4.13: Conexiones de álgebra
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En un curso avanzado de álgebra a los estudiantes a menudo se les pide que trabajen con expresiones complicadas como:
\[\frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{3}{x}} \nonumber \]
Podemos hacer que se vea más amigable usando la regla de fracción clave, exactamente la misma técnica que usamos en el capítulo sobre “Dividir fracciones: invertir y multiplicar”. En este ejemplo, multipliquemos el numerador y el denominador cada uno por
. (¿Ves por qué esta es una buena opción?) Obtenemos:
\[\frac{(\frac{1}{x} + 1) \cdot x}{(\frac{1}{x}) \cdot x} = \frac{1 + x}{3}, \nonumber \]
y\(\frac{1+x}{3}\) es mucho menos aterrador.
Observe que expresiones como
\[\frac{1}{x} \nonumber \]
no se puede reescribir como decimal. Expresiones como esta surgen en numerosas aplicaciones, por lo que es importante que los estudiantes de matemáticas y ciencias puedan trabajar con fracciones en forma de fracción, sin recurrir siempre a la conversión a decimales.
Como otro ejemplo, dado:
\[\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{ab}, \nonumber \]
uno podría encontrar útil multiplicar el numerador y el denominador cada uno por
y luego cada uno por
:
\[\frac{(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) \cdot a \cdot b}{(ab) \cdot a \cdot b} = \frac{b - a}{a^{2} b^{2}} \ldotp \nonumber \]
Para
\[\frac{\frac{1}{(w+1)^{2}} - 2}{\frac{1}{w+1)^{2}} + 5}, \nonumber \]
podría ser bueno multiplicar numerador y denominador cada uno por\((w+1)^{2}\). (¿Por qué?)
\[\frac{(\frac{1}{(w+1)^{2}} - 2) \cdot (w+1)^{2}}{(\frac{1}{w+1)^{2}} + 5) \cdot (w+1)^{2}} = \frac{1-2(w+1)^{2}}{1+5(w+1)^{2}} \ldotp \nonumber \]
Por su cuenta
¿Puedes hacer que cada una de estas expresiones se vea menos aterradora?
\[\frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}, \qquad \frac{\frac{1}{x+h} + 3}{\frac{1}{x+h}}, \qquad \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}, \qquad \frac{\frac{1}{x+a} - \frac{1}{x}}{a} \ldotp \nonumber \]