16.4.2: Operaciones con Números Complejos

Objetivos de aprendizaje

• Sumar números complejos.
• Restar números complejos.
• Multiplicar números complejos.
• Encuentra conjugados de números complejos.
• Dividir números complejos.

Introducción

Cada vez que se introducen nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas que hay que abordar es: “¿Cómo los agrega?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos y también a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.

Sumando y restando números complejos

En primer lugar, considere la siguiente expresión.

\(\ (6 x+8)+(4 x+2)\)

Para simplificar esta expresión, se combinan los términos similares,\(\ 6 x\) y\(\ 4x\). Estos son como términos porque tienen la misma variable con los mismos exponentes. De igual manera, 8 y 2 son como términos porque ambos son constantes, sin variables.

\(\ (6 x+8)+(4 x+2)=10 x+10\)

De la misma manera, se pueden simplificar expresiones con radicales.

\(\ (6 \sqrt{3}+8)+(4 \sqrt{3}+2)=10 \sqrt{3}+10\)

Se puede agregar\(\ 6 \sqrt{3}\) a\(\ 4 \sqrt{3}\) porque los dos términos tienen el mismo radical,\(\ \sqrt{3}\), así como\(\ 6x\) y\(\ 4x\) tienen la misma variable y exponente.

El número\(\ i\) parece una variable, pero recuerda que es igual a\(\ \sqrt{-1}\). Lo bueno es que no tienes reglas nuevas de las que preocuparte. Ya sea que lo trate como una variable o un radical, se aplican exactamente las mismas reglas para sumar y restar números complejos. Combina las partes imaginarias (los términos con\(\ i\)), y combinas las partes reales.

Ejemplo

Agregar. \((-3+3 i)+(7-2 i)\)

Solución

\(\ -3+3 i+7-2 i=-3+7+3 i-2 i\)	Reorganizar las sumas para juntar términos similares.
\(\ -3+7=4\)y\(\ 3 i-2 i=(3-2) i=i\)	Combina términos similares.

\(\ (-3+3 i)+(7-2 i)=4+i\)

Ejemplo

Restar. \((-3+3 i)-(7-2 i)\)

Solución

\(\ (-3+3 i)-(7-2 i)=-3+3 i-7+2 i\)	Asegúrese de distribuir el signo de resta a todos los términos del sustraendo.
\(\ -3-7+3 i+2 i\)	Reorganice los términos para armar términos similares.
\(\ -3-7=-10\)y\(\ 3 i+2 i=(3+2) i=5 i\)	Combina términos similares.

\(\ (-3+3 i)-(7-2 i)=10+5 i\)

Ejercicio

Resta. \(\ (5+3 i)-(3-i)\)

1. \(\ 2+4 i\)
2. \(\ 6\)
3. \(\ 2+2 i\)
4. \(\ 8+2 i\)

Contestar

1. \(\ 2+4 i\)

   Correcto. Distribuir la resta al segundo número complejo da\(\ 5+3 i-3+i\). Reorganizar para juntar términos similares da\(\ 5-3+3 i+i\), y combinar términos similares da\(\ 2+4 i\).

2. \(\ 6\)

   Incorrecto. Es posible que hayas combinado\(\ 5+3\) desde el primer número (ignorando el\(\ i\)) y\(\ 3-1\) desde el segundo número (ignorando el\(\ i\)), dando ese resultado de\(\ 8-2=6\). En su lugar, debe distribuir la resta a través del segundo número complejo para obtener\(\ 5+3 i-3+i\). Reorganizar para juntar términos similares da\(\ 5-3+3 i+i\), y combinar términos similares da la respuesta correcta\(\ 2+4 i\).

3. \(\ 2+2 i\)

   Incorrecto. Probablemente olvidaste distribuir la resta a la parte imaginaria del segundo número complejo, dejándolo como\(\ -i\) en lugar de\(\ +i\). Distribuir la resta al segundo número complejo da\(\ 5+3 i-3+i\). Reorganizar para juntar términos similares da\(\ 5-3+3 i+i\), y combinar términos similares da la respuesta correcta\(\ 2+4 i\).

4. \(\ 8+2 i\)

   Incorrecto. Es posible que hayas agregado en lugar de restado. Distribuir la resta al segundo número complejo da\(\ 5+3 i-3+i\). Reorganizar para juntar términos similares da\(\ 5-3+3 i+i\), y combinar términos similares da la respuesta correcta\(\ 2+4 i\).

Multiplicar números complejos

De nuevo, considere la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, considera cómo lo simplificarías.

\[\ (5 x)(-3 x) \nonumber \]

Se puede simplificar multiplicando los coeficientes juntos, luego las variables.

\ [\\ comenzar {alineado}
(5 x) (-3 x) & =( 5) (-3) (x) (x)\\
&=-15 x^ {2}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Multiplicando dos imaginarios (¡pero no complejos!) números juntos funciona de manera similar, pero hay un paso adicional. Comience con el mismo método para multiplicar\(\ \text { 5i }\) y\(\ -3 i\).

\ [\\ comenzar {alineado}
(5 i) (-3 i) & =( 5) (-3) (i) (i)\\
&=-15 i^ {2}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Esto parece estar bien hasta ahora, pero el se\(\ i^{2}\) puede simplificar aún más.

Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número debajo del radical. Esto es lo que significa raíz cuadrada.

\ [\\ begin {array} {l}
(\ sqrt {3}) (\ sqrt {3}) =3\\
(\ sqrt {15}) (\ sqrt {15}) =15
\ end {array}\ nonumber\]

Bueno, también\(\ i\) es una raíz cuadrada. Es igual a\(\ \sqrt{-1}\).

\ [\\ begin {alineado}
i^ {2} & =( i) (i)\\
& =(\ sqrt {-1}) (\ sqrt {-1})\\
&=-1
\ end {alineado}\ nonumber\]

Entonces, el paso final para simplificar\(\ (5 i)(-3 i)=-15 i^{2}\) es reemplazar\(\ i^{2}\) con -1.

\ [\\ begin {alineado}
(5 i) (-3 i) & =( 5) (-3) (i) (i)\\
&=-15 i^ {2}\\
&=-15 (-1)\\
&=15
\ end {alineado}\ nonumber\]

Ejemplo

Multiplicar. \(\ (3 i)(2 i)\)

Solución

\(\ (3 i)(2 i)=(3)(2)(i)(i)=6 i^{2}\)	Multiplicar los coeficientes de\(\ i\) juntos, y luego multiplicar los\(\ i\) tiempos\(\ i\).
\(\ 6 i^{2}=6(-1)\)	\(\ {i}^{2}\)con -1.
\(\ 6(-1)=-6\)	Multiplicar.

\(\ (3 i)(2 i)=-6\)

¡Observe que el producto de dos números imaginarios es un número real! Volveremos a ver esto cuando multipliquemos dos números complejos.

Ejercicio

Multiplicar y simplificar. \(\ (3 i)(-i)\)

1. \(\ 3\)
2. \(\ -3\)
3. \(\ 3i\)
4. \(\ -3 i^{2}\)

Contestar

1. \(\ 3\)

   Correcto. \(\ (3 i)(-i)=3(-1)(i)(i)=-3 i^{2}=-3(-1)=3\)

2. \(\ -3\)

   Incorrecto. Probablemente o te perdiste el letrero en el segundo factor, o lo reemplazaste incorrectamente\(\ i^{2}\). \(\ (3 i)(-i)=3(-1)(i)(i)=-3 i^{2}=-3(-1)=3\)

3. \(\ 3i\)

   Incorrecto. Probablemente multiplicaste incorrectamente\(\ (i)(-i)\), o reemplazaste incorrectamente\(\ i^{2}\). \(\ (3 i)(-i)=3(-1)(i)(i)=-3 i^{2}=-3(-1)=3\)

4. \(\ -3 i^{2}\)

   Incorrecto. Esta es una multiplicación correcta, pero\(\ i^{2}\) puede simplificarse aún más. \(\ (3 i)(-i)=3(-1)(i)(i)=-3 i^{2}=-3(-1)=3\)

Uso de la propiedad distributiva

La siguiente expresión es un poco más complicada porque se están multiplicando dos binomios. Esto significa que tienes que usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que multiplicar usando el método FOIL (First, Outside, Inside, Last) es una aplicación de la Propiedad Distributiva de Multiplicación.) Una vez que se hayan multiplicado los binomios, simplifique la expresión combinando términos similares.

\ [\\ comenzar {alineado}
(6 x+8) (4 x+2) &=6 x (4 x+2) +8 (4 x+2)\\
&=6 x\ cdot 4 x+6 x\ cdot 2+8\ cdot 4 x+8\ cdot 2\\
&=24 x^ {2} +12 x+32 x+16\\
&=24 x^ {2} +44 x+16
\ final {alineado}\ nonumber\]

Nuevamente, de la misma manera, se pueden multiplicar números complejos. Al final, necesitarás simplificar\(\ i^{2}\).

Ejemplo

Multiplicar y simplificar. \(\ (6+8 i)(4+2 i)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {l} (6+8 i) (4+2 i)\\ 6 (4+2 i) +8 i (4+2 i)\\ 6\ cdot 4+6\ cdot 2 i+8 i\ cdot 4+8 i\ cdot 2 i\ 24+12 i+32 i+16 i^ {2} \ end {array}\)	Se están multiplicando dos binomios, por lo que es necesario utilizar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. Podríamos haber usado FOIL y haber ido directamente a la línea\(\ 6 \cdot 4+6 \cdot 2 i+8 i \cdot 4+8 i \cdot 2 i\).
\ (\\ begin {array} {l} 24+44 i+16 i^ {2}\\ 24+44 i+16 (-1)\\ 24+44 i-16\\ 8+44 i \ end {array}\)	Combina términos similares. Reemplazar\(\ i^{2}\) con -1 y simplificar.

\(\ (6+8 i)(4+2 i)=8+44 i\)

En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente ejemplo, el producto es real, no complejo. ¿Puedes averiguar por qué?

Ejemplo

Multiplicar y simplificar. \(\ (6+8 i)(6-8 i)\)

Solución

\ (\\ begin {array} {l} (6+8 i) (6-8 i)\\ 6\ cdot 6+6\ cdot-8 i+8 i\ cdot 6+8 i\ cdot-8 i\\ 36-48 i+48 i-64 i^ {2}\ 36-64 i^ {2}\\ 36-64 (-1)\\ 36+64\\ 100 \ end {array}\)

Use FOIL para expandir el producto. Combina términos similares. Reemplazar\(\ i^{2}\) con -1 y simplificar.

\(\ (6+8 i)(6-8 i)=100\)

Así como\(\ 6+8 \sqrt{3}\) y\(\ 6-8 \sqrt{3}\) son conjugados,\(\ 6+8 i\) y\(\ 6-8 i\) son conjugados. (Nuevamente,\(\ i\) es una raíz cuadrada, así que esta no es realmente una idea nueva.) Cuando los números son complejos, se les llama conjugados complejos. Debido a que los conjugados tienen términos que son los mismos excepto por la operación entre ellos (uno es suma y otro es resta), los\(\ i\) términos en el producto sumarán a 0. En el ejemplo anterior,\(\ -48 i\) se sumó a\(\ 48 i\), y esa suma es 0, por lo que no hubo\(\ i\) término en el producto final. Eso significa que el producto de conjugados complejos siempre será un número real (no complejo).

Ejercicio

Multiplicar. \(\ (9+i)(9-i)\)

1. \(\ 82+18 i\)
2. \(\ 80-18 i\)
3. \(\ 80\)
4. \(\ 82\)

Contestar

1. \(\ 82+18 i\)

   Incorrecto. No olvide utilizar el método FOIL para que cada término en el primer número complejo se multiplique por cada término en el otro número complejo. Dado que los factores son conjugados complejos, su producto debe ser un número real. \(\ (9+i)(9-i)=81-9 i+9 i-i^{2}=81-i^{2}=81-(-1)=81+1=82\).

2. \(\ 80-18 i\)

   Incorrecto. No olvide utilizar el método FOIL para que cada término en el primer número complejo se multiplique por cada término en el otro número complejo. Dado que los factores son conjugados complejos, su producto debe ser un número real. \(\ (9+i)(9-i)=81-9 i+9 i-i^{2}=81-i^{2}=81-(-1)=81+1=82\).

3. \(\ 80\)

   Incorrecto. Probablemente multiplicaste correctamente pero te olvidaste de restar\(\ i^{2}\), o te olvidaste lo negativo cuando multiplicaste\(\ i\) y\(\ -i\). \(\ (9+i)(9-i)=81-9 i+9 i-i^{2}=81-i^{2}=81-(-1)=81+1=82\)

4. \(\ 82\)

   Correcto. \(\ (9+i)(9-i)=81-9 i+9 i-i^{2}=81-i^{2}=81-(-1)=81+1=82\)

División de números complejos

Hasta el momento, cada operación con números complejos ha funcionado igual que la misma operación con expresiones radicales. Esto ya no debería ser una sorpresa. El número\(\ i\) es un radical, después de todo, ¡así que los números complejos son expresiones radicales!

Veamos la división en dos partes, como hicimos la multiplicación. Primero, veamos una situación en la que el divisor es un monomio.

Ejemplo

Simplificar. \(\ -24 i \div 6\)

Solución

\(\ -24 i \div 6=\frac{-24 i}{6}=\frac{-4 i}{1} \cdot \frac{6}{6}\)	Tratar la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que el numerador y el denominador tienen en común.
\(\ -24 i \div 6=-4 i\)	Como el resultado no tiene denominador, no hace falta más simplificación.

Ejemplo

Simplificar. \(\ 32 i \div 6 i\)

Solución

\(\ 32 i \div 6 i=\frac{32 i}{6 i}=\frac{16}{3} \cdot \frac{2 i}{2 i}\)	Tratar la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que el numerador y el denominador tienen en común. Nota en este caso,\(\ i\) es parte del factor común.
\(\ 32 i \div 6 i=\frac{16}{3}\)	La fracción está en la forma más simple.

Ejemplo

Simplificar. \(\ 56 \div-7 i\)

Solución

\(\ 56 \div-7 i=\frac{56}{-7 i}=\frac{8}{-i} \cdot \frac{7}{7}\)	Tratar la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que el numerador y el denominador tienen en común.
\(\ \frac{8}{-i}\)	En este caso, el denominador aún tiene\(\ i\) en él. Ya que\(\ i\) es un radical, se debe simplificar aún más racionalizando el denominador.
\ (\\ comenzar {alineado} \ frac {8} {-i}\ cdot\ frac {i} {i} &=\ frac {8 i} {-i^ {2}}\\ &=\ frac {8 i} {- (-1)}\\ &=8 i \ end {alineado}\)	Dado que el denominador es solo un término, no es necesario pensar en conjugados complejos. Simplemente multiplique por 1 en la forma\(\ \frac{i}{i}\) y simplifique. (Recuerda, el producto de dos números imaginarios es real, por lo que el denominador es real).

\(\ 56 \div-7 i=8 i\)

Ejercicio

Simplificar. \(\ 12 \div 10 i\)

1. \(\ \frac{6}{5}\)
2. \(\ -\frac{6}{5} i\)
3. \(\ \frac{6}{5} i\)
4. \(\ -\frac{6}{5}\)

Contestar

1. \(\ \frac{6}{5}\)

   Incorrecto. Cuando simplificas las partes numéricas de\(\ \frac{12}{10 i}\), todavía tienes\(\ i\) en el denominador. Racionalizar el denominador de\(\ \frac{6}{5 i}\) multiplicando por\(\ \frac{i}{i}\):\(\ \frac{6}{5 i}=\frac{6}{5 i} \cdot \frac{i}{i}=\frac{6 i}{5 i^{2}}=\frac{6 i}{5(-1)}=-\frac{6}{5} i\)

2. \(\ -\frac{6}{5} i\)

   Correcto. Después de simplificar las partes numéricas de\(\ \frac{12}{10} i\), todavía hay que racionalizar el denominador porque\(\ i\) se deja en el denominador:\(\ \frac{12}{10 i}=\frac{6}{5 i} \cdot \frac{2}{2}=\frac{6}{5 i}=\frac{6}{5 i} \cdot \frac{i}{i}=\frac{6 i}{5 i^{2}}=\frac{6 i}{5(-1)}=-\frac{6}{5} i\)

3. \(\ \frac{6}{5} i\)

   Incorrecto. Cuando racionalizas el denominador, tienes\(\ i^{2}\) en el denominador. Ya que\(\ i^{2}=-1\), el cociente es negativo. \(\ \frac{12}{10 i}=\frac{6}{5 i} \cdot \frac{2}{2}=\frac{6}{5 i}=\frac{6}{5 i} \cdot \frac{i}{i}=\frac{6 i}{5 i^{2}}=\frac{6 i}{5(-1)}=-\frac{6}{5} i\)

4. \(\ -\frac{6}{5}\)

   Incorrecto. Puede que hayas olvidado el radical\(\ i\) en el denominador, o puedes haber cometido un error al racionalizar el denominador. Cuando racionalizas el denominador, también debes multiplicar el numerador por\(\ i\). \(\ \frac{12}{10 i}=\frac{6}{5 i} \cdot \frac{2}{2}=\frac{6}{5 i}=\frac{6}{5 i} \cdot \frac{i}{i}=\frac{6 i}{5 i^{2}}=\frac{6 i}{5(-1)}=-\frac{6}{5} i\)

Cuando el divisor (es decir, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes reales e imaginarias distintas de cero, se debe racionalizar el denominador utilizando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo es siempre un número real, por lo que el denominador será un número real. Eso significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado.

Ejemplo

Simplificar. \(\ (56-8 i) \div(14+10 i)\)

Solución

\ (\\ begin {alineado} (56-8 i)\ div (14+10 i) &=\ frac {56-8 i} {14+10 i}\\ &=\ frac {(28-4 i) (2)} {(7+5 i) (2)}\\ &=\ frac {28-4 i} {7+5 i}\ cdot\ frac {2}\\ &=\ frac {28-4 i} {7+5 i} \ end {alineado}\)	Tratar la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que el numerador y el denominador tengan en común, en su caso. Tenga cuidado de usar la propiedad distributiva: los números deben ser un factor de todos los términos.
\ (\\ begin {alineado} \ frac {28-4 i} {7+5 i} &=\ frac {28-4 i} {7+5 i}\ cdot\ frac {7-5 i} {7-5 i}\\ &=\ frac {(28-4 i) (7-5 i)} {(7+5 i) (7-5 i)} \ end {alineado}\)	En este caso, el denominador aún tiene\(\ i\) en él. Para racionalizar el denominador, multiplicar por el complejo conjugado del denominador. En este caso, el conjugado complejo es\(\ (7-5 i)\).
\ (\\ begin {alineado} \ frac {(28-4 i) (7-5 i)} {(7+5 i) (7-5 i)} &=\ frac {28 (7) +28 (-5 i) + (-4 i) (7) + (-4 i) (-5 i)} {7 (7) +7 (-5 i) +5 i (7) +5 i (-5 i)}\ &=\ frac {196-140 i-28 i+20 i^ {2}} {49-35 i+35 i-25 i^ {2}}\\ &=\ frac {196-168 i+20 i ^ {2}} {49-25 i^ {2}} \ final {alineado}\)	(Para los conjugados complejos, las partes reales son iguales y las partes imaginarias son inversas aditivas). Expandir el numerador y el denominador. Recuerde, el denominador debe ser un número real (sin\(\ i\) término) si eligió el conjugado complejo correcto y realizó la multiplicación correctamente.
\ (\\ comenzar {alineado} \ frac {196-168 i+20 i^ {2}} {49-25 i^ {2}} &=\ frac {196-168 i+20 (-1)} {49-25 (-1)}\\ &=\ frac {196-168 i-20} {49+25}\ &=\ frac {176-168 i} {74} \ fin {alineado}\)	Reemplazar\(\ i^{2}\) con -1 y simplificar. ¡Asegúrate de reemplazar tanto\(\ i^{2}\) en el numerador como en el denominador!
\(\ \frac{176-168 i}{74}=\frac{176}{74}-\frac{168}{74} i\)	El cociente se puede escribir en la forma\(\ a+b i\) usando fracciones para ambos\(\ a\) y\(\ b\).
\ (\\ comenzar {alineado} \ frac {176} {74} -\ frac {168 i} {74} &=\ frac {88} {37}\ cdot\ frac {2} {2} -\ izquierda (\ frac {84} {37}\ cdot\ frac {2} {2}\ derecha) i\\ &=\ frac {88} {37} -\ frac {84} {37} i \ end {alineado}\)	Siempre revisa el producto final para ver si puedes simplificar aún más. En este caso, ambas fracciones pueden simplificarse.

\(\ (56-8 i) \div(14+10 i)=\frac{88}{37}-\frac{84}{37} i\)

Ejercicio

Simplificar. \(\ (10+6 i) \div(5-3 i)\)

1. \(\ \frac{16}{17}+\frac{30}{17} i\)
2. \(\ 2-2 i\)
3. \(\ 2+\frac{15}{4} i\)
4. \(\ \frac{16}{17}+60 i\)

Contestar

1. \(\ \frac{16}{17}+\frac{30}{17} i\)

   Correcto. Escribe como expresión racional y multiplica tanto el numerador como el denominador por el complejo conjugado del divisor:\(\ \frac{10+6 i}{5-3 i} \cdot \frac{5+3 i}{5+3 i}=\frac{50+30 i+30 i+18 i^{2}}{25-9 i^{2}}=\frac{50+60 i-18}{25+9}=\frac{32+60 i}{34}\). Esto simplifica a\(\ \frac{16}{17}+\frac{30}{17} i\).

2. \(\ 2-2 i\)

   Incorrecto. Probablemente solo dividiste las partes reales, luego dividiste los coeficientes de las partes imaginarias. Esto funciona con suma y resta, pero no con división. Intenta escribir la división como expresión racional, y multiplica tanto el numerador como el denominador por el complejo conjugado del divisor. La respuesta correcta es\(\ \frac{16}{17}+\frac{30}{17} i\).

3. \(\ 2+\frac{15}{4} i\)

   Incorrecto. Probablemente configuraste correctamente la expresión racional y racionalizaste:\(\ \frac{10+6 i}{5-3 i} \cdot \frac{5+3 i}{5+3 i}=\frac{50+30 i+30 i+18 i^{2}}{25-9 i^{2}}\). Recuerda en este punto que\(\ i^{2}=-1\), así restar\(\ 9 i^{2}\) es lo mismo que sumar 9. La respuesta correcta es\(\ \frac{16}{17}+\frac{30}{17} i\).

4. \(\ \frac{16}{17}+60 i\)

   Incorrecto. Probablemente configuraste correctamente la expresión racional y racionalizaste:\(\ \frac{10+6 i}{5-3 i} \cdot \frac{5+3 i}{5+3 i}=\frac{50+30 i+30 i+18 i^{2}}{25-9 i^{2}}=\frac{50+60 i-18}{25+9}=\frac{32+60 i}{34}\). Recuerda en este punto el denominador (34) divide ambos términos en el numerador, por lo que esto simplifica a\(\ \frac{32}{34}+\frac{60}{34} i=\frac{16}{17}+\frac{30}{17} i\).

Operaciones con números complejos

Para sumar o restar, combine términos similares.

Para multiplicar los monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números imaginarios\(\ i\). Si\(\ i^{2}\) aparece, sustitúyalo por -1.

Para multiplicar números complejos que son binomios, utilice la Propiedad Distributiva de Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como monomios.

Para dividir, tratar el cociente como una fracción.

• Simplifica las partes numéricas, y luego racionaliza el denominador, si es necesario.
• Reemplazar tanto\(\ {i}^{2}\) en el numerador como en el denominador por -1, según sea necesario.
• Escribe la respuesta en\(\ a+b i\) forma, lo que puede requerir una mayor simplificación de\(\ a\) y\(\ b\) cuándo son fracciones.

Resumen

Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las mismas ideas que usaste para radicales y variables. Con la multiplicación y la división, es posible que deba reemplazar por\(\ i^{2}\) -1 y simplificar aún más.