18.2.2: Propiedades de las funciones logarítmicas

Objetivos de aprendizaje

• Expresar el logaritmo de un producto como suma de logaritmos.
• Expresar el logaritmo de un cociente como diferencia.
• Expresar el logaritmo de una potencia como producto.
• Simplifica las expresiones logarítmicas.

Introducción

A lo largo de su estudio del álgebra, ha encontrado muchas propiedades como las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas. Estas propiedades te ayudan a tomar una expresión o ecuación complicada y simplificarla.

Lo mismo ocurre con los logaritmos. Hay una serie de propiedades que te ayudarán a simplificar expresiones logarítmicas complejas. Dado que los logaritmos están tan estrechamente relacionados con las expresiones exponenciales, no es de extrañar que las propiedades de los logaritmos sean muy similares a las propiedades de los exponentes. Como actualización rápida, aquí están las propiedades del exponente.

Propiedades de los Exponentes

Producto de poderes:\(b^{m} b^{n}=b^{m+n}\)

Cociente de poderes:\(\frac{b^{m}}{b^{n}}=b^{m-n}\)

Poder de una potencia:\(\left(b^{m}\right)^{n}=b^{m n}\)

Una propiedad importante pero básica de los logaritmos es\(\log _{b} b^{x}=x\). Esto tiene sentido cuando convierte la declaración a la ecuación exponencial equivalente. ¿El resultado? \(b^{x}=b^{x}\).

Encontremos el valor de\(y\) in\(\log _{3} 3^{2}=y\). Recuerda\(\log _{b} x=y \Leftrightarrow b^{y}=x\), entonces\(\log _{3} 3^{2}=y\) significa\(3^{y}=3^{2}\) y\(y\) debe ser 2, lo que significa\(\log _{3} 3^{2}=2\). Obtendrá la misma respuesta que\(\log _{3} 3^{2}\) equivale a 2 mediante el uso de la propiedad que\(\log _{b} b^{x}=x\).

Logaritmo de un Producto

Recuerde que las propiedades de los exponentes y logaritmos son muy similares. Con exponentes, para multiplicar dos números con la misma base, se suman los exponentes. Con logaritmos, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

Logaritmo de un Producto

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:\(\log _{b}(M N)=\log _{b} M+\log _{b} N\)

Intentemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Problema: Utilice la propiedad del producto para reescribir\(\log _{2}(4 \cdot 8)\).

Contestar

Utilice la propiedad del producto para escribir como suma.

\(\log _{2}(4 \cdot 8)=\log _{2} 4+\log _{2} 8\)

Simplifique cada adenda, si es posible. En este caso, se pueden simplificar ambas adiciones. Primero reescribe\(\log _{2} 4\) como\(\log _{2} 2^{2}\) y\(\log _{2} 8\) como\(\log _{2} 2^{3}\), y luego usa la propiedad\(\log _{b} b^{x}=x\).

O, reescribir\(\log _{2} 4=y\) como\(2^{y}=4\) para encontrar\(y = 2\), y\(\log _{2} 8=y\) como\(2^{y}=8\) para encontrar\(y = 3\).

Usa cualquier método que tenga sentido para ti.

\ (\ begin {alineado}
\ log _ {2} 4+\ log _ {2} 8 &=\\
\ log _ {2} 2^ {2} +\ log _ {2} 2^ {3} &=\\
2+3 &=5
\ end {alineado}\)

\(\log _{2}(4 \cdot 8)=5\)

Otra forma de simplificar\(\log _{2}(4 \cdot 8)\) sería multiplicar 4 y 8 como primer paso.

\(\log _{2}(4 \cdot 8)=\log _{2} 32=5 \text { because } 2^{5}=32\)

¡Obtienes la\(\log _{2}(4 \cdot 8) = 5\) misma respuesta que en el ejemplo!

Observe la similitud con la propiedad exponente:\(b^{m} b^{n}=b^{m+n}\), while\(\log _{b}(M N)=\log _{b} M+\log _{b} N\). En ambos casos, un producto se convierte en una suma.

Ejemplo

Problema: Utilice la propiedad del producto para reescribir\(\log _{3}(9 x)\).

Contestar

Utilice la propiedad del producto para escribir como suma.

\(\log _{3}(9 x)=\log _{3} 9+\log _{3} x\)

Simplifique cada adenda, si es posible. En este caso, se puede simplificar\(\log _{3} 9\) pero no\(\log _{3} x\). Reescribe\(\log _{3} 9\ as \(\log _{3} 3^{2}\) y luego usa la propiedad\(\log _{b} b^{x}=x\).

O bien,\(\log _{3} 9\) _{\(\log _{3} 9=y\)}simplifíquelo convirtiendo\(3^{y}=9\) y encontrando eso\(y = 2\). Usa cualquier método que tenga sentido para ti.

\(\log _{3} 9+\log _{3} x=\log _{3} 3^{2}+\log _{3} x=2+\log _{3} x\)

\(\log _{3}(9 x)=2+\log _{3} x\)

Si el producto tiene muchos factores, solo tiene que agregar los logaritmos individuales:

\(\log _{b}(A B C D)=\log _{b} A+\log _{b} B+\log _{b} C+\log _{b} D\)

Ejercicio

Reescribe\(\log _{2} 8 a\) y luego simplifica.

1. \(3 \log _{2} a\)
2. \(\log _{2} 3 a\)
3. \(\log _{2}(3+a)\)
4. \(3+\log _{2} a\)

Contestar

1. Incorrecto. Los logaritmos individuales deben ser añadidos, no multiplicados. La respuesta correcta es\(3+\log _{2} a\).
2. Incorrecto. Lo encontraste _{\(\log _{2} 8=3\)}, pero primero debes aplicar el logaritmo de una propiedad de producto. La respuesta correcta es\(3+\log _{2} a\).
3. Incorrecto. El logaritmo de una propiedad de producto dice separar el 8 y\(a\) en logaritmos separados. La respuesta correcta es\(3+\log _{2} a\).
4. Correcto. El logaritmo de una propiedad de producto dice\(\log _{2} 8 a=\log _{2} 8+\log _{2} a\), y _{\(\log _{2} 8=3\)}.

Logaritmo de un cociente

Se puede utilizar la similitud entre las propiedades de exponentes y logaritmos para encontrar la propiedad para el logaritmo de un cociente. Con exponentes, para multiplicar dos números con la misma base, se suman los exponentes. Para dividir dos números con la misma base, restas los exponentes. ¿Cómo crees que será la propiedad para el logaritmo de un cociente?

Como habrás sospechado, el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos.

Logaritmo de un cociente

\(\log _{b}\left(\frac{M}{N}\right)=\log _{b} M-\log _{b} N\)

Con ambas propiedades:\(\frac{b^{m}}{b^{n}}=b^{m-n}\) y\(\log _{b}\left(\frac{M}{N}\right)=\log _{b} M-\log _{b} N\), un cociente se convierte en una diferencia.

Ejemplo

Problema: Utilice la propiedad de cociente para reescribir\(\log _{x}\left(\frac{x}{2}\right)\).

Contestar

Utilice la propiedad cociente para reescribir como diferencia.

\(\log _{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\log _{2} x-\log _{2} 2\)

La primera expresión no se puede simplificar más. Sin embargo, la segunda expresión puede simplificarse. ¿Qué exponente en la base (2) da un resultado de 2? Ya que\(2^1 = 2\), ya sabes\(\log _{2} 2=1\).

\(\log _{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\log _{2} x-1\)

Ejercicio

¿A cuál de estos equivale\(\log _{3}\left(\frac{81}{a}\right)\)?

1. \(4-\log _{3} a\)
2. \(\frac{4}{\log _{3} a}\)
3. \(\log _{3}(4-a)\)
4. \(\log _{3}\left(\frac{4}{a}\right)\)

Contestar

1. Correcto. El logaritmo de un cociente estados de propiedad\(\log _{3}\left(\frac{81}{a}\right)=\log _{3} 81-\log _{3} a\), y _{\(\log _{3} 81=4\)}.
2. Incorrecto. Los logaritmos individuales deben restarse, no dividirse. La respuesta correcta es\(4-\log _{3} a\).
3. Incorrecto. El logaritmo de una propiedad de cociente dice separar el 81 y\(a\) en logaritmos separados. La respuesta correcta es\(4-\log _{3} a\).
4. Incorrecto. Lo encontraste _{\(\log _{3} 81=4\)}, pero primero debes aplicar el logaritmo de la propiedad del cociente. La respuesta correcta es\(4-\log _{3} a\).

Logaritmo de un Poder

La propiedad exponente restante era el poder de un poder:\(\left(b^{m}\right)^{n}=b^{m n}\). La similitud con el logaritmo de una potencia es un poco más difícil de ver.

Logaritmo de un Poder

\(\log _{b} M^{n}=n \log _{b} M\)

Con ambas propiedades,\(\left(b^{m}\right)^{n}=b^{m n}\) y\(\log _{b} M^{n}=n \log _{b} M\), el poder “\(n\)” se convierte en un factor.

Ejemplo

Problema: Utilice la propiedad power para simplificar _{\(\log _{3} 9^{4}\)}.

Contestar

Podrías encontrar\(9^4\) pero eso no facilitaría simplificar el logaritmo. Utilice la propiedad power para reescribir\(\log _{3} 9^{4}\) como\(4 \log _{3} 9\).

\(\log _{3} 9^{4}=4 \log _{3} 9\)

Es posible que ya sea capaz de reconocer que desde\(3^2 = 9\),\(\log _{3} 9=2\).

\(4 \log _{3} 9=4 \cdot 2\)

Multiplicar los factores.

\(\log _{3} 9^{4}=8\)

Observe en este caso que también podría haberlo simplificado reescribiéndolo como 3 a una potencia:\(\log _{3} 9^{4}=\log _{3}\left(3^{2}\right)^{4}\). Usando propiedades exponentes, esto es _{\(\log _{3} 3^{8}\)}y por la propiedad\(\log _{b} b^{x}=x\), ¡esto debe ser 8!

Ejemplo

Problema: Usar las propiedades de logaritmos para reescribir\(\log _{4} 64^{x}\).

Contestar

Utilice la propiedad power para reescribir\(\log _{4} 64^{x}\) como\(x \log _{4} 64\).

\(64=4 \cdot 4 \cdot 4=4^{3}\)

Reescribe\(\log _{4} 64\) como\(\log _{4} 4^{3}\), luego usa la propiedad\(\log _{b} b^{x}=x\) para simplificar\(\log _{4} 4^{3}\).

O, es posible que ya sea capaz de reconocer que desde\(4^{3}=64\),\(\log _{4} 64=3\).

\ (\ begin {array} {c}
\ log _ {4} 64^ {x} =x\ log _ {4} 64\\
=x\ log _ {4} 4^ {3}\
\ quad=x\ cdot 3
\ end {array}\)

Multiplicar los factores.

\(\log _{4} 64^{x}=3 x\)

Ejercicio

¿A cuál de estos equivale\(\log _{2} x^{8}\)?

1. \(\log _{2} 3 x\)
2. \(8 \log _{2} x\)
3. \(\log _{2} 8 x\)
4. \(3 \log _{2} x\)

Contestar

1. Incorrecto. El exponente se convierte en un factor fuera del logaritmo. La respuesta correcta es\(8 \log _{2} x\).
2. Correcto. Por la propiedad de poder,\(\log _{2} x^{8}=8 \log _{2} x\). Esto no se puede simplificar aún más.
3. Incorrecto. El exponente se convierte en un factor fuera del logaritmo. La respuesta correcta es\(8 \log _{2} x\).
4. Incorrecto. Probablemente te diste cuenta de eso\(\log _{2} 8=3\), así que usaste 3 en lugar de 8 cuando sacaste al exponente para ser un factor. Sin embargo, el exponente debe ser tirado fuera del logaritmo para ser un factor sin ningún otro cambio. La respuesta correcta es\(8 \log _{2} x\).

Simplificación de expresiones logarítmicas

Las propiedades se pueden combinar para simplificar expresiones más complicadas que involucran logaritmos.

Ejemplo

Problema: Utilice las propiedades de logaritmos para\(\log _{10}\left(\frac{a b}{c d}\right)\) expandirse en cuatro términos más simples.

Contestar

Utilice la propiedad cociente para reescribir\(\log _{10}\left(\frac{a b}{c d}\right)\) como una diferencia de logaritmos.

\(\log _{10}\left(\frac{a b}{c d}\right)=\log _{10}(a b)-\log _{10}(c d)\)

Ahora tienes dos logaritmos, cada uno con un producto. Aplicar la regla del producto a cada uno.

¡Ten cuidado con la resta! Ya que todo\(\log _{10} c d\) está restado, hay que restar ambas partes del término:\(\left(\log _{10} c+\log _{10} d\right)\)

\(\log _{10}(a b)-\log _{10}(c d)=\log _{10} a+\log _{10} b-\left(\log _{10} c+\log _{10} d\right)\)

\(\log _{10}\left(\frac{a b}{c d}\right)=\log _{10} a+\log _{10} b-\log _{10} c-\log _{10} d\)

Ejemplo

Problema: Simplificar\(\log _{6}(a b)^{4}\), escribiéndolo como dos términos separados.

Contestar

Utilice la propiedad power para reescribir\(\log _{6}(a b)^{4}\) como\(4 \log _{6}(a b)\).

Estás tomando el registro de un producto, así que aplica la propiedad del producto.

Ten cuidado: el valor 4 se multiplica por todo el logaritmo, así que usa paréntesis cuando reescribas\(\log _{6}(a b)\) como\(\left(\log _{6} a+\log _{6} b\right)\).

\ (\ begin {array} {l}
\ log _ {6} (a b) ^ {4} =4\ log _ {6} (a b)\\
\ quad=4\ left (\ log _ {b} a+\ log _ {6} b\ derecha)
\ end {array}\)

Utilice la propiedad distributiva.

\(\log _{6}(a b)^{4}=4 \log _{6} a+4 \log _{6} b\)

Ejercicio

Simplificar _{\(\log _{3} x^{2} y\)}.

1. \(2\left(\log _{3} x+\log _{3} y\right)\)
2. \(\log _{3} x^{2}+\log _{3} y\)
3. \(2 \log _{3} x y\)
4. \(2 \log _{3} x+\log _{3} y\)

Contestar

1. Incorrecto. Es posible que haya comenzado incorrectamente aplicando la propiedad power, o puede que haya comenzado correctamente con la propiedad del producto pero luego aplicó incorrectamente la propiedad power. La respuesta correcta es\(2 \log _{3} x+\log _{3} y\).
2. Incorrecto. Si bien aplicó correctamente la propiedad del producto primero,\(\log _{3} x^{2}\) puede simplificarse aún más. La respuesta correcta es\(2 \log _{3} x+\log _{3} y\).
3. Incorrecto. Probablemente empezaste incorrectamente aplicando la propiedad power. Comience con la propiedad del producto. La respuesta correcta es _{\(2 \log _{3} x+\log _{3} y\)}.
4. Correcto. \(\log _{3} x^{2} y=\log _{3} x^{2}+\log _{3} y=2 \log _{3} x+\log _{3} y\)

Resumen

Al igual que los exponentes, los logaritmos tienen propiedades que permiten simplificar logaritmos cuando sus entradas son un producto, un cociente, o un valor llevado a una potencia. Las propiedades de los exponentes y las propiedades de logaritmos tienen formas similares.

	Exponentes	Logaritmos
Propiedad del producto	\(b^{m} b^{n}=b^{m+n}\)	\(\log _{b}(M N)=\log _{b} M+\log _{b} N\)
Propiedad del cociente	\(\frac{b^{m}}{b^{n}}=b^{m-n}\)	\(\log _{b}\left(\frac{M}{N}\right)=\log _{b} M-\log _{b} N\)
Propiedad de energía	\(\left(b^{m}\right)^{n}=b^{m n}\)	\(\log _{b} M^{n}=n \log _{b} M\)

Observe cómo la propiedad del producto conduce a la suma, la propiedad del cociente conduce a la resta y la propiedad de potencia conduce a la multiplicación tanto para exponentes como para logaritmos.