuadradas.
• Encuentra raíces cubicas.
• Simplifica expresiones con raíces pares e impares.

Introducción

Las expresiones radicales son expresiones que contienen radicales. Las expresiones radicales vienen en muchas formas, desde simples y familiares, como\(\ \sqrt{16}\), hasta bastante complicadas, como en\(\ \sqrt[3]{250 x^{4} y}\). Además de las raíces cuadradas, existen radicales llamados raíces cúbicas, cuartas raíces, quintas raíces, etc. Usando la factorización, también puedes simplificar estas expresiones radicales.

Simplificación de las raíces cuadradas

Las expresiones radicales a veces incluirán variables así como números. Considera la expresión\(\ \sqrt{9 x^{6} y^{4}}\). Para simplificar una expresión radical como esta, puedes usar factoring, pero también tendrás que aplicar las reglas de los exponentes. Vamos a probarlo.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{9 x^{6} y^{4}}\)

Solución

\(\ \sqrt{3 \cdot 3 \cdot x^{6} y^{4}}\)	Factorizar el coeficiente 9 en\(\ 3 \cdot 3\).
\(\ \sqrt{3 \cdot 3 \cdot x^{2} \cdot x^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{2} \cdot y^{2}}\)	Facturar las variables en cuadrados.
\(\ \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{y^{2}} \cdot \sqrt{y^{2}}\)	Escribir\(\ 3 \cdot 3\) como\(\ 3^{2}\) y separar en radicales individuales.
\(\ 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y\)	Simplificar, usando la regla que\(\ \sqrt{x^{2}}=x\).
\(\ 3 x^{3} y^{2}\)	Reescribe la expresión con constantes al frente y usando exponentes para las variables.

\(\ \sqrt{9 x^{6} y^{4}}=3 x^{3} y^{2}\)

El objetivo es encontrar factores bajo el radical que sean cuadrados perfectos para que puedas tomar su raíz cuadrada. Repetimos el ejemplo anterior y centrémonos en encontrar pares idénticos de factores.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{9 x^{6} y^{4}}\)

Solución

\(\ \sqrt{3 \cdot 3 \cdot x^{3} \cdot x^{3} \cdot y^{2} \cdot y^{2}}\)	Factor para encontrar pares idénticos.
\(\ \sqrt{\left(3^{2}\right) \cdot\left(x^{3}\right)^{2} \cdot\left(y^{2}\right)^{2}}\)	Reescribe los pares como cuadrados perfectos.
\(\ \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot \sqrt{\left(y^{2}\right)^{2}}\)	Separar en radicales individuales.
\(\ 3 x^{3} y^{2}\)	Simplificar, usando la regla que\(\ \sqrt{x^{2}}=x\).

\(\ \sqrt{9 x^{6} y^{4}}=3 x^{3} y^{2}\)

Los factores variables con exponentes pares se pueden escribir como cuadrados. En el ejemplo anterior,\(\ x^{6}=x^{3} \cdot x^{3}=\left(x^{3}\right)^{2}\) y\(\ y^{4}=y^{2} \cdot y^{2}=\left(y^{2}\right)^{2}\). Tratemos de simplificar otra expresión radical.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{49 x^{10} y^{8}}\)

Solución

\(\ \sqrt{7 \cdot 7 \cdot x^{5} \cdot x^{5} \cdot y^{4} \cdot y^{4}}\)	Busque números y variables al cuadrado. Factor 49 en\(\ 7.7\),\(\ x^{10}\) en\(\ x^{5} \cdot x^{5}\), y\(\ y^{8}\) en\(\ y^{4} \cdot y^{4}\).
\(\ \sqrt{7^{2} \cdot\left(x^{5}\right)^{2} \cdot\left(y^{4}\right)^{2}}\)	Reescribe los pares como cuadrados.
\(\ \sqrt{7^{2}} \cdot \sqrt{\left(x^{5}\right)^{2}} \cdot \sqrt{\left(y^{4}\right)^{2}}\)	Separar los factores al cuadrado en radicales individuales.
\(\ 7 \cdot x^{5} \cdot y^{4}\)	Toma la raíz cuadrada de cada radical usando la regla que\(\ \sqrt{x^{2}}=x\).
\(\ 7 x^{5} y^{4}\)	Multiplicar.

\(\ \sqrt{49 x^{10} y^{8}}=7 x^{5} y^{4}\)

Encuentras que la raíz cuadrada de\(\ 49 x^{10} y^{8}\) es\(\ 7 x^{5} y^{4}\). Para verificar este cálculo, podrías cuadrar\(\ 7 x^{5} y^{4}\), esperando llegar a\(\ 49 x^{10} y^{8}\). Y, de hecho, obtendrías esta expresión si evaluaras\(\ \left(7 x^{5} y^{4}\right)^{2}\).

Valor Absoluto

Tómate un momento para pensar en dos expresiones radicales:\(\ \sqrt{900}\) y\(\ \sqrt{a^{3} b^{5} c^{7}}\). Utilizarías las mismas técnicas para simplificar cualquiera de estas: encontrar cuadrados dentro del radical, reescribir la expresión como producto de radicales separados, simplificar y multiplicar.

Hay un problema agregado cuando estás tomando la raíz de una expresión radical que contiene variables. Recordemos que la raíz de un entero, tal como\(\ \sqrt{900}\), se define como no negativa. Esto significa que aunque ambos\(\ 30^{2}\) y\(\ (-30)^{2}\) son iguales a 900,\(\ \sqrt{900}\) se define sólo como 30. Esta es la idea detrás de 30 siendo la raíz principal de 900.

Pero no es tan sencillo con expresiones radicales que contienen variables. Considera la expresión\(\ \sqrt{x^{2}}\). Esto parece que debería ser igual a\(\ x\), ¿verdad? Probemos algunos valores para\(\ x\) y veamos qué sucede.

En el gráfico de abajo, mire a lo largo de cada fila y determine si el valor de\(\ x\) es el mismo que el valor de\(\ \sqrt{x^{2}}\). ¿Dónde son iguales? ¿Dónde no son iguales?

Después de hacer eso para cada fila, mira de nuevo y determina si el valor de\(\ \sqrt{x^{2}}\) es el mismo que el valor de\(\ |x|\).

\(\ x\)	\(\ x^{2}\)	\(\ \sqrt{x^{2}}\)	\(\ |x|\)
-5	25	5	5
-2	4	2	2
0	0	0	0
6	36	6	6
10	100	10	10

Observe en los casos en los\(\ x\) que hay un número negativo,\(\ \sqrt{x^{2}} \neq x\)! (Esto sucede porque el proceso de cuadrar el número pierde el signo negativo, ya que un negativo veces un negativo es un positivo). Sin embargo, en todos los casos\(\ \sqrt{x^{2}}=|x|\). Hay que tener en cuenta este hecho a la hora de simplificar los radicales que contienen variables, porque por definición siempre\(\ \sqrt{x^{2}}\) es no negativo.

Tomando la raíz cuadrada de una expresión radical

Al encontrar la raíz cuadrada de una expresión que contiene variables elevadas a una potencia, considérelo\(\ \sqrt{x^{2}}=|x|\).

Ejemplos:\(\ \sqrt{9 x^{2}}=3|x|\), y\(\ \sqrt{16 x^{2} y^{2}}=4|x y|\)

Mira cómo se aplica esta idea en este siguiente ejemplo.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{a^{3} b^{5} c^{2}}\)

Solución

\(\ \sqrt{a^{2} \cdot a \cdot b^{4} \cdot b \cdot c^{2}}\)	Factor para encontrar variables con exponentes pares.
\(\ \sqrt{a^{2} \cdot a \cdot\left(b^{2}\right)^{2} \cdot b \cdot c^{2}}\)	Reescribir\(\ b^{4}\) como\(\ \left(b^{2}\right)^{2}\)
\(\ \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{\left(b^{2}\right)^{2}} \cdot \sqrt{c^{2}} \cdot \sqrt{a \cdot b}\)	Separar los factores al cuadrado en radicales individuales.
\(\ |a| \cdot b^{2} \cdot|c| \cdot \sqrt{a \cdot b}\)	Toma la raíz cuadrada de cada radical. Recuerden eso\(\ \sqrt{a^{2}}=|a|\).
\(\ \left|a b^{2} c\right| \sqrt{a b}\)	Simplifica y multiplica. La cantidad entera se\(\ a b^{2} c\) puede encerrar en el signo de valor absoluto porque\(\ b^{2}\) será positiva, por lo que su inclusión no tiene ningún efecto.

\(\ \sqrt{a^{3} b^{5} c^{2}}=\left|a b^{2} c\right| \sqrt{a b}\)

Ejercicio

Simplificar. \(\ \sqrt{72 y^{2} z^{3}}\)

1. \(\ 36 y z \sqrt{z}\)
2. \(\ 6 \sqrt{2 y^{2} z^{3}}\)
3. \(\ 6 y z \sqrt{2 z}\)
4. \(\ 6|y z| \sqrt{2 z}\)

Contestar

1. Incorrecto. La raíz cuadrada no es la mitad del número;\(\ \sqrt{72}\) es el número que, al multiplicarse por sí mismo, da 72. 36 veces 36 es mucho mayor que 72. La respuesta es\(\ 6|y z| \sqrt{2 z}\).
2. Incorrecto. La raíz cuadrada de 72 se simplificó correctamente, pero la raíz cuadrada de la parte variable no se simplificó. La respuesta es\(\ 6|y z| \sqrt{2 z}\).
3. Incorrecto. No aplicaste la regla que\(\ \sqrt{x^{2}}=|x|\). La respuesta es\(\ 6|y z| \sqrt{2 z}\).
4. Correcto. Para simplificar la expresión, el factor 72 en\(\ 36 \cdot 2\) luego tomar la raíz cuadrada de 36 dejando un coeficiente de 6 frente al radical y el factor simplificado\(\ \sqrt{2}\). A continuación, simplificar\(\ \sqrt{y^{2}}=|y|\) y\(\ \sqrt{z^{3}}=|z| \sqrt{z}\).

Encontrar raíces de cubo

Si bien las raíces cuadradas son probablemente el radical más común, también puedes encontrar la tercera raíz, la quinta raíz, la\(\ 10^{\text {th }}\) raíz, o realmente cualquier otra\(\ n^{\text {th }}\) raíz de un número. Así como la raíz cuadrada es un número que, al cuadrar, da el radicando, la raíz cúbica es un número que, cuando se recubre, da el radicando. Cubicar un número es lo mismo que llevarlo a la tercera potencia:\(\ 2^{3}\) es 2 cubos, por lo que la raíz cúbica de\(\ 2^{3}\) es 2.

La raíz cúbica de un número se escribe con un pequeño número 3, llamado índice, justo afuera y por encima del símbolo radical. Parece que\(\ \sqrt[3]{ }\). Este pequeño 3 distingue las raíces cúbicas de las raíces cuadradas, las cuales están escritas sin un pequeño número fuera y por encima del símbolo radical.

Tenga cuidado de distinguir entre\(\ \sqrt[3]{x}\), la raíz cúbica de\(\ x\), y\(\ 3 \sqrt{x}\), tres veces la raíz cuadrada de\(\ x\). Pueden parecer similares al principio, ¡pero te llevan a expresiones muy diferentes!

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt[3]{8}\)

Solución

\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2\)

Pregúntate: “¿Qué número puedo multiplicar por sí mismo, y luego por sí mismo otra vez, para obtener 8?”

\(\ \sqrt[3]{8}=2\)

Otro enfoque para simplificar una raíz cúbico es utilizar el factoring. Exploremos factorizar con la expresión\(\ \sqrt[3]{125}\). Se puede leer esto como “la tercera raíz de 125” o “la raíz cúbita de 125”. Para simplificar esta expresión, busque un número que, al multiplicarse por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), sea igual a 125. Vamos al factor 125 y encontremos ese número.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt[3]{125}\)

Solución

\(\ \sqrt[3]{5 \cdot 25}\)	125 termina en 5, entonces sabes que 5 es un factor. Expandir 125 en\(\ 5 \cdot 25\).
\(\ \sqrt[3]{5 \cdot 5 \cdot 5}\)	Factor 25 en 5 y 5.
\(\ \sqrt[3]{5^{3}}\)	Los factores son\(\ 5 \cdot 5 \cdot 5\), o\(\ 5^{3}\).

\(\ \sqrt[3]{125}=5\)

Los factores primos de 125 son\(\ 5 \cdot 5 \cdot 5\), que puede ser reescrito como\(\ 5^{3}\). La raíz cúbico de un número en cubos es el número en sí, entonces\(\ \sqrt[3]{5^{3}}=5\). Has encontrado la raíz cúbica, los tres factores idénticos que cuando se multiplican juntos dan 125. 125 se conoce como un cubo perfecto porque su raíz cúbica es un entero.

He aquí un ejemplo de cómo simplificar un radical que no es un cubo perfecto.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt[3]{32 m^{5}}\)

Solución

\(\ \sqrt[3]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot m^{5}}\)	Factor 32 en factores primos.
\(\ \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot m^{5}}\)	Ya que estás buscando la raíz cúbica, necesitas encontrar factores que aparecen 3 veces bajo el radical. Reescribir\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2\) como\(\ 2^{3}\).
\(\ \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot m^{3} \cdot m^{2}}\)	Reescribir\(\ m^{5}\) como\(\ m^{3} \cdot m^{2}\).
\(\ \sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{m^{3}} \cdot \sqrt[3]{m^{2}}\)	Reescribir la expresión como producto de múltiples radicales.
\(\ 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot m \cdot \sqrt[3]{m^{2}}\)	Simplifica y multiplica.

\(\ \sqrt[3]{32 m^{5}}=2 m \sqrt[3]{4 m^{2}}\)

Ejercicio

Simplificar. \(\ \sqrt[3]{64 h^{6}}\)

1. \(\ 8 h^{3}\)
2. \(\ 8 \sqrt{h^{6}}\)
3. \(\ 4+h^{2}\)
4. \(\ 4 h^{2}\)

Contestar

1. Incorrecto. \(\ 8 h^{3}\)es la raíz cuadrada de\(\ 64 h^{6}\), no la raíz cúbico. La respuesta es\(\ 4 h^{2}\).
2. Incorrecto. Para encontrar la raíz cúbica de\(\ 64 h^{6}\), encuentra la raíz cúbica de 64, y luego la raíz cúbica de\(\ h^{6}\). La respuesta es\(\ 4 h^{2}\).
3. Incorrecto. 4 es la raíz cúbica de 64 y\(\ h^{2}\) es la raíz cúbica de\(\ h^{6}\), pero son factores y deben multiplicarse. La respuesta es\(\ 4 h^{2}\).
4. Correcto. Para simplificar la expresión, encuentra la raíz cúbita de 64 y la raíz cúbita de\(\h^{6}\). \(\ \sqrt[3]{64 h^{6}}=\sqrt[3]{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot\left(h^{2}\right)^{3}}=\sqrt[3]{4^{3} \cdot\left(h^{2}\right)^{3}}=\sqrt[3]{4^{3}} \cdot \sqrt[3]{\left(h^{2}\right)^{3}}=4 h^{2}\)

Simplificación de expresiones con raíces pares e impares

Hay un dato interesante sobre las raíces cúbicas que no es cierto para las raíces cuadradas. Los números negativos no pueden tener raíces cuadradas de números reales, ¡pero los números negativos pueden tener raíces cúbicas de números reales! ¿Cuál es la raíz cubicada de -8? \(\ \sqrt[3]{-8}=-2\)porque\(\ -2 \cdot-2 \cdot-2=-8\). Recuerda, cuando estás multiplicando un número impar de números negativos, ¡el resultado es negativo! En el siguiente ejemplo, observe cómo\(\ \sqrt[3]{(-1)^{3}}=-1\) se utiliza para simplificar el radical.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt[3]{-27 x^{4} y^{3}}\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ sqrt [3] {-1\ cdot 27\ cdot x^4\ cdot y^3}\\ \ sqrt [3] {(-1) ^ {3}\ cdot (3) ^ {3}\ cdot x^ {3}\ cdot x\ cdot y^ {3}} \ end {array}\)	Factorice la expresión en cubos.
\(\ \sqrt[3]{-1^{3}} \cdot \sqrt[3]{(3)^{3}} \cdot \sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y^{3}}\)	Separar los factores en cubos en radicales individuales.
\(\ -1 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot \sqrt[3]{x}\)	Simplifica las raíces cubicas.

\(\ \sqrt[3]{-27 x^{4} y^{3}}=-3 x y \sqrt[3]{x}\)

Podrías verificar tu respuesta realizando la operación inversa. Si tienes razón, cuando cubas\(\ -3 x y \sqrt[3]{x}\) deberías conseguir\(\ -27 x^{4} y^{3}\).

\ (\\ comenzar {matriz} {c}
(-3 x y\ sqrt [3] {x}) (-3 x y\ sqrt [3] {x}) (-3 x y\ sqrt [3] {x})\\
-3\ cdot-3\ cdot-3\ cdot-3\ cdot x\ cdot x\ cdot x\ cdot y\ cdot sqrt [3] {x}\ cdot\ sqrt [3] {x}\ cdot\ sqrt [3] {x}\\
-27\ cdot x^ {3}\ cdot y^ {3}\ cdot\ sqrt [3] {x^ {3}}\\
-27 x^ {3} y^ {3}\ cdot x\\
-27 x^ {4} y^ {3}
\ end {array}\)

Entonces, puedes encontrar la raíz impar de un número negativo, pero no puedes encontrar la raíz par de un número negativo. Esto significa que puedes simplificar los radicales\(\ \sqrt[3]{-81}\),\(\ \sqrt[5]{-64}\), y\(\ \sqrt[7]{-2187}\), pero no puedes simplificar los radicales\(\ \sqrt{-100}\),\(\ \sqrt[4]{-16}\), o\(\ \sqrt[6]{-2,500}\).

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt[3]{-24 a^{5}}\)

Solución

\(\ \sqrt[3]{-1 \cdot 8 \cdot 3 \cdot a^{5}}\)	Factor -24 para encontrar cubos perfectos. Aquí, -1 y 8 son los cubos perfectos.
\(\ \sqrt[3]{(-1)^{3} \cdot 2^{3} \cdot 3 \cdot a^{3} \cdot a^{2}}\)	Variables factoriales. Estás buscando exponentes de cubo, así factorizas\(\ a^{5}\) en\(\ a^{3}\) y\(\ a^{2}\).
\(\ \sqrt[3]{-1^{3}} \cdot \sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{a^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot a^{2}}\)	Separar los factores en radicales individuales.
\(\ -1 \cdot 2 \cdot a \cdot \sqrt[3]{3 \cdot a^{2}}\)	Simplificar, usando la propiedad\(\ \sqrt[3]{x^{3}}=x\).
\(\ -2 a \sqrt[3]{3 a^{2}}\)	Esta es la forma más simple de esta expresión; todos los cubos han sido sacados de la expresión radical.

\(\ \sqrt[3]{-24 a^{5}}=-2 a \sqrt[3]{3 a^{2}}\)

A continuación se detallan los pasos a considerar a la hora de simplificar un radical.

Simplificando un radical

Cuando se trabaja con exponentes y radicales:

• Si\(\ n\) es impar,\(\ \sqrt[n]{x^{n}}=x\).
• Si\(\ n\) es par,\(\ \sqrt[n]{x^{n}}=|x|\). (El valor absoluto explica el hecho de que si\(\ x\) es negativo y elevado a una potencia par, ese número será positivo, al igual que\(\ n\) la raíz principal de ese número.)

Ejemplo

Simplificar. \(\ \sqrt{100 x^{2} y^{4}}\)

Solución

\(\ \sqrt{10 \cdot 10 \cdot x^{2} \cdot y^{4}}\)	Separar factores; buscar números y variables al cuadrado. Factor 100 en\(\ 10 \cdot 10\).
\(\ \sqrt{10 \cdot 10 \cdot x^{2} \cdot\left(y^{2}\right)^{2}}\)	Factorizar\(\ y^{4}\) en\(\ \left(y^{2}\right)^{2}\).
\(\ \sqrt{10^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{\left(y^{2}\right)^{2}}\)	Separar los factores al cuadrado en radicales individuales.
\(\ 10 \cdot|x| \cdot y^{2}\)	Toma la raíz cuadrada de cada radical. Como no sabes si\(\ x\) es positivo o negativo, utiliza para\(\ |x|\) dar cuenta de ambas posibilidades, garantizando con ello que tu respuesta sea positiva.
\(\ 10|x| y^{2}\)	Simplifica y multiplica.

\(\ \sqrt{100 x^{2} y^{4}}=10|x| y^{2}\)

Puedes verificar tu respuesta al cuadrarla para asegurarte de que es igual\(\ 100 x^{2} y^{4}\).

Resumen

Una expresión radical es una forma matemática de representar la raíz\(\ n\) th de un número. Las raíces cuadradas y las raíces cúbicas son los radicales más comunes, pero una raíz puede ser cualquier número. Para simplificar las expresiones radicales, busque factores exponenciales dentro del radical, y luego use la propiedad\(\ \sqrt[n]{x^{n}}=x\) if\(\ n\) es impar, y\(\ \sqrt[n]{x^{n}}=|x|\) if\(\ n\) es par para sacar cantidades. Todas las reglas de operaciones enteras y exponentes se aplican al simplificar expresiones radicales.