16.4.1: Números Complejos
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- Expresar raíces de números negativos en términos de\(\ i\).
- Expresar números imaginarios como\(\ bi\) y números complejos como\(\ a+b i\).
Introducción
Varias veces en tu aprendizaje de las matemáticas, te han introducido nuevos tipos de números. ¡Cada vez, estos números hacían posible algo que parecía imposible! Antes de que te enteraras de números negativos, no podías restar un número mayor de uno menor, pero los números negativos nos dan una forma de hacerlo. Cuando estabas aprendiendo a dividir, inicialmente no pudiste hacer un problema como 13 dividido por 5 porque 13 no es un múltiplo de 5. Entonces aprendiste a hacer este problema escribiendo la respuesta como 2 resto 3. Eventualmente, pudiste expresar esta respuesta como\(\ 2 \frac{3}{5}\). El uso de fracciones permitió darle sentido a esta división.
Hasta ahora, sabías que era imposible tomar una raíz cuadrada de un número negativo. Esto es cierto, usando sólo los números reales. ¡Pero aquí aprenderás sobre un nuevo tipo de número que te permite trabajar con raíces cuadradas de números negativos! Al igual que las fracciones y los números negativos, este nuevo tipo de número te permitirá hacer lo que antes era imposible.
Uso\(\ i\) para simplificar las raíces de los números negativos
Realmente necesitas solo un nuevo número para empezar a trabajar con las raíces cuadradas de los números negativos. Ese número es la raíz cuadrada de -1,\(\ \sqrt{-1}\). Los números reales son aquellos que se pueden mostrar en una línea numérica; ¡nos parecen bastante reales! Cuando algo no es real, a menudo dices que es imaginario. Entonces llamemos a este nuevo número\(\ i\) y lo usemos para representar la raíz cuadrada de -1.
\[\ i=\sqrt{-1} \nonumber \]
Porque\(\ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x\), también podemos ver eso\(\ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}=-1\) o\(\ i \cdot i=-1\). Eso también lo sabemos\(\ i \cdot i=i^{2}\), así podemos concluir eso\(\ i^{2}=-1\).
\[\ i^{2}=-1 \nonumber \]
El número nos\(\ i\) permite trabajar con raíces de todos los números negativos, no solo\(\ \sqrt{-1}\). Hay dos reglas importantes para recordar:\(\ \sqrt{-1}=i\), y\(\ \sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}\). Utilizarás estas reglas para reescribir la raíz cuadrada de un número negativo como la raíz cuadrada de un número positivo veces\(\ \sqrt{-1}\). A continuación simplificarás la raíz cuadrada y reescribirás\(\ \sqrt{-1}\) como\(\ i\). Vamos a probar un ejemplo.
Simplificar. \(\ \sqrt{-4}\)
Solución
| \(\ \sqrt{-4}=\sqrt{(4)(-1)}=\sqrt{4} \sqrt{-1}\) | Usa la regla\(\ \sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}\) para reescribir esto como un producto usando\(\ \sqrt{-1}\). |
| \(\ \sqrt{4} \sqrt{-1}=2 \sqrt{-1}\) | Dado que 4 es un cuadrado perfecto\(\ \left(4=2^{2}\right)\), puede simplificar la raíz cuadrada de 4. |
| \(\ 2 \sqrt{-1}=2 i\) | Utilice la definición de\(\ i\) para reescribir\(\ \sqrt{-1}\) como\(\ i\). |
\(\ \sqrt{-4}=2 i\)
Simplificar. \(\ \sqrt{-18}\)
Solución
| \(\ \sqrt{-18}=\sqrt{18 \cdot-1}=\sqrt{18} \sqrt{-1}\) | Usa la regla\(\ \sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}\) para reescribir esto como un producto usando\(\ \sqrt{-1}\). |
| \(\ \sqrt{18} \sqrt{-1}=\sqrt{9} \sqrt{2} \sqrt{-1}=3 \sqrt{2} \sqrt{-1}\) | Ya que 18 no es un cuadrado perfecto, usa la misma regla para reescribirlo usando factores que son cuadrados perfectos. En este caso, 9 es el único factor cuadrado perfecto, y la raíz cuadrada de 9 es 3. |
| \(\ 3 \sqrt{2} \sqrt{-1}=3 \sqrt{2 i}=3 i \sqrt{2}\) |
Utilice la definición de\(\ i\) para reescribir\(\ \sqrt{-1}\) como\(\ i\). Recuerda escribir\(\ i\) frente al radical. |
\(\ \sqrt{-18}=3 i \sqrt{2}\)
Simplificar. \(\ -\sqrt{-72}\)
Solución
| \(\ -\sqrt{-72}=-\sqrt{72 \cdot-1}=-\sqrt{72} \sqrt{-1}\) | Usa la regla\(\ \sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}\) para reescribir esto como un producto usando\(\ \sqrt{-1}\) |
| \(\ -\sqrt{72} \sqrt{-1}=-\sqrt{36} \sqrt{2} \sqrt{-1}=-6 \sqrt{2} \sqrt{-1}\) |
Ya que 72 no es un cuadrado perfecto, usa la misma regla para reescribirlo usando factores que son cuadrados perfectos. Observe que 72 tiene tres cuadrados perfectos como factores: 4, 9 y 36. Es más fácil usar el factor más grande que es un cuadrado perfecto. |
| \(\ -6 \sqrt{2} \sqrt{-1}=-6 \sqrt{2} i=-6 i \sqrt{2}\) |
Utilice la definición de\(\ i\) para reescribir\(\ \sqrt{-1}\) como\(\ i\). Recuerda escribir\(\ i\) frente al radical. |
\(\ -\sqrt{-72}=-6 i \sqrt{2}\)
Es posible que haya querido simplificar\(\ -\sqrt{-72}\) usando diferentes factores. Algunos pueden haber pensado en reescribir este radical como\(\ -\sqrt{-9} \sqrt{8}\), o\(\ -\sqrt{-4} \sqrt{18}\), o\(\ -\sqrt{-6} \sqrt{12}\) por ejemplo. Cada uno de estos radicales eventualmente habría dado la misma respuesta de\(\ -6 i \sqrt{2}\).
- Encuentra cuadrados perfectos dentro del radical.
- Reescribe el radical usando la regla\(\ \sqrt{a b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\).
- Reescribir\(\ \sqrt{-1}\) como\(\ i\).
Ejemplo:\(\ \sqrt{-18}=\sqrt{9} \sqrt{-2}=\sqrt{9} \sqrt{2} \sqrt{-1}=3 i \sqrt{2}\)
Simplificar. \(\ \sqrt{-50}\)
- \(\ 5\)
- \(\ -5 \sqrt{2}\)
- \(\ 5 i\)
- \(\ 5 i \sqrt{2}\)
- Responder
-
- \(\ 5\)
Incorrecto. Es posible que hayas notado el cuadrado perfecto 25 como factor de 50, pero olvidaste el resto del número bajo el radical. La respuesta correcta es:\(\ \sqrt{-50}=\sqrt{25} \sqrt{2} \sqrt{-1}=5 \sqrt{2 i}=5 i \sqrt{2}\).
- \(\ -5 \sqrt{2}\)
Incorrecto. En tanto\(\ \sqrt{50}=5 \sqrt{2}\), lo negativo bajo el radical no se puede mover fuera del radical. Recuerda,\(\ \sqrt{-1}=i\). La respuesta correcta es:\(\ \sqrt{-50}=\sqrt{25} \sqrt{2} \sqrt{-1}=5 \sqrt{2 i}=5 i \sqrt{2}\).
- \(\ 5 i\)
Incorrecto. Es posible que hayas notado correctamente el cuadrado perfecto 25 como factor de 50, y usado correctamente\(\ \sqrt{-1}=i\), pero olvidaste el factor restante de -50, que es 2. La respuesta correcta es:\(\ \sqrt{-50}=\sqrt{25} \sqrt{2} \sqrt{-1}=5 \sqrt{2 i}=5 i \sqrt{2}\).
- \(\ 5 i \sqrt{2}\)
Correcto. \(\ \sqrt{-50}=\sqrt{25} \sqrt{2} \sqrt{-1}=5 \sqrt{2 i}=5 i \sqrt{2}\).
- \(\ 5\)
Números imaginarios y complejos
Se pueden crear otros números multiplicando\(\ i\) por un número real. Un número imaginario es cualquier número de la forma\(\ bi\), donde\(\ b\) es real (pero no 0) y\(\ i\) es la raíz cuadrada de -1. Mire los siguientes ejemplos, y observe que\(\ b\) puede ser cualquier tipo de número real (positivo, negativo, número entero, racional o irracional), pero no 0. (Si\(\ b\) es 0, solo\(\ 0i\) sería 0, un número real.)
| \ (\\ comenzar {alineado} \ texto {3i} b&=3\ \ frac {3} {5}\ texto {i} b&=\ frac {3} {5} \ final {alineado}\) |
\ (\\ begin {array} {rl} -672 i & b=-672\ \ frac {\ sqrt {2}} {2} i & b=\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ end {array}\) |
Se pueden utilizar las operaciones habituales (suma, resta, multiplicación, etc.) con números imaginarios. Verás más de eso, más adelante. Sin embargo, cuando agregas un número real a un número imaginario, obtienes un número complejo. Un número complejo es cualquier número en la forma\(\ a+b i\), donde\(\ a\) es un número real y\(\ bi\) es un número imaginario. El número a veces\(\ a\) se llama la parte real del número complejo, y a veces\(\ bi\) se llama la parte imaginaria.
| Número complejo | Parte real | Parte imaginaria |
|---|---|---|
| \(\ 3+7 i\) | \(\ 3\) | \(\ 7 i\) |
| \(\ 18-32 i\) | \(\ 18\) | \(\ -32 i\) |
| \(\ -\frac{3}{5}+i \sqrt{2}\) | \(\ -\frac{3}{5}\) | \(\ i \sqrt{2}\) |
| \(\ \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2} i\) | \(\ \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\ -\frac{1}{2} i\) |
En un número con un radical como parte de\(\ b\), como el\(\ -\frac{3}{5}+i \sqrt{2}\) anterior, el imaginario\(\ i\) debe escribirse frente al radical. Aunque escribir este número como\(\ -\frac{3}{5}+\sqrt{2} i\) es técnicamente correcto, hace que sea mucho más difícil saber si\(\ i\) está dentro o fuera del radical. Poniéndolo ante lo radical, como en\(\ -\frac{3}{5}+i \sqrt{2}\), aclara cualquier confusión. Mira estos dos últimos ejemplos.
| Número | Número en forma compleja:\(\ a+b i\) | Parte real | Parte imaginaria |
|---|---|---|---|
| \(\ 17\) | \ (\ a+b i\) ">\(\ 17+0 i\) | \(\ 17\) | \(\ 0 i\) |
| \(\ -3 i\) | \ (\ a+b i\) ">\(\ 0-3 i\) | \(\ 0\) | \(\ -3 i\) |
Al hacer\(\ b=0\), cualquier número real se puede expresar como un número complejo. El número real\(\ a\) está escrito\(\ a+0 i\) en forma compleja. Del mismo modo, cualquier número imaginario puede expresarse como un número complejo. Al hacer\(\ a=0\), cualquier número imaginario\(\ bi\) se escribe\(\ 0+b i\) en forma compleja.
Escribe 83.6 como un número complejo.
Solución
| \(\ a+b i\) | Recuerda que un número complejo tiene la forma\(\ a+b i\). Necesitas averiguar qué\(\ a\) y\(\ b\) necesitas ser. |
| \(\ 83.6+b i\) | Dado que 83.6 es un número real, es la parte real\(\ (a)\) del número complejo\(\ a+b i\). Un número real no contiene ninguna parte imaginaria, por lo que el valor de\(\ b\) es 0. |
\(\ 83.6+0 i\)
Escribir\(\ -3 i\) como un número complejo.
Solución
| \(\ a+b i\) | Recuerda que un número complejo tiene la forma\(\ a+b i\). Necesitas averiguar qué\(\ a\) y\(\ b\) necesitas ser. |
| \(\ a-3 i\) | Dado que\(\ -3 i\) es un número imaginario, es la parte imaginaria\(\ (bi)\) del número complejo\(\ a+b i\). Este número imaginario no tiene partes reales, por lo que el valor de\(\ a\) es 0. |
\(\ 0-3 i\)
¿Cuál es la parte real del número complejo\(\ -35+9 i\)?
- 9
- -35
- 35
- 9 y -35
- Responder
-
- 9
Incorrecto. El número 9 está en la parte imaginaria\(\ (9i)\) de este número complejo. En un número complejo,\(\ a+b i\),\(\ a\) es la parte real. En este caso,\(\ a=-35\), por lo que la parte real es -35.
- -35
Correcto. En un número complejo,\(\ a+b i\),\(\ a\) es la parte real. En este caso,\(\ a=-35\), por lo que la parte real es -35.
- 35
Incorrecto. En un número complejo,\(\ a+b i\),\(\ a\) es la parte real. En este caso,\(\ a=-35\), La parte real puede ser cualquier número real, incluyendo números negativos.
- 9 y -35
Incorrecto. El número 9 está en la parte imaginaria\(\ (9i)\) de este número complejo. En un número complejo,\(\ a+b i\),\(\ a\) es la parte real. En este caso,\(\ a=-35\), por lo que la parte real es apenas -35.
- 9
Resumen
Los números complejos tienen la forma\(\ a+b i\), donde\(\ a\) y\(\ b\) son números reales y\(\ i\) es la raíz cuadrada de -1. Todos los números reales se pueden escribir como números complejos configurando\(\ b=0\). Los números imaginarios tienen la forma\(\ bi\) y también se pueden escribir como números complejos configurando\(\ a=0\). Las raíces cuadradas de números negativos se pueden simplificar usando\(\ \sqrt{-1}=i\) y\(\ \sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}\).