12: Modelado

12.1 ¿Qué es un modelo?

Un modelo es una representación de la realidad que nos permite entender algo mejor. Hay muchos tipos de modelos, incluyendo modelos conceptuales, matemáticos y físicos. Un modelo físico es un objeto físico o conjunto de objetos destinados a representar otra cosa que es demasiado grande, pequeña, compleja o de otra manera inaccesible para la investigación directa. Un modelo conceptual es una colección de relaciones hipotéticas entre diferentes objetos o variables, y generalmente se describe en narrativa. Desde temprana edad aprendemos a construir modelos tanto físicos como conceptuales. Los niños crean modelos conceptuales para ayudarlos a comprender las relaciones de causa y efecto que conducen a resultados deseables o no deseados ('si salto uno o dos pasos, es divertido, pero si salto tres o más pasos me duele las piernas: saltar más lejos duele más'). Cuando mi hijo de escuela primaria construye una nave espacial de Legos, está creando un modelo físico de una nave espacial que ha visto en una película o libro. Estos no son modelos particularmente sofisticados, pero sin embargo son formas de representar algún aspecto de la realidad (o realidad imaginada).

Al igual que con Legos, los modelos matemáticos pueden servir principalmente a un deseo de juego creativo. Al igual que los modelos de Lego, es perfectamente posible crear un modelo matemático que represente mal la realidad, y por lo tanto no es muy útil. Quizás afirmamos haber creado un modelo de automóvil, pero si solo hemos apilado ladrillos rectangulares juntos y no hemos podido agregar ruedas, no es un modelo particularmente bueno o útil de automóvil. Por lo tanto, la construcción y el uso del modelo deben hacerse teniendo en cuenta el contexto problemático más amplio. Los medios deben justificar los fines deseados.

Heurística

Los modelos matemáticos son tan útiles como los modelos conceptuales en los que se basan.

En este libro, nos interesan los modelos matemáticos y conceptuales y las conexiones entre ellos. En última instancia, nuestro objetivo no es necesariamente convertirnos en modeladores matemáticos, sino ser capaces de construir, usar y comprender modelos que puedan ayudar a resolver problemas. En efecto, muchos modelos matemáticos se originan a partir del deseo de cuantificar las relaciones en un modelo conceptual ideado para abordar un problema. Varios enfoques posibles para la cuantificación conducen a un puñado de variedades de modelos matemáticos. Centraremos nuestra discusión en tres tipos distintos pero relacionados de modelos matemáticos que difieren en sus orígenes e implementación. Los dos primeros se fundamentan en la teoría, mientras que el tercero a menudo surge del análisis estadístico de datos.

• Los modelos analíticos generalmente se desarrollan a partir de la teoría basada en principios físicos, químicos o biológicos fundamentales. Una hipótesis de que la altura de un árbol debe escalar con su diámetro del tronco elevado a la potencia 2/3 para mantener la integridad estructural es un modelo de este tipo. Estos modelos suelen ser los más generales y abstractos, y a veces se pueden resolver con papel y lápiz. Sin embargo, pueden volverse irremediablemente complejos e irresolubles cuando se intenta incorporar detalles realistas y contexto. Las idealizaciones necesarias para hacer un modelo analítico resoluble también a veces pueden limitar su utilidad.
• Los modelos numéricos pueden ser creados y motivados de la misma manera que los modelos analíticos, pero emplean técnicas de aproximación matemática que permiten la relajación de las idealizaciones analíticas y la introducción de detalles sin hacer las ecuaciones demasiado difíciles de resolver. Los modelos numéricos se pueden resolver a mano para sistemas muy pequeños, pero se implementan de manera más apropiada en programas informáticos.
• Los modelos empíricos pueden tener componentes analíticos o numéricos, pero contienen parámetros que deben cuantificarse por experimento u observación sistemática. Los datos deben ser incorporados y generalmente analizados estadísticamente para definir los valores de los parámetros. En algunos casos, la regresión se utiliza para restringir las relaciones funcionales entre variables o para identificar el valor de los coeficientes. Por lo tanto, un modelo completamente empírico es impulsado por datos o calibrado por datos.

Ya hemos visto o trabajado con algunos ejemplos de modelos. El modelo de crecimiento poblacional logístico que discutimos brevemente en la Sección 10.1.3 es un modelo teórico que puede implementarse ya sea en forma numérica o analítica. Incluso ese modelo, sin embargo, tiene componentes empíricos, ya que su uso en la resolución práctica de problemas requiere algunas restricciones observacionales sobre r y K. Cuando resolvimos la población total de trucha de arroyo en la Sección 11.2.1, empleamos un modelo empírico conocido como el método Leslie, el cual se basa en un modelo conceptual del cambio en la probabilidad de captura bajo población decreciente.

12.1.1 Ejemplo: La Ecuación Universal de Pérdida de Suelo (USLE)

La ecuación universal de pérdida de suelo (USLE) ampliamente utilizada es un ejemplo de un modelo empírico. La ecuación maestra para USLE es:

\[A = RKLSCP \label{12.1} \]

donde A es la pérdida de suelo (generalmente en toneladas/acre/año), R es un factor de erosividad de lluvia, K es un factor de erosibilidad del suelo, L y S son los factores de longitud y ángulo de pendiente, C es un factor de cobertura del suelo y P es un parámetro que da cuenta de las prácticas o estructuras de conservación del suelo.

Los factores en USLE son cantidades cuyos valores no pueden medirse directamente. En cambio, los valores numéricos se derivan cada uno de una combinación de experimentos de campo cuidadosamente diseñados donde todos los factores menos uno se mantienen constantes. Los valores de los factores se derivan luego de las diferencias medidas en la pérdida de suelo.

El gran valor del USLE y sus familiares es que es lo suficientemente fácil de usar para que los agricultores con poca formación formal en matemáticas o computación puedan obtener fácilmente resultados satisfactorios. La mayoría de los valores de los factores pueden buscarse en tablas o medirse en el suelo o a partir de mapas.

Sin embargo, la facilidad de uso tiene un costo. Debido a que los valores de los factores se derivan de experimentos, son estrictamente válidos solo dentro
del rango de condiciones consideradas dentro de los experimentos. Es decir, si se aplica en entornos donde —por ejemplo— la intensidad de las lluvias es dos veces más grande que la mayor observada en los experimentos, la confiabilidad de los resultados es incierta. Por lo tanto, los modelos completamente empíricos a veces pueden ser poco confiables en condiciones fuera del rango de las condiciones bajo las cuales se determinaron los valores de los factores.

12.1.2 Ejemplo: probabilidad de encuentros entre ciervos y automóviles (Problema 3.3)

Como ya hemos visto, los modelos teóricos simples a veces pueden ser suficientes para explorar una gama de comportamientos del sistema, incluso cuando las relaciones funcionales son inciertas. Estos modelos serán inevitables por limitados en el poder por los supuestos simplificadores o idealizaciones utilizadas, pero cuando el problema científico o de gestión permita una solución con incertidumbre sustancial, este enfoque aún está justificado.

Supongamos que los venados en nuestro condado se distribuyen aleatoriamente en el espacio, y que no tienen ninguna razón particular para evitar o buscar caminos. Llamar a la superficie total del condado A\(_{c}\) y la proporción del área ocupada por las carreteras f, para que el área de carreteras A\(_{r}\) = f A\(_{c}\). Supongamos que hay\(_{0}\) ciervos N en el condado. De ello se deduce que —si los venados se distribuyen aleatoriamente— habrá aproximadamente f N\(_{0}\) venados en la carretera en cualquier momento. ¿Cuál es ese número según los números que producimos anteriormente para Story County, IA? El valor de f se estimó en aproximadamente 0.0076, por lo que si hay digamos 1000 venados en el condado, debemos esperar ya sea 7 u 8 de ellos en la carretera en un momento dado. Eso parece razonable, pero eso no es lo que buscamos. Nos gustaría saber qué tan probables son las colisiones entre
ciervos y automóviles. Entonces tenemos que trabajar en algo sobre el número y la distancia de los viajes en automóvil a través del sistema de carreteras, ¿verdad? Esto se deja como un ejercicio para el alumno, ya que hay muchas formas posibles de abordar esto.

12.2 Tratar con las matemáticas superiores

Se han ideado muchos modelos matemáticos poderosos para explorar y describir fenómenos en la naturaleza. Algunos de los más poderosos son aquellos que permiten predicciones de eventos o patrones no observados o futuros. Estos pueden informar directamente las decisiones de gestión siempre que los gerentes confíen y comprendan sus resultados. Desafortunadamente, muchos de estos poderosos modelos emplean conceptos y métodos matemáticos que van más allá de la típica formación de pregrado en matemáticas. ¿Significa eso que la mayoría de la gente está condenada a no entender ni usar nunca estos modelos? ¡Absolutamente no! No hay ninguna razón inherente por la que los estudiantes necesiten tomar cursos de cálculo, álgebra lineal o ecuaciones diferenciales antes de que puedan comprender la esencia de un modelo construido con esas habilidades. Ciertamente ayuda tener al menos una comprensión conceptual de algunos conceptos clave en el cálculo, pero eso no se traduce en un requisito previo.

12.2.1 Ejemplo: peste de perro de pradera (Problema 3.4)

Dado que este problema trata de hipotéticos eventos futuros, puede que no sea posible obtener la respuesta directamente del trabajo pasado o de la observación. En cambio, podemos construir un modelo simple de la comunidad de perros de la pradera con interacciones aleatorias y probabilísticas entre individuos bien mezclados.

Una forma común de modelar la transmisión de enfermedades es con un modelo compartimental a menudo llamado SIR. Consideramos que los individuos de una población se encuentran en uno de tres (o cuatro) estados: Susceptible (S), Infectado (I) y Removido (R) o Recuperado. Los individuos se mueven del compartimento S al compartimento I por transmisión de la enfermedad. Los individuos infectados en el compartimento I luego se recuperan y se trasladan al compartimento R, o son retirados de la población por muerte o aislamiento. Estas transferencias entre compartimentos a menudo se describen con un sistema de ecuaciones diferenciales:

\(\frac{dS}{dt}\)= − βSi (12.2)

\(\frac{dI}{dt}\)= β SI − γI (12.3)

\(\frac{dR}{dt}\)= γI (12.4)

Estas ecuaciones diferenciales no se resuelven fácilmente en la mayoría de los casos, pero podemos utilizarlas como base para una simulación numérica de la dinámica de la enfermedad si somos capaces de estimar los parámetros β y γ. Una representación numérica de la primera ecuación podría verse así, por ejemplo:

S\(_{t+1}\) = S\(_{t}\) − βS\(_{t}\) I\(_{t}\) (12.5)

I\(_{t+1}\) = I\(_{t}\) + βS\(_{t}\) I\(_{t}\) − γI\(_{t}\) (12.6)

R\(_{t+1}\) = R\(_{t}\) + γI\(_{t}\) (12.7)

Esto dice que en un incremento de tiempo dado, los individuos susceptibles son trasladados del compartimento S al compartimento I (infectado) a una velocidad que es proporcional al producto del número de individuos en cada compartimento y la constante de velocidad de transmisión β. Se puede ver en la primera y segunda ecuaciones anteriores que cuando un número de idividuales infectados de acuerdo con el término β SI se pierde del compartimento S (porque es negativo), se gana (positivo) en el compartimento I. Todos los individuos son contabilizados al entrar o salir del compartimento I. De igual manera, los individuos se mueven del compartimento I al compartimento R a una velocidad regida por la constante de velocidad γ. La selección de estas constantes de tasa gobierna en gran medida el comportamiento del modelo y, por lo tanto, el destino previsto de la colonia de perros de la pradera. Pero implementar opciones de gestión informadas por resultados positivos del modelo es donde surge el mayor desafío.

12.3 Escalado de ley de potencia

Considera esta pregunta aparentemente inocua: ¿son los animales más grandes más pesados que los animales más pequeños?

Tú: Hmmm, bueno, si creo que sí?! Un oso adulto pesa más que una liebre con raquetas de nieve, por ejemplo.

Bien, genial, pero ¿cómo sabríamos si esto es cierto de manera más general? Y ¿a qué nos referimos exactamente con más grande? ¿Eso significa más alto? ¿Mayor volumen? Esto trae a colación algunas cuestiones que cobran importancia cuando hablamos de cantidades reales en lugar de variables abstractas. Definir cantidades sin ambigüedades puede ser un primer paso importante para comunicar información cuantitativa. En la siguiente sección seremos específicos sobre qué información se requiere para definir completamente una cantidad. Por ahora coincidamos en que estamos satisfechos de relacionar la masa de un animal con su volumen. ¿Los animales que ocupan más espacio (es decir, tienen mayor volumen) también pesan más? A lo mejor podamos decirlo de otra manera: ¿el peso o la masa de un animal es proporcional a su tamaño corporal? Podríamos escribir esto en símbolos:

M ∝ V? (12.8)

El símbolo '∝' entre M (masa corporal) y V (volumen) significa “proporcional a”. Entonces esta aún no es una ecuación porque no estamos seguros de que nada sea igual. Y claro que es una tontería que el peso de un animal sea igual a su volumen. Debe haber algún otro parámetro que transforme el volumen de un animal en una masa. Vamos a llamarlo c, y probarlo en una ecuación:

M = cV (12.9)

Pero ¿qué es c? Como dijimos anteriormente, preferiríamos tener algún significado para los símbolos que lanzamos en ecuaciones. Usemos una de nuestras viejas herramientas algebraicas para manipular ecuaciones y “resolver la ecuación para c”. Con eso nos referimos a poner c en un lado de la ecuación por sí mismo. Para llegar ahí, solo necesitamos dividir ambos lados de la ecuación por V, rindiendo:

\(\frac{M}{V}\)= c (12.10)

Ahora recordemos que la definición de densidad es masa por unidad de volumen. ¡Eso es exactamente lo que tenemos en el lado izquierdo de la ecuación! Entonces nuestra ecuación ahora dice que c, el parámetro que usamos para transformar el volumen en masa, ¡es lo mismo que la densidad! Entonces, para un animal individual, el parámetro que relaciona la masa con el volumen es la densidad. Como hemos hecho anteriormente, supongamos que la mayoría de los animales tienen una densidad cercana a la del agua por lo que este parámetro de proporcionalidad c no varía significativamente entre las especies. Entonces, en la medida en que es correcto decir que la densidad corporal de la mayoría de los animales es cercana a la del agua, podemos argumentar que los animales más grandes sí pesan más, en general.

Esto probablemente no sea una revelación muy profunda para ti. Pero con solo unos pequeños saltos más en la lógica, podemos llegar a algún lugar considerablemente más interesante. Durante más de un siglo, los biólogos han estado intrigados por una notable relación entre la tasa metabólica basal y la masa corporal para animales de una amplia gama de tamaños y formas. Sorprendentemente, si uno ensambla un gran conjunto de datos y los traza en una gráfica con una escala logarítmica, ¡ratones, humanos y elefantes y la mayor parte del resto caen a lo largo de una línea recta! Una ecuación que describe esta relación y la línea en la gráfica se ve así:

B = B\(_{0}\) M\(^{b}\) (12.11)

donde B es la tasa metabólica basal, M es masa corporal como antes,\(_{0}\) y B y b son constantes (¡veremos qué significan más adelante!). Esta ecuación es otra ley de poder, y las ecuaciones con esta forma aparecen sorprendentemente a menudo en ecología una vez que comienzas a buscar. Más adelante nos adentraremos más en funciones y leyes de poder. Pero por ahora, se deben hacer algunos puntos importantes:

• El argumento de que debería haber una proporcionalidad entre la masa corporal y la tasa metabólica se concibió originalmente teóricamente sobre la base de que la energía emitida por un animal a su entorno podría depender principalmente de la superficie del animal, mientras que su masa se escala con el volumen.
• Las mediciones de muchos investigadores a lo largo de más de un siglo se han comparado con esta predicción teórica, con diversos grados de éxito. En la mayoría de los casos sin embargo, la relación poder-ley se mantiene.
• Al comparar las predicciones teóricas con datos reales, se pueden descubrir cosas verdaderamente novedosas e interesantes sobre similitudes fisiológicas o diferencias entre diferentes organismos, ideas que quizás nunca hubiéramos desarrollado sin los análisis cuantitativos.

  Analizaremos esto con más detalle un poco más tarde.