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LibreTexts Español

16.1.2: Cuadrados, Cubos y Más Allá

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Simplifica las raíces cuadradas.
  • Encuentra raíces cubicas.
  • Simplifica expresiones con raíces pares e impares.

Introducción

Las expresiones radicales son expresiones que contienen radicales. Las expresiones radicales vienen en muchas formas, desde simples y familiares, como 16, hasta bastante complicadas, como en 3250x4y. Además de las raíces cuadradas, existen radicales llamados raíces cúbicas, cuartas raíces, quintas raíces, etc. Usando la factorización, también puedes simplificar estas expresiones radicales.

Simplificación de las raíces cuadradas

Las expresiones radicales a veces incluirán variables así como números. Considera la expresión 9x6y4. Para simplificar una expresión radical como esta, puedes usar factoring, pero también tendrás que aplicar las reglas de los exponentes. Vamos a probarlo.

Ejemplo

Simplificar.  9x6y4

Solución

 33x6y4 Factorizar el coeficiente 9 en 33.
 33x2x2x2y2y2 Facturar las variables en cuadrados.
 32x2x2x2y2y2 Escribir 33 como 32 y separar en radicales individuales.
 3xxxyy Simplificar, usando la regla que x2=x.
 3x3y2 Reescribe la expresión con constantes al frente y usando exponentes para las variables.

 9x6y4=3x3y2

El objetivo es encontrar factores bajo el radical que sean cuadrados perfectos para que puedas tomar su raíz cuadrada. Repetimos el ejemplo anterior y centrémonos en encontrar pares idénticos de factores.

Ejemplo

Simplificar.  9x6y4

Solución

 33x3x3y2y2 Factor para encontrar pares idénticos.
 (32)(x3)2(y2)2 Reescribe los pares como cuadrados perfectos.
 32(x3)2(y2)2 Separar en radicales individuales.
 3x3y2 Simplificar, usando la regla que x2=x.

 9x6y4=3x3y2

Los factores variables con exponentes pares se pueden escribir como cuadrados. En el ejemplo anterior, x6=x3x3=(x3)2 y y4=y2y2=(y2)2. Tratemos de simplificar otra expresión radical.

Ejemplo

Simplificar.  49x10y8

Solución

 77x5x5y4y4 Busque números y variables al cuadrado. Factor 49 en 7.7, x10 en x5x5, y y8 en y4y4.
 72(x5)2(y4)2 Reescribe los pares como cuadrados.
 72(x5)2(y4)2 Separar los factores al cuadrado en radicales individuales.
 7x5y4 Toma la raíz cuadrada de cada radical usando la regla que x2=x.
 7x5y4 Multiplicar.

 49x10y8=7x5y4

Encuentras que la raíz cuadrada de 49x10y8 es 7x5y4. Para verificar este cálculo, podrías cuadrar 7x5y4, esperando llegar a 49x10y8. Y, de hecho, obtendrías esta expresión si evaluaras (7x5y4)2.

Valor Absoluto

Tómate un momento para pensar en dos expresiones radicales: 900 y a3b5c7. Utilizarías las mismas técnicas para simplificar cualquiera de estas: encontrar cuadrados dentro del radical, reescribir la expresión como producto de radicales separados, simplificar y multiplicar.

Hay un problema agregado cuando estás tomando la raíz de una expresión radical que contiene variables. Recordemos que la raíz de un entero, tal como 900, se define como no negativa. Esto significa que aunque ambos 302 y (30)2 son iguales a 900, 900 se define sólo como 30. Esta es la idea detrás de 30 siendo la raíz principal de 900.

Pero no es tan sencillo con expresiones radicales que contienen variables. Considera la expresión x2. Esto parece que debería ser igual a x, ¿verdad? Probemos algunos valores para x y veamos qué sucede.

En el gráfico de abajo, mire a lo largo de cada fila y determine si el valor de x es el mismo que el valor de x2. ¿Dónde son iguales? ¿Dónde no son iguales?

Después de hacer eso para cada fila, mira de nuevo y determina si el valor de x2 es el mismo que el valor de |x|.

 x  x2  x2  |x|
-5 25 5 5
-2 4 2 2
0 0 0 0
6 36 6 6
10 100 10 10

Observe en los casos en los x que hay un número negativo, x2x! (Esto sucede porque el proceso de cuadrar el número pierde el signo negativo, ya que un negativo veces un negativo es un positivo). Sin embargo, en todos los casos x2=|x|. Hay que tener en cuenta este hecho a la hora de simplificar los radicales que contienen variables, porque por definición siempre x2 es no negativo.

Tomando la raíz cuadrada de una expresión radical

Al encontrar la raíz cuadrada de una expresión que contiene variables elevadas a una potencia, considérelo x2=|x|.

Ejemplos: 9x2=3|x|, y 16x2y2=4|xy|

Mira cómo se aplica esta idea en este siguiente ejemplo.

Ejemplo

Simplificar.  a3b5c2

Solución

 a2ab4bc2 Factor para encontrar variables con exponentes pares.
 a2a(b2)2bc2 Reescribir b4 como (b2)2
 a2(b2)2c2ab Separar los factores al cuadrado en radicales individuales.
 |a|b2|c|ab Toma la raíz cuadrada de cada radical. Recuerden eso a2=|a|.
 |ab2c|ab Simplifica y multiplica. La cantidad entera se ab2c puede encerrar en el signo de valor absoluto porque b2 será positiva, por lo que su inclusión no tiene ningún efecto.

 a3b5c2=|ab2c|ab

Ejercicio

Simplificar.  72y2z3

  1.  36yzz
  2.  62y2z3
  3.  6yz2z
  4.  6|yz|2z
Contestar
  1. Incorrecto. La raíz cuadrada no es la mitad del número; 72 es el número que, al multiplicarse por sí mismo, da 72. 36 veces 36 es mucho mayor que 72. La respuesta es 6|yz|2z.
  2. Incorrecto. La raíz cuadrada de 72 se simplificó correctamente, pero la raíz cuadrada de la parte variable no se simplificó. La respuesta es 6|yz|2z.
  3. Incorrecto. No aplicaste la regla que x2=|x|. La respuesta es 6|yz|2z.
  4. Correcto. Para simplificar la expresión, el factor 72 en 362 luego tomar la raíz cuadrada de 36 dejando un coeficiente de 6 frente al radical y el factor simplificado 2. A continuación, simplificar y2=|y| y z3=|z|z.

Encontrar raíces de cubo

Si bien las raíces cuadradas son probablemente el radical más común, también puedes encontrar la tercera raíz, la quinta raíz, la 10th  raíz, o realmente cualquier otra nth  raíz de un número. Así como la raíz cuadrada es un número que, al cuadrar, da el radicando, la raíz cúbica es un número que, cuando se recubre, da el radicando. Cubicar un número es lo mismo que llevarlo a la tercera potencia: 23 es 2 cubos, por lo que la raíz cúbica de 23 es 2.

La raíz cúbica de un número se escribe con un pequeño número 3, llamado índice, justo afuera y por encima del símbolo radical. Parece que 3. Este pequeño 3 distingue las raíces cúbicas de las raíces cuadradas, las cuales están escritas sin un pequeño número fuera y por encima del símbolo radical.

Tenga cuidado de distinguir entre 3x, la raíz cúbica de x, y 3x, tres veces la raíz cuadrada de x. Pueden parecer similares al principio, ¡pero te llevan a expresiones muy diferentes!

Ejemplo

Simplificar.  38

Solución

 222 Pregúntate: “¿Qué número puedo multiplicar por sí mismo, y luego por sí mismo otra vez, para obtener 8?”

 38=2

Otro enfoque para simplificar una raíz cúbico es utilizar el factoring. Exploremos factorizar con la expresión 3125. Se puede leer esto como “la tercera raíz de 125” o “la raíz cúbita de 125”. Para simplificar esta expresión, busque un número que, al multiplicarse por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), sea igual a 125. Vamos al factor 125 y encontremos ese número.

Ejemplo

Simplificar.  3125

Solución

 3525 125 termina en 5, entonces sabes que 5 es un factor. Expandir 125 en 525.
 3555 Factor 25 en 5 y 5.
 353 Los factores son 555, o 53.

 3125=5

Los factores primos de 125 son 555, que puede ser reescrito como 53. La raíz cúbico de un número en cubos es el número en sí, entonces 353=5. Has encontrado la raíz cúbica, los tres factores idénticos que cuando se multiplican juntos dan 125. 125 se conoce como un cubo perfecto porque su raíz cúbica es un entero.

He aquí un ejemplo de cómo simplificar un radical que no es un cubo perfecto.

Ejemplo

Simplificar.  332m5

Solución

 322222m5 Factor 32 en factores primos.
 32322m5 Ya que estás buscando la raíz cúbica, necesitas encontrar factores que aparecen 3 veces bajo el radical. Reescribir 222 como 23.
 32322m3m2 Reescribir m5 como m3m2.
 3233223m33m2 Reescribir la expresión como producto de múltiples radicales.
 234m3m2 Simplifica y multiplica.

 332m5=2m34m2

Ejercicio

Simplificar.  364h6

  1.  8h3
  2.  8h6
  3.  4+h2
  4.  4h2
Contestar
  1. Incorrecto.  8h3es la raíz cuadrada de 64h6, no la raíz cúbico. La respuesta es 4h2.
  2. Incorrecto. Para encontrar la raíz cúbica de 64h6, encuentra la raíz cúbica de 64, y luego la raíz cúbica de h6. La respuesta es 4h2.
  3. Incorrecto. 4 es la raíz cúbica de 64 y h2 es la raíz cúbica de h6, pero son factores y deben multiplicarse. La respuesta es 4h2.
  4. Correcto. Para simplificar la expresión, encuentra la raíz cúbita de 64 y la raíz cúbita de\h6.  364h6=3444(h2)3=343(h2)3=3433(h2)3=4h2

Simplificación de expresiones con raíces pares e impares

Hay un dato interesante sobre las raíces cúbicas que no es cierto para las raíces cuadradas. Los números negativos no pueden tener raíces cuadradas de números reales, ¡pero los números negativos pueden tener raíces cúbicas de números reales! ¿Cuál es la raíz cubicada de -8?  38=2porque 222=8. Recuerda, cuando estás multiplicando un número impar de números negativos, ¡el resultado es negativo! En el siguiente ejemplo, observe cómo 3(1)3=1 se utiliza para simplificar el radical.

Ejemplo

Simplificar.  327x4y3

Solución

\ (\\ begin {array} {r}
\ sqrt [3] {-1\ cdot 27\ cdot x^4\ cdot y^3}\\
\ sqrt [3] {(-1) ^ {3}\ cdot (3) ^ {3}\ cdot x^ {3}\ cdot x\ cdot y^ {3}}
\ end {array}\)
Factorice la expresión en cubos.
 3133(3)33x33x3y3 Separar los factores en cubos en radicales individuales.
 13xy3x Simplifica las raíces cubicas.

 327x4y3=3xy3x

Podrías verificar tu respuesta realizando la operación inversa. Si tienes razón, cuando cubas 3xy3x deberías conseguir 27x4y3.

\ (\\ comenzar {matriz} {c}
(-3 x y\ sqrt [3] {x}) (-3 x y\ sqrt [3] {x}) (-3 x y\ sqrt [3] {x})\\
-3\ cdot-3\ cdot-3\ cdot-3\ cdot x\ cdot x\ cdot x\ cdot y\ cdot sqrt [3] {x}\ cdot\ sqrt [3] {x}\ cdot\ sqrt [3] {x}\\
-27\ cdot x^ {3}\ cdot y^ {3}\ cdot\ sqrt [3] {x^ {3}}\\
-27 x^ {3} y^ {3}\ cdot x\\
-27 x^ {4} y^ {3}
\ end {array}\)

Entonces, puedes encontrar la raíz impar de un número negativo, pero no puedes encontrar la raíz par de un número negativo. Esto significa que puedes simplificar los radicales 381, 564, y 72187, pero no puedes simplificar los radicales 100, 416, o 62,500.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo

Simplificar.  324a5

Solución

 3183a5 Factor -24 para encontrar cubos perfectos. Aquí, -1 y 8 son los cubos perfectos.
 3(1)3233a3a2 Variables factoriales. Estás buscando exponentes de cubo, así factorizas a5 en a3 y a2.
 3133233a333a2 Separar los factores en radicales individuales.
 12a33a2 Simplificar, usando la propiedad 3x3=x.
 2a33a2 Esta es la forma más simple de esta expresión; todos los cubos han sido sacados de la expresión radical.

 324a5=2a33a2

A continuación se detallan los pasos a considerar a la hora de simplificar un radical.

Simplificando un radical

Cuando se trabaja con exponentes y radicales:

  • Si n es impar, nxn=x.
  • Si n es par, nxn=|x|. (El valor absoluto explica el hecho de que si x es negativo y elevado a una potencia par, ese número será positivo, al igual que n la raíz principal de ese número.)
Ejemplo

Simplificar.  100x2y4

Solución

 1010x2y4 Separar factores; buscar números y variables al cuadrado. Factor 100 en 1010.
 1010x2(y2)2 Factorizar y4 en (y2)2.
 102x2(y2)2 Separar los factores al cuadrado en radicales individuales.
 10|x|y2 Toma la raíz cuadrada de cada radical. Como no sabes si x es positivo o negativo, utiliza para |x| dar cuenta de ambas posibilidades, garantizando con ello que tu respuesta sea positiva.
 10|x|y2 Simplifica y multiplica.

 100x2y4=10|x|y2

Puedes verificar tu respuesta al cuadrarla para asegurarte de que es igual 100x2y4.

Resumen

Una expresión radical es una forma matemática de representar la raíz n th de un número. Las raíces cuadradas y las raíces cúbicas son los radicales más comunes, pero una raíz puede ser cualquier número. Para simplificar las expresiones radicales, busque factores exponenciales dentro del radical, y luego use la propiedad nxn=x if n es impar, y nxn=|x| if n es par para sacar cantidades. Todas las reglas de operaciones enteras y exponentes se aplican al simplificar expresiones radicales.


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