2: La resolución de problemas como proceso
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2.1 ¿Qué es un problema?
Establezcamos esto de inmediato: un problema es un reto intelectual. Resolver un problema es entonces un proceso de emprender y superar el reto.
Como hemos indicado en otra parte, los problemas auténticos suelen estar mal estructurados y vagos. No están cuidadosamente elaborados para dar respuestas de números enteros con unos minutos de manipulación simbólica, como las que normalmente encuentras en la escuela. Los problemas auténticos pueden tardar horas, días o incluso más en resolverse, y es posible que no sepas con confianza que has tenido éxito porque las respuestas no están en la parte posterior del libro. Los problemas no requieren solo la aplicación de un método o algoritmo recién aprendido; de hecho, es posible que no sepas al principio qué métodos son apropiados para resolver el problema. Es posible que no se le proporcione toda la información necesaria para lograr una solución completa, o la información que se le proporcione puede ser incierta o incompleta. En definitiva, los problemas auténticos son duros, y eso puede resultar frustrante.
Muchos profesores y académicos de matemáticas distinguen entre problemas y ejercicios. Un ejercicio te incita a practicar un método que aprendiste recientemente o para el que recientemente estudiaste ejemplos. Los ejercicios suelen tener respuestas que se pueden comparar con una clave de respuestas. Un problema es
más desafiante porque puede haber menos señales para los métodos de solución apropiados y puede que no haya una relación explícita entre estos métodos y la instrucción recibida.
¡Pero espera! ¡No cierres tu libro (o computadora portátil) y aléjate todavía! Habiendo recién explicado las dificultades, considere la otra cara de la moneda de resolución de problemas: los problemas que son auténticos también son inherentemente interesantes, particularmente cuando abordan temas contemporáneos o acertijos en su área de estudio elegida. Por lo tanto, las soluciones y los métodos de solución para tales problemas no son solo un callejón sin salida académica, sino que pueden prestarse a aplicaciones prácticas en el mundo real. Las recompensas de lograr una solución inteligente y bien justificada a un problema práctico e interesante deberían superar con mucho los momentos de incertidumbre, frustración o decepción encontrados en el camino.
La mayoría de los problemas discutidos en este libro están diseñados para imitar problemas auténticos, y en muchos casos son extraídos o inspirados en encuentros con investigadores y practicantes locales. A medida que nos esforzamos por abordar estos problemas, a menudo nos resultará útil explorar problemas de simulación y ejercicios para ayudar con la toma de sentido. Así, nuestro tiempo se dedicará a ir y venir de problemas de enfoque a problemas auxiliares y ejercicios. Siga leyendo hasta el final de este capítulo para comprender cómo este enfoque puede conducir a una resolución de problemas más exitosa.
La resolución de problemas no puede reducirse a una receta simple o a un método rápido y fácil, pero en los últimos 70 años, se ha aprendido mucho sobre cómo la construcción exitosa de soluciones difiere de los intentos fallidos. Un componente clave es el uso de la heurística, o hábitos mentales que son útiles para resolver problemas. La idea moderna de la heurística tiene su origen en la obra del matemático húngaro George Pólya a mediados del\(^{th}\) siglo XX. La heurística nos ayuda a guiarnos en las decisiones sobre cómo abordar un problema. Con la ayuda de la heurística y el beneficio de la experiencia, podemos desarrollar estrategias de resolución de problemas que conduzcan a soluciones exitosas. Comenzaremos nuestro estudio de resolución de problemas con una breve mirada al método de Pólya y algunas de sus heurísticas y luego consideraremos cómo podrían aplicarse a la resolución de problemas en los contextos de ciencias naturales y manejo de recursos naturales.
Una estrategia es una secuencia definida de pasos u operaciones que conducen a una solución.
2.2 El método de Pólya y más allá
Matemático acreditado y académico, Pólya no era ajeno a las luchas de resolver problemas difíciles. Pero también era maestro y se preocupaba por el desarrollo de la habilidad para resolver problemas y la intuición en los estudiantes. Estudió su propio proceso de resolución de problemas y el de sus colegas profesionales y destiló sus observaciones en cuatro principios esenciales. Estos principios son generales es decir, su uso no necesita limitarse a la resolución matemática de problemas. El método se puede resumir de la siguiente manera:
1. Entender el problema. ¿Cuál es la cantidad desconocida o objetivo? ¿Hay suficiente información para encontrar una solución? ¿Cómo es relevante la información que está disponible para la no conocida?
2. Planificar una estrategia de solución. ¿Cómo se puede proceder de la información disponible a lo desconocido? ¿Qué pasos son necesarios y cómo se utilizará la información dada?
3. Ejecutar el plan de solución. Si se elige bien el plan de solución, la implementación del plan debería arrojar el resultado buscado. Si surge una dificultad insuperable, puede ser necesario formular un plan alternativo.
4. Consulta el resultado. ¿El resultado satisface las condiciones señaladas en el problema? ¿Es consistente con las expectativas o dentro de límites razonables? ¿Se puede llegar al mismo resultado usando un enfoque diferente?
Si ayuda tener un mnemotécnico para recordarlos, ¿qué tal la UPEC para Comprender, Planificar, Ejecutar y Verificar?
Estos principios pueden parecer obvios, pero cuando llega el momento de resolver realmente un problema es fácil pasar por alto uno o más de ellos o perder la noción de lo que buscamos. Emplear este método como marco general para abordar la resolución de problemas arrojará un éxito más consistente y resultados más confiables.
Considera las palabras más comunes que salen de la boca de un estudiante universitario típico cuando se enfrenta a un problema novedoso: “No sé por dónde empezar”. Quizás el estudiante realmente quiere decir “aún no me has dicho exactamente qué hacer para obtener la respuesta”. Pero si la instructora apuntara a la estudiante hacia un método de solución cada vez que se enfrentara a un problema desafiante, aprendería solo dos cosas: 1) cómo implementar algoritmos y calcular los resultados numéricos según las instrucciones; y 2) renunciar a todo control de elegir cómo abordar y resolver un problema a alguien más.
\(^{1}\)Si tuviera cinco por cada vez que he escuchado eso...
\(^{2}\)Aunque la memoria de cómo usar algoritmos matemáticos ciertamente se degrada con el tiempo a menos que se use o revise con frecuencia
Lamentablemente, este es de diez el mejor resultado del plan de estudios estándar de matemáticas escolares. El peor resultado es que los estudiantes descartan las matemáticas por aburridas, difíciles o irrelevantes. En algunos casos, un estudiante diligente desarrolla alguna facilidad\(^{2}\) con manipulaciones básicas de símbolos matemáticos y números, pero poca o ninguna capacidad para crear el estado de ánimo y la estructura metodológica necesarias para comenzar y proceder con confianza probando soluciones.
Para el reto de comenzar, el framework de Pólya ofrece Entender. ¿Cuál es el problema realmente preguntando, y qué es exactamente lo que quieres terminar como resultado? Tomemos, por ejemplo, el problema del recuento de faisán que introdujimos en el primer capítulo: qué es Heurístico: Reducir las opciones Utilizar las propiedades conocidas de la cantidad desconocida para identificar estrategias adecuadas al problema.
lo desconocido en ese problema? Esencialmente, la pregunta que planteamos allí era cuántos faisanes deberíamos esperar que vivan en Iowa en los próximos años. De alguna manera, se trata de una reinterpretación específica de la declaración del problema, pero el simple acto de hacer esa reinterpretación no sólo nos ayuda a entender lo que buscamos concretamente, sino que nuestra declaración formal de la misma podría aclarar a colegas o lectores a qué está impulsando nuestra solución.
Dado que el marco de Pólya se desarrolló desde la perspectiva de un matemático, algunas de las preguntas y sugerencias se refieren principalmente a problemas abstractos. El marco no aprovecha el hecho de que la mayoría de nuestros problemas están ubicados en contextos del mundo real
e involucran cantidades cuyas propiedades pueden ser utilizadas como un activo para identificar, construir y evaluar soluciones. Si no tienes exactamente claro lo que quiero decir con eso, adelante y pico en el siguiente capítulo donde discutimos la definición y propiedades de las cantidades.
En la siguiente página, he ampliado y elaborado el marco de Pólya y adaptado algunos de los detalles para la resolución de problemas en ciencias naturales. El marco de Pólya, y nuestra elaboración del mismo para problemas en las ciencias naturales, puede ayudarnos a estar mejor organizados, pero a la hora de aplicar las habilidades cuantitativas que pasamos años desarrollando en clases de matemáticas y estadística, todavía tenemos poca orientación. En Cómo resolverlo de Pólya, este es el punto donde se introdujo la idea y utilidad de la heurística. En la siguiente sección, presentaremos y revisaremos algunas heurísticas genéricas que pueden ayudar a comprender el problema e inspirar un plan de solución.
2.3 Algunas heurísticas versátiles
Las heurísticas que consideramos aquí son solo una instantánea de los métodos genéricos que podríamos emplear en muchos problemas, y algunos de estos se elaboran más a fondo en capítulos posteriores. Estas deben ser algunas de sus herramientas de referencia más frecuentes para las fases iniciales de comprensión y planificación, y pueden interpretarse de manera diferente según las limitaciones o condiciones de cada problema. Al seleccionar estrategias óptimas, el campo de opciones puede reducirse examinando la naturaleza de lo desconocido. Piense en lo desconocido y lo que representa, no solo por el problema de enfoque sino por cualquier subproblema o por cualquier objetivo identificado como necesario para resolver el problema de enfoque. ¿Podría afirmarse el problema en la forma “¿cuánto...?” , “¿cuántos...?” , o “¿es... o no?”. Si es así, el problema podría requerir razonamiento aritmético y/o algebraico. Si los datos están disponibles o suministrados y el problema se puede afirmar en la forma “¿qué relación...?” o “cómo
Heurística: estrechar las opciones Utilizar las propiedades conocidas de la cantidad desconocida para identificar estrategias adecuadas al problema.
1. Entender el problema
¿Entiendes el problema tal y como se dice?
¿Puedes reafirmar el problema con tus propias palabras?
¿Cuál es la cantidad o salida desconocida o deseada (sea específico)? ¿Es un número? ¿Una función? ¿Un trámite?
¿Se puede hacer un dibujo o diagrama para ilustrar cómo lo desconocido se relaciona con cualquier cuanti- vínculo conocido o con el espacio problemático más amplio?
¿Ya sabes aproximadamente cuál debería ser el valor? ¿Se puede adivinar un estadio de béisbol o rango de valores razonables?
¿Qué tan precisa debe ser su solución? ¿Cuáles son las consecuencias de los errores?
¿Qué información ya tienes?
¿La información que ya tienes es suficiente para resolver el problema?
En su caso, ¿se puede escribir el problema como una ecuación algebraica con notación adecuada?
2. Planificar una solución.
Considere múltiples enfoques si es posible
¿Has resuelto con éxito un problema como este antes?
¿Alguien más ha documentado un método de solución a este o a un problema similar?
Si el problema puede escribirse explícitamente como una declaración matemática, ¿reconoce un alguritmo o heurístico que pueda producir lo desconocido deseado?
Si un método de solución es evidente, ¿puede ensamblar todas las cantidades necesarias?
Si el problema no es inmediatamente solucionable, o un método de solución aún no aparente...
¿Se puede romper el problema en subproblemas más pequeños que pueden ser más fáciles de resolver?
¿Se pueden aproximar cantidades inciertas o desconocidas?
¿Podría resolver un problema auxiliar relacionado para obtener información?
Si se dan datos, ¿qué análisis exploratorios se podrían hacer para generar ideas?
3. Ejecutar el plan
En cada paso, verifique si el resultado incremental coincide con las expectativas. Verifique todas las fórmulas y manipulaciones algebraicas.
En su caso, ¿se satisface la homogeneidad unidad/dimensional?
Si encuentra dificultades, vuelva a visitar el plan y las alternativas.
4. Consulta la solución
¿El resultado es razonable?
¿Es consistente con estimaciones o puntos de referencia del estadio de béisbol?
En su caso, ¿puede sustituir el resultado por el problema original y satisfacer los supuestos y condiciones?
Doble comprobación de las manipulaciones algebraicas.
Verifique los cómputos numéricos.
¿Podría documentar su solución completa con un resumen conciso pero completo de pasos, justificación de supuestos y métodos?
¿Podría un colega reproducir su enfoque y encontrar la misma solución?
¿... cambia a medida que varías...?” , probablemente sean apropiados los razonamientos gráficos y estadísticos. Si el problema se puede afirmar en la forma “¿qué tan grande...?” , “¿qué distancia...?” o “¿dónde...?” , entonces podría ser necesario el razonamiento geométrico o espacial. Ciertamente hay problemas que no se expresarán fácilmente en ninguno de estos términos, y entonces todas las opciones deberían permanecer abiertas. Sin embargo, reconocer las propiedades comunes en la naturaleza de los problemas a veces puede reducir sus elecciones de estrategias y hacer que los métodos de solución prometedores o enfoques sean más evidentes.
\(^{3}\)Cada uno de estos tipos de razonamientos y las estrategias específicas de contexto que son particularmente útiles para ellos se revisan en capítulos separados de este libro.
- Romper el problema en subproblemas. Los problemas complejos a menudo requieren múltiples pasos que se pueden dividir en sub-objetivos discretos. Por ejemplo, determinar el valor de una cantidad desconocida que se requiere para resolver el problema de enfoque puede considerarse distinto de resolver el problema de enfoque en sí mismo. Por lo tanto, el mapeo de la solución en términos de sub-objetivos incrementales puede aclarar el camino hacia una solución.
- Expresar condiciones algebraicamente. Asignar símbolos a cantidades relevantes y expresar la relación, si se conoce, como una ecuación que relaciona las cantidades. Si las relaciones no se conocen de antemano, utilice el análisis dimensional para sugerirlas.
- Adivina la respuesta o solución correcta. Por lo general, una estimación de conjeturas o parque de pelota no es suficiente si el problema es realmente un problema, pero las estimaciones aún se pueden usar para ayudarlo a reconocer si está en el camino correcto en cálculos posteriores. Si sabes aproximadamente cuál es la solución o en qué rango debe estar, usa este valor para verificar tu trabajo. Si la solución no se conoce de antemano pero hay restricciones algebraicas o prácticas disponibles en cantidades relacionadas, use esas cantidades para obtener una estimación de estadio de béisbol. En esta etapa, los cálculos de la parte posterior del sobre en notación científica pueden hacer un trabajo rápido de la misma.
- Prueba algunos valores. Donde algunos valores son desconocidos pero no lo son
- la cantidad deseada, tratar de resolver el problema con unos supuestos valores numéricos. A veces el resultado de la relación algebraica- barcos es relativamente insensible al valor preciso de las cantidades incluidas en la relación. Cuando la relación sea fuertemente sensible a cantidades desconocidas o mal restringidas, identifíquelas como metas o subproblemas intermedios importantes.
- Dibuja una imagen o diagrama. Cuando el problema es inherentemente espacial, como en el caso de problemas de hábitat o ecología del paisaje, hacer un mapa o dibujo esquemático de las relaciones geométricas o espaciales entre cantidades conocidas y desconocidas. En la medida en que sea posible, escala distancias o dimensiones espaciales con precisión.
- Enumere todos los casos posibles. Si te enfrentas a un rompecabezas lógico o probabilístico simple, haz una lista o matriz que contenga posibles permutaciones o combinaciones.
- Trabajar hacia atrás. Donde se conoce la condición final deseada o se puede aproximar pero no se conocen los pasos para alcanzarla, use el resultado final para ayudar a “retroceder” los pasos.
- Visualiza los datos. Si se dan datos o valores de entrada y se desea una relación o estadística de resumen, haga una gráfica o diagrama a partir de los datos. En algunos casos, la representación visual de los datos puede sugerir o fundamentar valores aproximados para las incógnitas o puede ilustrar la forma de las relaciones funcionales.
- Resuelve un problema más sencillo. A veces una condición o relación es demasiado compleja para resolverla fácilmente en su forma completa. En estos casos, puede ser posible y útil simplificar la condición para que el problema sea manejable. Esto se puede hacer asumiendo que se conoce un valor desconocido (como en Try algunos valores), eliminando uno o más términos en sumas y diferencias, o usando una declaración más simple de la condición original.
Las heurísticas anteriores no son de ninguna manera una receta para el éxito en cada situación, sino que deberían estar disponibles para ti en tu repertorio de cosas a considerar. En los capítulos que siguen, elaboraremos algunas de estas estrategias y agregaremos herramientas más específicas de contexto que se puedan aplicar en problemas prácticos.
2.4 Dar un paso atrás
Antes de que te pongamos libre en la resolución de problemas, es importante vestir la mentalidad de la resolución de problemas. Si alguna vez has pronunciado las palabras “apesto en las matemáticas” o algo similar, esta sección es particularmente para ti. Pero en lo que a mí respecta, darse cuenta de cómo la mente construye el conocimiento y la comprensión en una tarea de resolución de problemas es una noción empoderadora. Alan Schoenfeld, matemático y especialista en educación matemática, ha identificado cuatro aspectos del proceso mental de resolución de problemas que son esenciales: Recursos, Heurística, Control y Creencia. Cada uno es necesario y la resolución de problemas no puede o no procederá sin ellos. Primero, veamos lo que significa cada uno, y luego consideraremos cómo contribuyen a nuestro éxito en la resolución de problemas.
- Estas son las cosas que conoces o entiendes sobre el dominio problema, las restricciones sobre las cantidades y su representación en el dominio del problema, y las habilidades que posees en la realización de procedimientos algorítmicos.
- Las herramientas de toma de decisiones utilizadas para dar sentido a problemas desafiantes que le permiten avanzar o desarrollar conocimientos. La mayoría de los capítulos de este folleto están dedicados a desarrollar estrategias útiles en ciencias naturales o dominios de gestión de recursos.
- El control es la gestión y autoconciencia del proceso de resolución de problemas. Incluye decisiones de planeación, ejecución y evaluación y selección de recursos y heurísticas para el problema.
- La creencia incluye el conjunto de nociones que uno tiene sobre el dominio del problema, así como las propias habilidades o desafíos en la aplicación de matemáticas y estadísticas al dominio del problema; esto también incluye ideas preconcebidas y (mis) entendimientos que podrían conducir al uso de (in) recursos correctos y heurísticas en un problema dado.
Su educación en matemáticas y estadística hasta este punto casi con certeza ha recalcado recursos. Así, los recursos cuantitativos que traes a un problema consisten en todos los algoritmos y métodos que sabes usar y tu comprensión de lo que hacen o significan. A menos que hayas seguido un plan de estudios a través de la escuela y la universidad que deliberadamente haya hecho uso de estos recursos, probablemente te hayas olvidado, diez de ellos, pero volver a aprenderlos puede no ser tan desafiante como aprenderlos ingenuamente. El control y la creencia se obtienen de la experiencia, y se pueden construir desde cualquier base de recursos y heurísticas. Sin embargo, la heurística y las estrategias en sí mismas pueden ser un problema.
Es posible que te hayan instruido algunos en las estrategias de solución de desarrollo en la escuela, pero hay una distinción importante entre aprender qué usar y aprender cuándo usarlo. Algunas personas pueden argumentar que no es prerrogativa de matemático instruir a los estudiantes en sus cursos de servicio en más que recursos, ya que la heurística varía de una disciplina a otra y el control y la creencia crecen con la experiencia. Este argumento es justo, pero como no matemáticos nos queda entrenamiento en cómo implementar algoritmos, pero poca idea sobre cómo usar esos algoritmos a menos que se presenten problemas que realmente no son problemas sino ejercicios.
En consecuencia, cuando las cosas se ponen duras,... nos quedamos atascados. Ahí es donde entra este curso (ojalá al rescate??). Esta es tu oportunidad de trabajar con recursos que ya tienes a tu disposición, quizás aprender algunos más, y de ser introducido en estrategias para utilizarlos en problemas que podrías encontrar en otros cursos de recursos naturales, en prácticas, o en tu carrera. Al resolver estos problemas de manera sistemática, aprenderá a controlar su proceso de resolución de problemas mientras construye su base de experiencia. ¡Sinceramente espero que tu sistema de creencias evolucione de tal manera que tengas confianza en que también puedes resolver problemas cuantitativos!
Piensa en un problema desafiante que necesitabas ayuda para resolver en uno de tus cursos de secundaria o universidad. Podría ser un problema matemático, pero no tiene que serlo. Describe el problema y reflexiona sobre qué asistencia necesitabas para llegar a una solución. ¿No pudiste empezar? ¿Necesitó ayuda para reconocer e implementar los algoritmos apropiados? ¿Cuál fue la naturaleza de la asistencia que te ayudó a resolver el problema? ¿Fue satisfactorio llegar a la solución correcta?
Ahora reflexiona sobre un problema desafiante que pudiste resolver correctamente sin ayuda. ¿Por qué tuviste éxito? ¿Pudiste superar alguna dificultad o obstáculo en el camino? ¿Fue más o menos satisfactorio resolver este problema por su cuenta que resolver un problema con ayuda? ¿Por qué?
¿Qué recursos crees que necesita una persona para poder hacer buenas predicciones de la población de faisán en los próximos 5 años?