4.14: ¿Qué es una Fracción? Parte 3

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Hasta el momento, no tenemos un modelo único que dé sentido a las fracciones en todos los contextos. A veces una fracción es una acción (“Corta esto a la mitad”). A veces es una cantidad (“¡Cada uno obtenemos 2/3 de un pastel!”) Y a veces queremos tratar fracciones como números, como tics en la línea numérica entre números enteros.

Podríamos decir que una fracción es sólo un par de números a y b, donde lo requerimos\(b \neq 0\). Simplemente sucede que escribimos el par como\(\frac{a}{b}\).

Pero nuevamente esto no es del todo correcto, ¡ya que toda una colección infinita de pares de números representa la misma fracción! Por ejemplo:

\[\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \ldots \nonumber \]

Entonces, una sola fracción es en realidad toda una clase infinita de pares de números que consideramos “equivalentes”.

¿Cómo piensan los matemáticos sobre las fracciones? Bueno, exactamente de esta manera. Piensan en pares de números escritos como\(\frac{a}{b}\), donde recordamos dos hechos importantes:

\(b \neq 0\), y
\(\frac{a}{b}\)es realmente la taquigrafía de toda una clase infinita de pares que parecen\(\frac{xa}{xb}\) para todos\(x \neq 0\).

Este es un fuerte cambio de pensamiento: La noción de un “número” ha cambiado de ser una combinación específica de símbolos a toda una clase de combinaciones de símbolos que se consideran equivalentes.

Luego, los matemáticos definen la suma de fracciones que se darán por la regla desalentadora:

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \ldotp \nonumber \]

Esto obviamente está motivado por algo así como el “Modelo Pies Por Niño”. Pero si tan solo definimos las cosas de esta manera, debemos preocuparnos por demostrar que elegir diferentes representaciones para\(\frac{a}{b}\) y\(\frac{c}{d}\) llevar a la misma respuesta final.

Por ejemplo, no es inmediatamente obvio que

\[\frac{2}{3} + \frac{4}{5} \quad and \quad \frac{4}{6} + \frac{40}{50} \nonumber \]

dar respuestas que sean equivalentes. (¡Comprueba que lo hacen!)

También definen el producto de las fracciones como:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \ldotp \nonumber \]

Nuevamente, si partimos de aquí, tenemos que demostrar que obtienes respuestas equivalentes para diferentes elecciones de fracciones equivalentes a\(\frac{a}{b}\) y\(\frac{c}{d}\).

Entonces los matemáticos establecen que los axiomas de un sistema aritmético se sostienen con estas definiciones y ¡a partir de ahí siguen! (Es decir, comprueban que la suma y la multiplicación sean tanto conmutativas como asociativas, que sostiene la ley distributiva, que todas las representaciones de 0 actúen como una identidad aditiva, y así sucesivamente).

Esto es abstracto, seco, y para nada el mejor primer encuentro para ofrecer a los estudiantes sobre el tema de las fracciones. Y, además, este enfoque evita por completo la pregunta de qué significa realmente una fracción en el “mundo real”. Pero es lo mejor que se puede hacer si se quiere ser completamente honesto.

Pensar/Parejar/Compartir

Entonces... ¿qué es una fracción, en realidad? ¿Cómo piensas de ellos? Y ¿cuál es la mejor manera de hablar de ellos con alumnos de primaria?