3.6: Resumen y lectura adicional

¡Enhorabuena por pasar uno de los capítulos más largos del libro! Pedimos disculpas por la extensión, pero este capítulo tenía mucho trabajo que hacer. A saber, introdujo los “tres grandes” de la teoría de categorías: categorías, funtores y transformaciones naturales, así como discutió adjuntos, límites y corlímites muy brevemente.

Eso es realmente bastante material. Para más información sobre todas estas materias, se puede consultar cualquier libro estándar sobre teoría de categorías, de los cuales hay muchos. La biblia (antigua, importante, seminal, y requiere que un sacerdote la explique) es [Mac98]; otra introducción minuciosa es [Bor94]; se da una perspectiva lógica en [Awo10]; una perspectiva de informática se da en [BW90] y [Pie91] y [Wal92]; los estudiantes de matemáticas probablemente deberían leer [Lei14] o [Rie17] o [Gra18]; a audiencia general podría comenzar con [Spi14a].

Presentamos categorías desde una perspectiva de base de datos, porque los datos son bastante ubicuos en nuestro mundo. Un esquema de base de datos, es decir, un sistema de tablas entrelazadas puede ser capturado por una categoría C, y llenarlo con datos corresponde a un functor C → Conjunto. Aquí Set es la categoría de conjuntos, quizás la categoría más importante para los matemáticos.

La perspectiva del uso de la teoría de categorías para modelar bases de datos ha sido redescubierta en varias ocasiones. Parece haber sido discutido por primera vez por varios autores alrededor de mediados de los 90 [IP94; CD95; PS95; TG96]. Bob Rosebrugh y sus colaboradores lo llevaron mucho más allá en una serie de ponencias entre las que se incluyen [FGR03; JR02; RW92]. La mayoría de estos autores tienden a centrarse en los bocetos, que son categorías más expresivas. Spivak volvió a descubrir la idea un poco más tarde, pero se centró en categorías en lugar de bocetos, para tener los tres funcionadores de migración de datos ∆, σ, π; ver [Spi12; SW15b]. La versión de esta historia presentada en el capítulo, incluyendo los nodos blanco y negro en esquemas, forma parte de una teoría más amplia de bases de datos algebraicas, donde un lenguaje de programación como Java o Haskell se adjunta a una base de datos. Los detalles técnicos se elaboran en [Sch+17], y su uso en proyectos de integración de bases de datos se puede encontrar en [SW15a; Wis+15].

Antes de salir de este capítulo, queremos enfatizar dos cosas: las condiciones de coherencia y las construcciones universales.

Condiciones de coherencia. En las definiciones de categoría, función y transformaciones naturales, tenemos datos (indexados por (i)) que se requieren para satisfacer ciertas propiedades (indexados por (a)). En efecto, para las categorías se trataba de asociatividad y unidad de composición, para los funtores se trataba de respetar la composición y las identidades, y para las trans- formaciones naturales era la condición de naturalidad. Estas condiciones a menudo se llaman condiciones de coherencia: queremos que las diversas estructuras se coaquen, funcionen bien juntas, en lugar de fallar sin apegarse.

Entender por qué estas estructuras particulares y condiciones de coherencia son “las correctas” es más ciencia que matemáticas: observamos empíricamente que ciertas combinaciones dan como resultado ideas que son a la vez ampliamente aplicables y fuertemente compo- sitionales. Es decir, nos conformamos con las condiciones de coherencia cuando resultan en bellas matemáticas en el futuro.

Construcciones universales. Las construcciones universales son uno de los temas más importantes de la teoría de categorías. En términos generales, uno da alguna forma especificada en una categoría y dice “¡encuéntrame la mejor solución!” Y la teoría de categorías vuelve y dice “¿quieres que me aproxime desde la izquierda o la derecha (colimit o limit)?” Respondes, y o hay una mejor solución o no la hay. Si lo hay, se llama el (co) límite; si no lo hay decimos “el (co) límite no existe”.

Incluso la migración de datos se ajusta a esta forma. Decimos “encuéntrame lo más parecido en D que coincida con mi instancia C usando mi functor F: C → D.” De hecho, este enfoque conocido como extensiones Kan, subsume a los demás. Uno de los dos fundadores de la teoría de categorías, Saunders Mac Lane, tiene una sección en su libro [Mac98] llamada “Todos los conceptos son extensiones Kan”, una gran declaración, ¿no?