6.6: ¿Terminando o repitiendo?
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Has visto que cuando escribes una fracción como decimal, a veces el decimal termina, como:
\[\frac{1}{2} = 0.5 \quad \text{and} \quad \frac{33}{100} = 0.033 \ldotp \nonumber \]
Sin embargo, algunas fracciones tienen representaciones decimales que duran para siempre en un patrón repetitivo, como:
\[\frac{1}{3} = 0.33333 \ldots \quad \text{and} \quad \frac{6}{7} = 0.857142857142857142857142 \ldots \nonumber \]
No es del todo obvio, pero es cierto: Esas son las únicas dos cosas que pueden suceder cuando escribes una fracción como decimal.
Por supuesto, puedes imaginar (pero nunca anotar) un decimal que dura para siempre pero que no se repite, por ejemplo:
\[0.1010010001000010000001 \ldots \quad \text{and} \quad \pi = 3.14159265358979 \ldots \nonumber \]
Pero estos números nunca se pueden escribir como una fracción agradable\(\frac{a}{b}\) donde
y
son números enteros. Se les llama números irracionales. La razón de este nombre: Fracciones como también\(\frac{a}{b}\) se llaman ratios. Los números irracionales no pueden expresarse como una relación de dos números enteros.
Por ahora, pensaremos en la pregunta: ¿Qué fracciones tienen representaciones decimales que terminan, y qué fracciones tienen representaciones decimales que se repiten para siempre? Nos centraremos solo en las fracciones unitarias.
Una fracción unitaria es una fracción que tiene 1 en el numerador. Parece que\(\frac{1}{n}\) para algún número entero
.
- ¿Cuáles de las siguientes fracciones tienen representaciones decimales infinitamente largas y cuáles no? $$\ frac {1} {2}\ quad\ frac {1} {3}\ quad\ frac {1} {4}\ quad\ frac {1} {5}\ quad\ frac {1} {6}\ quad\ frac {1} {7}\ quad\ frac {1} {8}\ quad\ frac {1} {9}\ quad\ frac {1}} {10}\ ldotp$$
- Prueba algunos ejemplos más por tu cuenta. ¿Tienes una conjetura?
Una fracción\(\frac{1}{b}\) tiene una expansión decimal infinitamente larga si:
________________________________.
Complete la siguiente tabla en la que se muestra la expansión decimal de las fracciones unitarias donde el denominador es una potencia de 2. (Es posible que desee usar una calculadora para calcular las representaciones decimales. El punto es buscar y luego explicar un patrón, en lugar de computar a mano.)
Prueba aún más ejemplos hasta que puedas hacer una conjetura: ¿Cuál es la representación decimal de la fracción unitaria\(\frac{1}{2^{n}}\)?
| Fracción | denominador | Decimal |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(2\) | \(0.5\) |
| \(\frac{1}{4}\) | \(2^{2}\) | \(0.25\) |
| \(\frac{1}{8}\) | \(2^{3}\) | \(0.125\) |
| \(\frac{1}{16}\) | ||
| \(\frac{1}{32}\) | ||
| \(\frac{1}{64}\) | ||
| \(\frac{1}{128}\) | ||
| \(\frac{1}{256}\) |
Complete la siguiente tabla donde se muestra la expansión decimal de fracciones unitarias donde el denominador es una potencia de 5. (Es posible que desee usar una calculadora para calcular las representaciones decimales. El punto es buscar y luego explicar un patrón, en lugar de computar a mano.)
Prueba aún más ejemplos hasta que puedas hacer una conjetura: ¿Cuál es la representación decimal de la fracción unitaria\(\frac{1}{5^{n}}\)?
| Fracción | denominador | Decimal |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{5}\) | \(5\) | \(0.2\) |
| \(\frac{1}{25}\) | \(5^{2}\) | \(0.04\) |
| \(\frac{1}{125}\) | \(5^{3}\) | |
| \(\frac{1}{625}\) | ||
| \(\frac{1}{3125}\) | ||
| \(\frac{1}{15625}\) |
Marcus notó un patrón en la tabla del Problema 7, pero estaba teniendo problemas para explicar exactamente lo que notó. Esto es lo que le dijo a su grupo:
Recordé que cuando escribimos fracciones como decimales antes, intentamos convertir el denominador en una potencia de diez. Así podemos hacer esto: $$\ begin {split}\ frac {1} {2} &=\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {5} {5} =\ frac {5} {10} = 0.5\ ldotp\\ frac {1} {4} &=\ frac {1} {4}\ cdot\ frac {25} {25} =\ frac {25} {100} = 0.25\ ldotp\\ frac {1} {8} &=\ frac {1} {8}\ cdot\ frac {125} {125} =\ frac {125} {1000} = 0.125\ ldotp\ end {split} $$$Cuando solo tener 2's, siempre podemos convertirlos en 10's agregando suficientes 5's.
- Escribe varios ejemplos más de lo que Marcus descubrió.
- Si Marcus tuviera la fracción unitaria\(\frac{1}{2^{n}}\), ¿cuál sería su primer paso para convertirla en decimal? ¿Cómo sería la expansión decimal y por qué?
- Ahora piensa en fracciones unitarias con potencias de 5 en el denominador. Si Marcus tuviera la fracción unitaria\(\frac{1}{5^{n}}\), ¿cuál sería su primer paso para convertirla en decimal? ¿Cómo sería la expansión decimal y por qué?
Marcus tenía una idea muy buena, pero no lo explicó muy bien. En realidad no quiere decir que “convertimos 2 en 10”. Y no está haciendo ninguna adición, así que hablar de “agregar suficientes 5's” es bastante confuso.
- Complete el enunciado a continuación rellenando el numerador de la fracción.
La fracción unitaria\(\frac{1}{2^{n}}\) tiene una representación decimal que termina. La representación tendrá n dígitos decimales, y será equivalente a la fracción\(\frac{?}{10^{n}} \ldotp\)
- Escribe una mejor versión de la explicación de Marcus para justificar por qué este hecho es cierto.
Escriba una declaración sobre las representaciones decimales de las fracciones unitarias\(\frac{?}{5^{n}}\) y justifique que su declaración sea correcta. (Utilice la declaración en Problema 9 como modelo.)
Cada una de las fracciones enumeradas a continuación tiene una representación decimal de terminación. Explica cómo podrías saber esto con certeza, sin calcular realmente la representación decimal. \[\frac{1}{10} \quad \frac{1}{20} \quad \frac{1}{50} \quad \frac{1}{200} \quad \frac{1}{500} \quad \frac{1}{4000} \ldotp \nonumber \]
El periodo de un decimal repetido
Si el denominador de una fracción se puede factorizar en solo 2's y 5's, siempre se puede formar una fracción equivalente donde el denominador es una potencia de diez.
Por ejemplo, si empezamos con la fracción
\[\frac{1}{2^{a} 5^{b}}, \nonumber \]
podemos formar una fracción equivalente
\[\frac{1}{2^{a} 5^{b}} = \frac{1}{2^{a} 5^{b}} \cdot \frac{2^{b} 5^{a}}{2^{b} 5^{a}} = \frac{2^{b} 5^{a}}{2^{a+b} 5^{a+b}} = \frac{2^{b} 5^{a}}{10^{a+b}} \ldotp \nonumber \]
El denominador de esta fracción es una potencia de diez, por lo que la expansión decimal es finita con (como máximo)\(a+b\) lugares.
¿Qué pasa con las fracciones donde el denominador tiene otros factores primos además de 2's y 5's? Ciertamente no podemos convertir el denominador en una potencia de 10, porque los poderes de 10 tienen como factores primos solo los 2 y los 5. Entonces en este caso la expansión decimal seguirá para siempre. Pero, ¿por qué tendrá un patrón repetitivo? Y ¿hay algo más interesante que podamos decir en este caso?
El periodo de un decimal repetido es el menor número de dígitos que se repiten.
Por ejemplo, vimos que
\[\frac{1}{3} = 0.33333 \cdots = 0. \bar{3} \ldotp \nonumber \]
La parte repetitiva es solo el dígito único 3, por lo que el periodo de este decimal repetido es uno.
Del mismo modo, sabemos que
\[\frac{6}{7} = 0.857142857142857142857142 \ldots = 0. \overline{857142} \ldotp \nonumber \]
La parte repetitiva más pequeña son los dígitos 857142, por lo que el período de este decimal repetido es 6.
Puedes pensarlo de esta manera: el punto es la longitud de la cadena de dígitos debajo del vinculum (la barra horizontal que indica los dígitos repetitivos).
Complete la siguiente tabla que muestra la expansión decimal de fracciones unitarias donde el denominador tiene factores primos además de 2 y 5. (Es posible que desee usar una calculadora para calcular las representaciones decimales. El punto es buscar y luego explicar un patrón, en lugar de computar a mano.)
Prueba aún más ejemplos hasta que puedas hacer una conjetura: ¿Qué puedes decir del periodo de la fracción\(\frac{1}{n}\) cuando n tiene factores primos además de 2 y 5?
| Fracción | denominador | Decimal |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{3}\) | \(0.1 \bar{6}\) | \(1\) |
| \(\frac{1}{6}\) | \(0. \overline{142857}\) | \(6\) |
| \(\frac{1}{7}\) | ||
| \(\frac{1}{9}\) | ||
| \(\frac{1}{11}\) | ||
| \(\frac{1}{12}\) | ||
| \(\frac{1}{13}\) | ||
| \(\frac{1}{14}\) |
Imagina que estás haciendo la división “Puntos y Cajas” para calcular la representación decimal de una fracción unitaria como\(\frac{1}{6}\). Empiezas con un solo punto en la caja de unos:
Para encontrar la expansión decimal, “desexplotas” puntos, formas grupos de seis, ves cuántos puntos quedan y repites.
Dibuja tus propias imágenes para seguir esta explicación:
Cuadro 1: Cuando desexplotas el primer punto, obtienes 10 puntos en la\(\frac{1}{10}\) caja, lo que da un grupo de seis con el resto de 4.
Cuadro 2: Cuando desexplotas esos cuatro puntos, obtienes 40 puntos en la\(\frac{1}{100}\) caja, lo que da seis grupo de seis con resto de 4.
Cuadro 3: Inexplota esos 4 puntos para conseguir 40 en el siguiente cuadro a la derecha.
Cuadro 4: Hacer seis grupos de 6 puntos con el resto 4.
Ya que el resto se repitió (volvimos a tener un resto de 4), podemos ver que el proceso ahora se repetirá para siempre:
- desexplota 4 puntos para conseguir 40 en el siguiente cuadro a la derecha,
- hacer seis grupos de 6 puntos con el resto 4,
- desexplota 4 puntos para conseguir 40 en el siguiente cuadro a la derecha,
- hacer seis grupos de 6 puntos con el resto 4,
- y así sucesivamente para siempre...
Por su cuenta
Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.
- Utilice la división “Puntos y cajas” para calcular la representación decimal de\(\frac{1}{11}\). Explica cómo sabes con certeza que el proceso se repetirá para siempre.
- Utilice la división “Puntos y cajas” para calcular la representación decimal de\(\frac{1}{12}\). Explica cómo sabes con certeza que el proceso se repetirá para siempre.
- ¿Cuáles son los posibles restos que puedes obtener cuando usas la división para calcular la fracción\(\frac{1}{7}\)? ¿Cómo puedes estar seguro de que el proceso eventualmente se repetirá?
- ¿Cuáles son los posibles restos que puedes obtener cuando usas la división para calcular la fracción\(\frac{1}{9}\)? ¿Cómo puedes estar seguro de que el proceso eventualmente se repetirá?
Supongamos que
es un número entero, y tiene algunos factores primos además de 2's y 5's Escribe un argumento convincente que:
- La representación decimal de\(\frac{1}{n}\) seguirá para siempre (no terminará).
- La representación decimal de\(\frac{1}{n}\) será un decimal infinito repetido.
- El periodo de la representación decimal de\(\frac{1}{n}\) será menor que n.
- Encuentra la expansión “decimal” para\(\frac{1}{2}\) en las siguientes bases. Asegúrate de mostrar tu trabajo: $$dos,\ cuádruple tres,\ cuádruple cuatro,\ cuádruple cinco,\ cuádruple seis,\ cuádruple siete\ ldotp$$
- Hacer una conjetura: Si escribo la expansión decimal de\(\frac{1}{2}\) en base b, ¿cuándo será esa expansión finita y cuándo será una expansión decimal repetitiva infinita?
- ¿Puedes probar que tu conjetura es cierta?