8.3: Métodos Continuos 2 - Métodos de Eliminador Solitario y Último Disminutor
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El método Lone Chooser, al igual que el método Lone Divider, es una extensión del método Divider/Chooser. El método Lone Chooser para tres jugadores implica dos divisores y un selector. Se puede extender a N jugadores con divisores N-1 y un selector. Nos centraremos en el método Lone Chooser de tres jugadores en este libro.
The Last Diminisher es un método muy diferente de los métodos Divider/Chooser que discutimos en este libro. En cierto sentido, cada uno es un divisor y cada uno es un selector. El método Last Disminuisher funciona bien cuando muchos jugadores deben dividir un objeto continuo como un pastel o un pedazo de tierra.
Método Selotor Solitario
En el método Lone Chooser para tres jugadores, hay dos divisores y un selector. La idea básica es que los dos divisores utilicen el método Divider/Chooser para dividir el objeto en dos piezas. En este punto cada uno de los divisores cree que tiene al menos la mitad del valor del objeto. A continuación, cada divisor divide su pieza en tres piezas más pequeñas para un total de seis piezas. Luego, el selector recoge una pieza de cada una de las piezas de los divisores dejando a los tres jugadores con dos piezas cada una.
- Escoge aleatoriamente a un jugador para que sea el elegido, C. Los otros dos jugadores son divisores, D1 y D2.
- Los divisores D1 y D2 utilizan el método Divider/Chooser para dividir el objeto en dos piezas.
- Cada uno de los divisores D1 y D2 subdivide su pieza en tres piezas de igual valor. Usa las mismas ideas que usamos en el método Divider/Chooser para determinar el valor de cada pieza.
- El selector asigna un valor a cada una de las seis piezas según su sistema de valores. Luego, el selector escoge la pieza con mayor valor de cada uno de los separadores. Cada uno de los separadores guarda sus otras dos piezas.
Fred, Gloria y Harvey desean dividir un pastel de tres sabores por valor de 36 dólares que es un tercio de chocolate, un tercio de fresa y un tercio de vainilla. A Fred no le gusta el chocolate, pero le gusta igual de bien la fresa y la vainilla. A Gloria le gusta el chocolate el doble que la vainilla y le gusta la fresa tres veces más que la vainilla. A Harvey le gusta igualmente el chocolate y la fresa pero le gusta la vainilla el doble que el chocolate o la fresa Usa el método Selotor Solitario para encontrar una división justa para el pastel.
Primero descubramos cómo valora cada jugador cada una de las piezas del pastel.
Fred ve que la parte de chocolate del pastel tiene un valor de $0 ya que no le gusta el chocolate. Todo el valor del pastel está en las partes de fresa y vainilla. Ya que le gustan igual de bien, la parte de fresa y la parte de vainilla valen ambas $36/2=$18.
Para Gloria, deja x = el valor de la parte vainilla del pastel. Entonces la parte de chocolate vale 2x y la parte de fresa vale 3x.
Para Gloria la parte de vainilla vale $6, la parte de chocolate vale $12 y la parte de chocolate vale $18.
Para Harvey, deja y = el valor de la parte de chocolate del pastel. Entonces el valor de la parte de fresa también es y y el valor de la parte de vainilla es 2y.
Para Harvey las partes de chocolate y fresa valen cada una $9 y la parte de vainilla vale $18.
Supongamos que los jugadores roban cartas para elegir al selector y Henry gana. Entonces Fred y Gloria primero deben hacer el método Divider/Chooser en el pastel. Vuelven a sacar cartas y Fred es elegido como divisor. Necesita dividir el pastel en dos pedazos cada uno por valor de 18 dólares. Hay muchas formas posibles para que Fred corte el pastel. Supongamos que lo corta como se muestra en la figura 8.3.2.
Antes de que Gloria pueda elegir una pieza, debe encontrar el valor de cada una de las piezas de Fred en su sistema de valores.
Gloria debe elegir la pieza de fresa y chocolate ya que tiene el mayor valor para ella.
Ahora Fred y Gloria dividen independientemente sus piezas en tres piezas de igual valor en sus respectivos sistemas de valores. Recuerda que cada sabor de pastel ocupa 120◦. Dado que Fred ve que el chocolate no tiene valor, necesita dividir los 120◦ de vainilla en tres piezas iguales de 40◦, cada una con un valor de $6. Una de las piezas también incluirá el 60◦ de chocolate. La pieza de Gloria vale un total de 24 dólares por lo que necesita dividirla en tres piezas cada una por valor de 8 dólares. Comienza con la parte de Fresa. Corta dos trozos de fresa que tienen un ángulo de 53.3◦. La cantidad restante de fresa es
Combinando la pieza pequeña de fresa con la pieza de chocolate da una pieza más grande con un ángulo de 73.4◦ y un valor de
Las piezas están numeradas por conveniencia.
En este punto, Harvey se une al juego. Asigna un valor a cada pieza de acuerdo a su sistema de valores.
Harvey debería escoger la pieza de cada divisor que considere que tiene el mayor valor. Fred y Gloria guardan cada uno las dos piezas de sus partes que Harvey no escoge. Eso le da a cada uno de los jugadores dos de las seis piezas.
Ahora veamos la división final. Harvey obtiene piezas 3 y 4 por un valor total de 16.00 dólares, más que una parte justa para él. Gloria obtiene piezas 5 y 6 por un valor total de 16 dólares, más que una parte justa para ella. El divisor original Fred obtiene las piezas 1 y 2 por un valor total de 12 dólares, exactamente una parte justa para él.
Método Last Diminisher
El método Last Diminisher se puede utilizar para dividir un objeto continuo entre muchos jugadores. El concepto es bastante sencillo. Un jugador corta una pieza del objeto. Cada uno de los otros jugadores llega a decidir si la pieza es justa o demasiado grande. Cualquier jugador que piense que la pieza es demasiado grande puede cortarla más pequeña (disminuirla). La clave del método es que la última persona en cortar/disminuir una pieza tiene que conservarla.
Resumen del método Last Diminisher
- Los jugadores utilizan un método aleatorio para elegir un orden. Los jugadores continúan en el mismo orden durante todo el juego. Llama a los n jugadores, en orden, P1, P2, P3,..., Pn.
- El jugador 1 corta una pieza que considera una parte justa. En orden, cada uno de los jugadores restantes o bien pasa (dice que la pieza es una parte justa y P1 puede tenerla) o disminuye la pieza. El último jugador en disminuir la pieza se queda con la pieza y abandona el juego. Si nadie disminuye la pieza, P1 se queda con la pieza y deja el juego.
- El jugador con menor número que aún está en el juego corta una pieza del objeto. Cada uno de los jugadores restantes puede pasar o disminuir la pieza. El último jugador en cortar/disminuir la pieza la mantiene y deja el juego.
- Repita el paso tres hasta que sólo queden dos jugadores. Estos jugadores utilizan el método Divider/Chooser para terminar el juego.
Supongamos que seis jugadores quieren dividir un pedazo de tierra usando el método Last Diminisher. Roban cartas para elegir un pedido. Supongamos que los jugadores en orden se denotan P1, P2, P3, P4, P5 y P6.
En la primera ronda, P1 corta una pieza dibujando líneas en un mapa del terreno. Supongamos que los jugadores P2 a P6 pasan la pieza. Dado que P1 es el último jugador en cortar o disminuir la pieza, P1 se queda con la pieza y abandona el juego.
En la segunda ronda, los jugadores P2 a P6 permanecen en el juego. P2 es el jugador numerado más bajo por lo que P2 corta un pedazo de tierra. Supongamos que P3 y P4 pasan sobre la pieza. P5 piensa que la pieza es más que una parte justa por lo que P5 disminuye la pieza redibujando las líneas en el mapa para hacer que la pieza sea más pequeña. Supongamos que P6 pasa. Dado que P5 es el último jugador en disminuir la pieza, P5 se queda con la pieza y abandona el juego.
En la tercera ronda, los jugadores P2, P3, P4 y P6 permanecen en el juego. P2 sigue siendo el jugador con menor número por lo que P2 corta un pedazo de tierra. Esta vez supongamos que P3 disminuye, P4 pasa y P6 disminuye la pieza. P6 se queda con la pieza y deja el juego.
En la cuarta ronda, los jugadores P2, P3 y P4 permanecen en el juego. Una vez más P2 corta una pieza. Supongamos que tanto P3 como P4 pasan la pieza. P2 se queda con la pieza y deja el juego.
Para la quinta ronda, ya que solo quedan P3 y P4, hacen Divider/Chooser en el terreno restante. P3 corta y P4 elige.
Ocho jugadores quieren dividir un pedazo de tierra usando el método Last Diminisher. Dibujan pajitas para determinar un orden. Supongamos que los jugadores en orden están denotados por P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 y P8. P3 y P5 son los únicos decrecientes en la primera ronda. Nadie disminuye en las rondas dos, tres y seis. P8 es el único decreciente en la cuarta ronda. Tanto P4 como P6 disminuyen en la quinta ronda. Describir la división justa ronda por ronda.
Ronda uno: P1 corta una pieza, P2 pasa, P3 disminuye, P4 pasa, P5 disminuye, P6, P7 y P8 pasa. P5 es el último decreciente por lo que P5 mantiene la pieza y deja el juego.
Segunda ronda: P1 corta una pieza y todos los demás pasan así que P1 se queda con la pieza y deja el juego.
Tercera ronda: P2 es ahora el jugador con menor número así que P2 corta una pieza. Todos los demás pasan así P2 se queda con la pieza y deja el juego.
Ronda cuatro: P3 es ahora el jugador con menor número así que P3 corta una pieza. P4, P6 y P7 pasan. P8 disminuye la pieza haciendo que P8 sea el último decreciente por lo que P8 se queda con la pieza y abandona el juego.
Ronda cinco: P3 sigue siendo el jugador con menor número así que P3 corta una pieza. P4 y P6 disminuyen la pieza pero P7 pasa. P6 es el último decreciente por lo que P6 mantiene la pieza y deja el juego.
Ronda seis: P3 vuelve a cortar una pieza y todos los demás pasan, así que P3 se queda con la pieza y deja el juego.
Ronda siete: P4 y P7 son los únicos jugadores que quedan por lo que utilizan el método Divider/Escoger para dividir la tierra restante. P4 divide y P7 elige.