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17.2.1: Evaluar funciones

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    Objetivos de aprendizaje
    • Dada una función, descrita por una ecuación, encuentra valores de función (salidas) para entradas especificadas.

    Introducción

    A lo largo de este curso, has estado trabajando con ecuaciones algebraicas. Muchas de estas ecuaciones son funciones. Por ejemplo,\(\ y=4 x+1\) es una ecuación que representa una función. Cuando ingresa valores para\(\ x\), puede determinar una salida única para\(\ y\). En este caso, si sustitues\(\ x=10\) en la ecuación encontrarás que\(\ y\) debe ser 41; no hay otro valor de\(\ y\) eso haría que la ecuación sea verdadera.

    En lugar de usar la variable\(\ y\), las ecuaciones de funciones se pueden escribir usando notación de funciones. La notación de funciones es muy útil cuando se trabaja con más de una función a la vez, y sustituyendo más de una variable por\(\ x\).

    Notación de funciones

    Algunas personas piensan en las funciones como “máquinas matemáticas”. Imagina que tienes una máquina que cambia un número según una regla específica, como “multiplicar por 3 y sumar 2” o “dividir por 5, sumar 25 y multiplicar por -1”. Si pones un número en la máquina, un nuevo número saldrá por el otro extremo, habiendo sido cambiado de acuerdo con la regla. El número que entra se llama entrada, y el número que se produce se llama salida.

    También puede llamar a la máquina “\(\ f\)” para la función. Si pones\(\ x\) en la máquina,\(\ f(x)\) sale. Matemáticamente hablando,\(\ x\) es la entrada, o la “variable independiente”, y\(\ f(x)\) es la salida, o la “variable dependiente”, ya que depende del valor de\(\ x\).

    \(\ f(x)=4 x+1\)está escrito en notación de función y se lee “\(\ f\)de\(\ x\) igual a\(\ 4x\) más 1”. Representa la siguiente situación: Una función llamada\(\ f\) actúa sobre una entrada,\(\ x\), y produce\(\ f(x)\) que es igual a\(\ 4 x+1\). Esto es lo mismo que la ecuación\(\ y=4 x+1\).

    La notación de funciones te da más flexibilidad porque no tienes que usar\(\ y\) para cada ecuación. En su lugar, puedes usar\(\ f(x)\) o\(\ g(x)\) o\(\ c(x)\). Esta puede ser una manera útil de distinguir ecuaciones de funciones cuando se trata de más de una a la vez.

    Se podría escribir la fórmula para perímetro,\(\ P=4 s\), como la función\(\ p(x)=4 x\), y la fórmula para área,\(\ A=x^{2}\), como\(\ a(x)=x^{2}\). Esto facilitaría graficar ambas funciones en una misma gráfica sin confusiones sobre las variables.

    Ejercicio

    ¿Cuáles dos ecuaciones representan la misma función?

    1. \(\ y=2 x-7 \text { and } f(x)=7-2 x\)
    2. \(\ 3 x=y-2 \text { and } f(x)=3 x-2\)
    3. \(\ f(x)=3 x^{2}+5 \text { and } y=3 x^{2}+5\)
    4. Ninguna de las anteriores
    Contestar
    1. Incorrecto. Estas ecuaciones se ven similares pero no son las mismas. El primero tiene una pendiente de 2 y una intercepción y de -7. La segunda función tiene una pendiente de -2 y una intercepción y de 7. Se incesta en sentido contrario. No producen la misma gráfica, por lo que no son la misma función. La respuesta correcta es\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) y\(\ y=3 x^{2}+5\).
    2. Incorrecto. Estas ecuaciones representan dos funciones diferentes. Si reescribes la primera ecuación en términos de\(\ y\), encontrarás que la ecuación de la función es\(\ y=3 x+2\). La respuesta correcta es\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) y\(\ y=3 x^{2}+5\).
    3. Correcto. Las expresiones después\(\ f(x)=\) y\(\ y=\) son las mismas, por lo que estas son dos formas diferentes de escribir la misma función:\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) y\(\ y=3 x^{2}+5\).
    4. Incorrecto. Mira las expresiones que siguen\(\ f(x)=\) y\(\ y=\). Si las expresiones son las mismas, entonces las ecuaciones representan la misma función exacta. La respuesta correcta es\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) y\(\ y=3 x^{2}+5\).

    Evaluar funciones

    También se pueden evaluar ecuaciones escritas usando notación de funciones. Con la notación de funciones, es posible que veas un problema como este.

    Dado\(\ f(x)=4 x+1\), encuentra\(\ f(2)\).

    Se lee este problema así: “dado\(\ f\) de\(\ x\) iguales\(\ 4x\) más uno, hallazgo\(\ f\) de 2”. Si bien la notación y redacción son diferentes, el proceso de evaluar una función es el mismo que evaluar una ecuación: en ambos casos, se sustituye por 2\(\ x\), se multiplica por 4 y se agrega 1, simplificando para obtener 9. Tanto en una función como en una ecuación, una entrada de 2 da como resultado una salida de 9.

    \ (\\ begin {array} {l}
    f (x) =4 x+1\\
    f (2) =4 (2) +1=8+1=9
    \ end {array}\)

    Simplemente puedes aplicar lo que ya sabes sobre la evaluación de expresiones para evaluar una función. Es importante señalar que los paréntesis que forman parte de la notación de funciones no significan multiplicar. La notación\(\ f(x)\) no significa\(\ f\) multiplicado por\(\ x\). En cambio la notación significa “\(\ f\)de\(\ x\)” o “la función de\(\ x\)” Para evaluar la función, tomar el valor dado para\(\ x\), y sustituir ese valor en para\(\ x\) en la expresión. Veamos un par de ejemplos.

    Ejemplo

    Dado\(\ f(x)=3 x-4\), encuentra\(\ f(5)\).

    Solución

    \(\ f(5)=3(5)-4\) Sustituir 5 in for\(\ x\) en la función.
    \ (\\ begin {array} {l}
    f (5) =15-4\\
    f (5) =11
    \ end {array}\)    		 Simplifica la expresión en el lado derecho de la ecuación.

    Dado\(\ f(x)=3 x-4, f(5)=11\).

    Las funciones pueden ser evaluadas para valores negativos de\(\ x\), también. Tenga en cuenta las reglas para las operaciones de enteros.

    Ejemplo

    Dado\(\ p(x)=2 x^{2}+5\), encuentra\(\ p(-3)\).

    Solución

    \(\ p(-3)=2(-3)^{2}+5\) Sustituye -3 in for\(\ x\) en la función.
    \ (\\ begin {array} {l}
    p (-3) =2 (9) +5\\
    p (-3) =18+5\\
    p (-3) =23
    \ end {array}\)    		 Simplifica la expresión en el lado derecho de la ecuación.

    Dado\(\ p(x)=2 x^{2}+5, p(-3)=23\).

    También se le puede pedir que evalúe una función para más de un valor como se muestra en el ejemplo que sigue.

    Ejemplo

    Dado\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\), encontrar\(\ f(0)\),\(\ f(2)\), y\(\ f(-1)\).

    Solución

    \ (\\ begin {array} {l}
    f (0) =3 (0) ^ {2} +2 (0) +1\\
    f (0) =0+0+1\\
    f (0) =1
    \ end {array}\)    		 Trate cada uno de estos como tres problemas separados. En cada caso, se sustituye el valor por\(\ x\) y se simplifica. Empezar con\(\ x=0\).
    \ (\\ begin {array} {l}
    f (2) =3 (2) ^ {2} +2 (2) +1\\
    f (2) =3 (4) +4+1\\
    f (2) =12+4+1\\
    f (2) =17
    \ end {array}\)    		 Evaluar para\(\ x=2\).
    \ (\\ begin {array} {l}
    f (-1) =3 (-1) ^ {2} +2 (-1) +1\\
    f (-1) =3 (1) + (-2) +1\\
    f (-1) =3-2+1\\
    f (-1) =1+1\\
    f (-1) =2
    \ end {array}\)    		 Evaluar para\(\ x=-1\).

    Dado\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\),\(\ f(0)=1\),\(\ f(2)=17\), y\(\ f(-1)=2\).

    Ejercicio

    Dado\(\ h(x)=4 x+7\), encuentra\(\ h(-10)\).

    1. \(\ -40 h+7\)
    2. \(\ -33\)
    3. \(\ 4 x+17\)
    4. \(\ 47\)
    Contestar
    1. Incorrecto. \(\ h(-10)\)significa “\(\ h\)de diez negativos” no “\(\ h\)veces diez negativos”. Para evaluar la función, sustituya\(\ -10\)\(\ x\). La respuesta correcta es\(\ -33\).
    2. Correcto. \(\ h(-10)=4(-10)+7=-40+7=-33\).
    3. Incorrecto. Para encontrar\(\ h(-10)\), sustituir\(\ -10\)\(\ x\) en el lado derecho de la ecuación y simplificar. La respuesta correcta es\(\ -33\).
    4. Incorrecto. Evaluar la función para\(\ h(-10)\), no\(\ h(10)\). La respuesta correcta es\(\ -33\).

    Evaluación de funciones con entradas variables

    Hasta el momento, se han evaluado funciones para entradas que han sido constantes. Las funciones también pueden ser evaluadas para entradas que son variables o expresiones. El proceso es el mismo, pero la respuesta simplificada contendrá una variable. Los siguientes ejemplos muestran cómo evaluar una función para una entrada variable.

    Ejemplo

    Dado\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\), encuentra\(\ f(b)\).

    Solución

    \(\ f(b)=3 b^{2}+2 b+1\)

    Este problema te está pidiendo evaluar la función para\(\ b\). Esto significa sustituir\(\ b\) en la ecuación para\(\ x\).

    (¡Eso es! Ya terminaste.)

    Dado\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\),\(\ f(b)=3 b^{2}+2 b+1\).

    En el siguiente ejemplo, se evalúa una función para una expresión. Entonces aquí sustituirás toda la expresión por\(\ x\) y simplificarás.

    Ejemplo

    Dado\(\ f(x)=4 x+1\), encuentra\(\ f(h+1)\).

    Solución

    \(\ f(h+1)=4(h+1)+1\) Esta vez, se sustituye\(\ (h+1)\) en la ecuación para\(\ x\).
    \ (\\ comenzar {alineado}
    f (h+1) &=4 h+4+1\\
    &=4 h+5
    \ final {alineado}\)    		 Use la propiedad distributiva en el lado derecho y luego combine términos similares para simplificar.

    Dado\(\ f(x)=4 x+1, f(h+1)=4 h+5\).

    Resumen

    La notación de funciones toma la forma tal como\(\ f(x)=18 x-10\) y se lee “\(\ f\)de\(\ x\) igual a 18 veces\(\ x\) menos 10”. La notación de funciones puede usar letras distintas de\(\ f\), como\(\ c(x)\),\(\ g(x)\), o\(\ h(x)\). A medida que vaya más allá en su estudio de funciones, esta notación le proporcionará más flexibilidad, lo que le permitirá examinar y comparar diferentes funciones más fácilmente. Así como una ecuación algebraica escrita en\(\ x\) y\(\ y\) puede ser evaluada para diferentes valores de la entrada\(\ x\), una ecuación escrita en notación de funciones también se puede evaluar para diferentes valores de\(\ x\). Para evaluar una función, sustituya en valores\(\ x\) y simplifique para encontrar la salida relacionada.

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