4.6: Resumen y lectura adicional

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Este capítulo introdujo tres ideas importantes en la teoría de categorías: profuntores, cate- gorificación y categorías monoidales. Hablemos de ellos a su vez.

Los profuntores generalizan las relaciones binarias. En particular, vimos que la idea de pro- funtor sobre un preorden monoidal nos dio el poder adicional necesario para formalizar la idea de una relación de factibilidad entre preordenes de recursos. La idea de una re- lación de factibilidad se debe a Andrea Censi; los llamó problemas monótonos de codiseño. La idea básica se explica en [Cen15], donde también da un lenguaje de programación para especificar y resolver problemas de codiseño. En [Cen17], Censi analiza más a fondo cómo utilizar la estimación para hacer que la resolución de problemas de codiseño sea computacionalmente eficiente.

También vimos profactores sobre el costo de preorden, y cómo pensar en estos como puentes entre el espacio métrico Lawvere. Nos referimos anteriormente a la ponencia de Lawvere [Law73]; allí se puede encontrar mucho más sobre Profunctors de Cost.

Los profunctores, sin embargo, son mucho más generales que los dos ejemplos que hemos despreciado; los profunctores V se pueden definir no solo cuando V es un preorden, sino para cualquier categoría monoidal simétrica. Una deliciosa y detallada exposición de profactores y conceptos relacionados como equipos, acompañantes y conjuntos, bicategorías monoidales simétricas se puede encontrar en [Shu08; Shu10].

No hemos definido bicategorías monoidales simétricas, pero estarías en lo correcto si adivinaras que se trata de una especie de categorización de categorías monoidales simétricas. Baez y Dolan cuentan la sutil historia de categorizar categorías para obtener categorías cada vez más altas en [BD98]. Crane y Yetter dan una serie de ejemplos de categorización en [CY96].

Por último, hablamos de categorías monoidales y categorías cerradas compactas. Las categorías monoidales son un tema clásico, central en la teoría de categorías, y una introducción rápida se puede encontrar en [Mac98]. Los diagramas de cableado juegan un papel muy importante en este libro y en la teoría de categorías aplicadas en general; si bien se utilizan informalmente durante años, estos se formalizaron primero en el caso de categorías monoidales. Puedes encontrar los detalles aquí [JS93; JSV96].

Las categorías cerradas compactas son un tipo especial de categoría monoidal estructurada; hay muchas otras. Para una amplia introducción a los diferentes sabores de la categoría monoidal, detallada a través de sus diversos estilos de diagrama de cableado, ver [Sel10].