8.2: Métodos Continuos 1 - Métodos Divisor/Seleccionador y Separador Solitario

El método Divider/Chooser y el método Lone Divider son dos métodos bastante simples para dividir un conjunto continuo S. Se pueden usar para dividir un pastel o para dividir un pedazo de tierra. El método Lone Divider funciona para tres o más jugadores pero funciona mejor con solo tres o cuatro jugadores. El método Divider/Chooser es un caso especial del método Lone Divider solo para dos jugadores.

Método divisor/selector

Si tienes hermanos probablemente usaste el método Divider/Chooser para la división justa cuando eras niño. Recuerda cuando mamá le dijo a un niño que rompiera la barra de caramelo por la mitad y luego el otro niño llegó a elegir qué mitad tomar: Ese era el método Divider/Chooser. Se trata de un método muy sencillo para dividir un solo ítem continuo entre dos jugadores. En pocas palabras, un jugador corta y el otro jugador elige. Llamar al objeto a dividir S. El divisor es el jugador que corta el objeto S. El divisor se ve obligado a cortar el objeto S de manera que él/ella estaría satisfecho con cualquiera de las piezas como parte justa. El selector luego escoge la pieza que considera una parte justa. Una vez que el selector escoge una pieza, el divisor obtiene la pieza restante. El divisor siempre obtiene exactamente la mitad del valor de S. El selector a veces termina con más de la mitad del valor de S. Esto suena contradictorio pero recuerda que cada jugador tiene su propio sistema de valores.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Método divisor/selector con una pizza

Bill y Ted quieren dividir una pizza que sea mitad queso y mitad pepperoni. A Bill le gusta la pizza de queso pero no el pepperoni y Ted le gusta toda la pizza por igual

Figura\(\PageIndex{1}\): Pizza de Medio Queso y Mitad de Pepperoni

1. Si Bill corta y Ted elige, describa la división justa.

A Bill le gusta el queso pero no el pepperoni así que ve todo el valor de la pizza en la parte del queso. Corta la pizza de una manera que la mitad de la parte de queso termina en cada pieza. La forma más obvia de hacerlo es cortarlo por la mitad verticalmente. Se podría pensar que Bill elegiría la mitad de la pizza como el lado del queso y la mitad como el lado del pepperoni con la esperanza de que terminara con todo el lado del queso. No obstante, esa no sería una división que resulte en dos mitades iguales en sus ojos. Es decir, podría terminar con todo el lado del pepperoni que no le gusta.

Figura\(\PageIndex{2}\): División de Bill de la Pizza

Ya que a Ted le gusta toda la pizza por igual y ambas partes son iguales no importa qué pieza elija Ted. Digamos que elige la pieza de la derecha.

Ted está contento porque consiguió la mitad de la pizza, una parte justa en su sistema de valores.

Bill está contento porque consiguió la mitad de la parte de queso de la pizza, la mitad del valor (o una parte justa) en su sistema de valores.

2. Si Ted corta y Bill elige, describa tres divisiones justas diferentes.

Recuerda que una de nuestras suposiciones es que Ted no sabe que a Bill solo le gusta la parte de queso de la pizza. Dado que a Ted le gusta toda la pizza por igual, debería cortar la pizza a la mitad en términos del volumen (para nuestra pizza bidimensional, cortarla a la mitad en términos de la zona).

1. Ted podría cortar la pizza por la mitad verticalmente tal como lo hizo Bill en la parte (a). No importaría qué pieza eligió Bill ya que ambas piezas son iguales.

Figura\(\PageIndex{3}\): División de la Pizza de Ted, #1

2. Ted pudo cortar la pizza por la mitad horizontalmente para que una pieza fuera todo queso y la otra pieza fuera todo pepperoni.

Figura\(\PageIndex{4}\): División de la Pizza de Ted, #2

Bill elegiría la mitad de queso y Ted obtendría la mitad de pepperoni. Bill está contento porque obtiene el 100% del valor de la pizza en su sistema de valores. Ted está contento porque obtiene el 50% del valor de la pizza en su sistema de valores.

3. Ted podría cortar la pizza en un ángulo para que cada pieza sea parte de pepperoni y parte de queso.

Figura\(\PageIndex{5}\): División de la Pizza de Ted, #3

Dado que a Bill solo le gusta la parte del queso, debe elegir la pieza de la izquierda con el 75% de la parte de queso de la pizza. Bill está contento porque obtiene el 75% del valor de la pizza en su sistema de valores. Ted está contento porque obtiene el 50% del valor de la pizza en su sistema de valores.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Método divisor/selector con un subsándwich (Ejemplo\(\PageIndex{4}\) Continuado)

En Ejemplo\(\PageIndex{4}\), George y Ted quieren dividir un sándwich de 12 pulgadas por valor de 9 dólares. La mitad del sándwich es vegetariano y la mitad el sándwich es albóndiga. George no come carne en absoluto. A Ted le gusta la parte de albóndigas el doble que la parte vegetariana. Ya nos dimos cuenta de cómo cada jugador debería cortar el sándwich.

1. Si George corta qué pieza debería elegir Ted?

Figura\(\PageIndex{6}\): George's División del Sandwich

Ted ve la parte de albóndigas con un valor de $6 y la parte vegetariana con un valor de $3. La mitad de la parte vegetariana le valdría $1.50. La mayor parte del sándwich tendría un valor de $6.00 + $1.50 = $7.50 y la parte más pequeña del sándwich tendría un valor de $1.50. Debe elegir la mayor parte del sándwich.

2. Si Ted corta qué pieza debería elegir George?

Figura\(\PageIndex{7}\): División del Sandwich de Ted

George no come carne así que la pieza más pequeña de albóndigas vale $0 para él. La pieza más grande contiene toda la parte vegetariana del sándwich por lo que contiene todo el valor para él. George debería elegir la pieza más grande que vale $9 para él.

Tenga en cuenta que en Ejemplo\(\PageIndex{2}\), parte (a), la pieza de Ted le valía 7.50 dólares y en la parte (b) la pieza de George le valía $9. En ambas situaciones, el elector termina con algo más que una parte justa. El divisor siempre obtiene exactamente una parte justa. Dada la elección, siempre es mejor ser el selector que el divisor.

Método de Divisor Solitario:

El método Divider/Chooser sólo funciona para dos jugadores. Para más de dos jugadores podemos usar un método llamado el método Lone Divider. La idea básica es que un divisor corta el objeto en pedazos. El resto de los jugadores, llamados choosers, pujan por las piezas que sienten que son acciones justas. A cada seleccionador se le da una pieza que considera una parte justa con la pieza restante yendo al divisor. Como vimos en el método Divider/Chooser, el divisor siempre obtiene exactamente una parte justa pero los seleccionadores pueden obtener más que una parte justa.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Método de Divisor Solitario, Ejemplo Básico

Tres primos, Russ, Sam y Tom quieren dividir un pastel en forma de corazón. Dibujan pajitas para elegir un divisor y se elige a Russ. Russ debe dividir el pastel en tres pedazos. Cada pieza debe ser una participación justa en su sistema de valores. Supongamos que Russ divide el pastel como se muestra en la siguiente figura.

Figura\(\PageIndex{8}\): División de la Torta de Russ

Sam y Tom ahora pujan por cada pedazo del pastel. Determinan privada e independientemente un valor para cada pieza del pastel de acuerdo a su sistema de valores.

Sam ve el valor del pastel como: Pieza A — 40%, pieza B — 30%, y pieza C — 30%.

Tom ve el valor del pastel como: Pieza A — 35%, pieza B — 35% y pieza C — 30%.

Ya que hay tres jugadores, una participación justa sería 1/3 o 33.3%.

Cada jugador anota qué piezas considerarían una parte justa del pastel. A estas se les llama las pujas.

Sam pujaría {A} y Tom pujaría {A, B}.

Ni Sam ni Tom consideran que la pieza C sea una parte justa así que la pieza C va para Russ, el divisor.

Sam solo considera que la pieza A es una parte justa así que dale a Sam la pieza A.

Tom estaría satisfecho con cualquiera de las piezas A o B. Desde que la pieza A fue entregada a Sam, Tom obtiene la pieza B.

Observe que Sam cree que su pieza vale el 40% del valor y Tom cree que su pieza vale el 35% del valor por lo que ambos obtuvieron más que una parte justa. El divisor Russ consiguió una pieza que valía exactamente 33.3% o una parte justa en su opinión. El divisor siempre recibe exactamente una parte justa utilizando este método.

Resumen del método Lone Divider:

1. Los n jugadores utilizan un método aleatorio para elegir un divisor. Los otros n-1 jugadores son todos electores.
2. El divisor divide el objeto S en n piezas de igual valor en su sistema de valores.
3. Cada uno de los seleccionadores asigna un valor a cada pieza del objeto y presenta su oferta. La oferta es una lista de las piezas que el jugador consideraría una parte justa.
4. Las piezas se asignan utilizando las pujas. En ocasiones, en el caso de un empate, se deben combinar dos piezas y volver a dividirse para satisfacer a todos los jugadores.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Método de Divisor Solitario con un Pastel, Sin Separación

Un pastel se va a dividir entre cuatro jugadores, Ian, Jack, Kent y Larry. Los jugadores sacan pajitas y Ian es elegido para ser el divisor. Ian divide el pastel en cuatro pedazos, S1, S2, S3 y S4. Cada una de estas piezas sería una parte justa para Ian. Los otros tres jugadores asignan valores a cada pieza como se resume en la Tabla\(\PageIndex{9}\).

Tabla\(\PageIndex{9}\): Valoración de las acciones por parte de los jugadores

	S1	S2	S3	S4
Ian	25%	25%	25%	25%
Jack	40%	30%	20%	10%
Kent	15%	35%	35%	15%
Larry	40%	20%	20%	20%

Ya que hay cuatro jugadores una parte justa es 25% del pastel. Los tres seleccionadores presentan sus ofertas de la siguiente manera:

Jack: {S1, S2}, Kent: {S2, S3} y Larry: {S1}

La distribución es bastante sencilla. Larry obtiene S1 ya que es la única pieza que considera una parte justa. Con S1 tomado Jack conseguirá S2, su única parte justa posible restante. Con S2 tomado Kent conseguirá S3, su única parte justa posible restante. Eso deja S4 para el divisor Ian.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Método de Separación Solitaria con un Pedazo de Tierra, Separación Simple

Figura\(\PageIndex{10}\): Un mapa de la tierra

Amy, Bob y Carly quieren dividir un pedazo de tierra usando el método del divisor solitario. Dibujan pajitas y Bob es elegido como divisor. Bob dibuja líneas en el mapa para dividir la tierra en tres piezas de igual valor según su sistema de valores.

Figura\(\PageIndex{11}\): La división de la tierra de Bob

Amy y Carly ofertaron por los terrenos que considerarían acciones justas. A ambos les gusta la playa y los campos pero no los árboles así que sus ofertas son Amy: {B, C} y Carly: {B, C}.

Ya que ni Amy ni Carly quieren pieza A con los árboles, esa pieza irá al divisor Bob.

Tanto Amy como Carly estarían contentos con cualquiera de las piezas restantes. Una forma sencilla de asignar las piezas es tirar una moneda para ver quién obtiene la pieza B con la playa. El otro jugador obtendría la pieza C con los campos.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Método de Separación Solitaria con un Pedazo de Tierra, Separación Más Complicada

Volvamos a ver la tierra en Ejemplo\(\PageIndex{5}\). Esta vez supongamos que las pujas son Amy: {B} y Carly: {B}.

Como tanto Amy como Carly quieren el mismo pedazo de tierra tenemos un enfrentamiento. Ninguna de las mujeres quiere piezas A y C así que dale una de ellas al divisor Bob. Tira una moneda para elegir qué pieza obtiene. Supongamos que el lanzamiento da como resultado que Bob obtenga la pieza A.

Para resolver el enfrentamiento combinamos las piezas B y C para hacer una pieza grande.

Figura\(\PageIndex{12}\): Combinando Piezas B y C

Ahora tenemos un pedazo de tierra para ser dividido en partes iguales entre dos jugadores. Amy y Carly pueden usar el método Divider/Chooser para terminar la división. Tira una moneda para determinar el divisor. Supongamos que Amy es elegida para dividir y dividir la tierra como se muestra en la Figura\(\PageIndex{13}\).

Figura\(\PageIndex{13}\): La división de la pieza de Amy

Supongamos que Carly escoge la pieza E, dejando la pieza D para Amy, para completar la división justa.

Se puede ver en los ejemplos anteriores que a veces el método del divisor solitario es muy sencillo y otras veces puede ser más complicado. Imagina lo complicado que podría llegar a ser el método con 10 jugadores. Independientemente del número de jugadores o de lo complicada que sea la división, queda un hecho. Los electores siempre obtienen al menos una parte justa mientras que el divisor solo obtiene una parte justa exacta. Es mejor ser un selector que el divisor.