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8.1: Soluciones para el Capítulo 1

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    Ejercicio 1.1

    Para cada una de las siguientes propiedades, necesitamos encontrar una función f:\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\) que la conserve, y otra función la llame que no.
    conservación de orden: Tomar f (x) = x + 5; si xy entonces x + 5 ≤ y + 5, así que f es conservadora de orden.

    Tome g (x) := − x; aunque 1 ≤ 2, la desigualdad requerida −1 ≤\(^{?}\) −2 no se mantiene, por lo que g no conserva el orden.

    métrico-preservativo: Tomar f (x) := x + 5; para cualquier x, y tenemos | xy | = | (x + 5) − (y + 5) | por las reglas de la aritmética, entonces | xy | = | f (x) − f (y) |, es decir, f conserva métrica. Toma g (x) := 2 ∗ x; luego con x = 1 e y = 2 tenemos | xy | = 1 pero |2 x − 2 y | = 2, por lo que g no conserva la métrica.

    adicional-conservando: Tomar f (x) := 3 ∗ x; para cualquier x, y tenemos 3 ∗ (x + y) = (3 ∗ x) + (3 ∗ y), así que f conserva adición.

    Tomar g (x) := x + 1; luego con x = 0 e y = 0, tenemos g (x + y) = 1, pero g (x) + g (y) = 2, por lo que g no conserva la adición.

    Ejercicio 1.4

    Aquí está la unión de los dos sistemas:

    Screen Shot 2021-02-02 a las 12.48.35 PM.png

    Ejercicio 1.6

    1. Aquí está el diagrama de Hasse para particiones del conjunto de dos elementos {•, ∗}:

    Screen Shot 2021-02-02 a las 12.49.34 PM.png

    2. Aquí hay una imagen (usando texto, en lugar de círculos) para particiones del conjunto 1, 2, 3, 4:

    Screen Shot 2021-02-02 a las 12.55.29 PM.png

    Para las partes restantes, elegimos A = (12) (3) (4) y B = (13) (2) (4).

    3. A\(\land\) B = (123) (4).

    4. Sí, es cierto que A ≤ (A\(\lor\) B) y que B ≤ (A\(\lor\) B).

    5. Los sistemas C con AC y BC son: (123) (4) y (1234).

    6.Sí, es cierto que en cada caso (A\(\lor\) B) ≤ C.

    Ejercicio 1.7

    1. verdadero\(\lor\) falso = verdadero.
    2. falso\(\lor\) verdadero = verdadero.
    3. verdadero\(\lor\) verdadero = verdadero.
    4. falso\(\lor\) falso = falso.

    Ejercicio 1.10

    1. Esto es cierto: un número natural es exactamente un entero que es al menos 0.

    2. Esto es falso: 0\(\in\)\(\mathbb{N}\) pero 0\(\not \in\) {n\(\in\)\(\mathbb{Z}\) | n ≥ 1}.

    3. Esto es cierto: no hay elementos de\(\mathbb{Z}\) estrictamente entre 1 y 2.

    Ejercicio 1.11

    1. Los ocho subconjuntos de B := {1, 2, 3} son

    Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.

    2. La unión de {1, 2, 3} y {1} es {1, 2, 3}\(\bigcup\) {1} = {1,2,3}.

    3. Los seis elementos de {h, 1} × {1, 2, 3} son

    (h, 1), (h, 2), (h, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3).

    4. Los cinco elementos de {h, 1} {1, 2, 3} son

    (h, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2).

    5. Los cuatro elementos de {h, 1}\(\bigcup\) {1, 2, 3} son

    h, 1, 2, 3.

    Ejercicio 1.16

    Supongamos que A es un conjunto y {A\(_{p}\)}\(_{p \in P}\) y {A\(_{p'}\)}\(_{p' \in P'}\) son dos particiones de A tal manera que por cada \(\in\)p P existe un p\(\in\) P ′ con A\(_{p}\) = A \(_{p'}\).

    1. Dado p\(\in\) P, supongamos que teníamos p\(_{1}\), p\(_{2}\)\(\in\) P ′tal que A\(_{p}\) = A\(_{p'_{1}}\) y A\(_{p}\) = A′\(_{p'_{2}}\). Bueno entonces A\(_{p'_{1}}\) = A\(_{p'_{2}}\), entonces en particular A\(_{p'_{1}}\) A\(_{p'_{2}}\) = A =\(_{p'_{1}}\) A. Por la definición de partición (1.14), A\(_{p'_{1}}\)\(\neq\) Ø, y sin embargo si \(_{1}\)\(\neq\)p p\(_{2}\) entonces \(_{p'_{1}}\)A A\(_{p'_{2}}\) = Ø. Esto no puede ser, así que debemos tener p\(_{1}\) = p\(_{2}\), como se desee.

    2. Supongamos dado \(\in\)p ′ P ′; queremos mostrar que hay un p\(\in\) P tal que A\(_{p}\) = A′\(_{p'}\).

    Dado que A\(_{p'}\)\(\neq\) Ø no está vacío por definición, podemos escoger algunos a \(\in\)A\(_{p'}\); desde \(_{p'}\)\(\subseteq\)A ′ A, tenemos \(\in\)una A.

    Por último, desde A =\(\bigcup_{p \in P} A_{p}\), hay alguna p con \(\in\)una\(_{p}\) A.

    Este es nuestro candidato p; ahora demostramos que A\(_{p}\) = A\(_{p'}\).

    Por supuesto hay algo de p ′′\(\in\) P ′ con A\(_{p}\) = A\(_{p'}\), por lo que ahora \(\in\)un A′\(_{p''}\) y \(\in\)un A′\(_{p' '}\), entonces a \(\in\)\(_{p'}\)AA\(_{p''}\). Nuevamente por definición, tener una intersección no vacía significa p ′ = p ′′. Por lo que concluimos que A\(_{p}\) = A\(_{p'}\).

    Ejercicio 1.17

    Los pares (a, b) tales que ab son:

    (11, 11) (21, 21) (12, 11) (12, 12) (13, 13)

    (21, 21) (22, 22) (12, 23) (23, 22) (23, 23)

    Ejercicio 1.20

    1. Un aspecto en la definición de las partes es que están conectadas, y un aspecto de eso es que no están vacías. Entonces cada parte A no\(_{p}\) está vacía.

    2. Supongamos que p\(\neq\) q, es decir, A p y A q no son exactamente el mismo conjunto. Para probar A\(_{p}\) A\(_{q}\) = Ø, suponemos lo contrario y derivamos una contradicción.

    Entonces supongamos que existe \(\in\)una\(_{p}\) A A\(_{q}\); mostraremos que A\(_{p}\) = A\(_{q}\), lo que contradice una hipótesis anterior. Para demostrar que estos dos subconjuntos son iguales, basta con mostrar que un\(\in\) A\(_{p}\) iff a ′ \(\in\)A\(_{q}\) para todos a ′\(\in\) A.

    Supongamos \(\in\)un ′ A\(_{p}\); entonces porque A\(_{p}\) está conectado, tenemos un ∼ a ′. Y debido a\(_{q}\) que A está cerrada,\(\in\) a\(_{q}\) A.

    En el camino, si un\(\in\) A\(_{q}\) entonces porque A\(_{q}\) está conectado y A\(_{p}\) está cerrado, un\(\in\) A\(_{p}\), y ya terminamos.

    3. Para mostrar que A =\(\bigcup_{p \in P} A_{p}\), basta con mostrar que para cada una\(\in\) A, hay algo de pP tal que a ∈ A\(_{p}\).

    Dijimos que P era el conjunto de subconjuntos cerrados y conectados de A, por lo que basta con mostrar que hay algún subconjunto cerrado y conectado que contiene a.

    Dejar X: = {a\(\in\) A | a ′ ∼ a}; afirmamos que está cerrado y conectado y contiene a. Para ver X está cerrado, supongamos a\(\in\) X y ba ′; luego ba por transitividad y simetría de ∼, así que b\(\in\) X. Para ver que X está conectado, supongamos b, c\(\in\) X; luego ba y ca así que bc por la transitividad y simetría de ∼. Finalmente, una\(\in\) X por la reflexividad de ∼.

    Ejercicio 1.24

    1. La función única Ø → {1} es inyectora pero no suryectiva.

    2. La función única {a, b} → {1} es suryectiva pero no inyectiva.

    3. Estas segunda y tercera no son funciones; la primera y la cuarta son funciones.

    Screen Shot 2021-02-02 a las 2.09.58 PM.png

    4. Ni el segundo ni el tercero es 'total'. Además, el segundo no es determinista. La primera es una función que no es inyectiva y no suryectiva. La cuarta es una función que es a la vez inyectiva y suryectiva.

    Ejercicio 1.25

    Por Definición 1.22, una función f: A → Ø es un subconjunto F\(\subseteq\) A × Ø tal que para todos a \(\in\)A, existe un único b\(\in\) Ø con (a, b)\(\in\) F .

    Pero no hay elementos b\(\in\)\(^{?}\) Ø, así que si F va a tener la propiedad anterior, tampoco puede haber a \(\in\)A; es decir, A debe estar vacía.

    Ejercicio 1.27

    Debajo de cada partición, dibujamos una subyección correspondiente de {•, ∗, ◦}:

    Screen Shot 2021-02-02 en 2.17.04 PM.png

    Ejercicio 1.38

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.29.13 PM.png

    Ejercicio 1.40

    El gráfico G del Ejercicio 1.38 es un extraño diagrama de Hasse porque tiene dos flechas 1 → 3 y un bucle, ambas de las cuales son “inútiles” desde un punto de vista de preorden. Pero eso no impide que nuestra fórmula funcione. El preorden (P, ≤) se da tomando P: = V = {1, 2, 3, 4} y escribiendo pq siempre que exista una ruta de p a q. Entonces:

    1 ≤ 1, 1 ≤ 2, 1 ≤ 3, 2 ≤ 2, 2 ≤ 3, 3 ≤ 3, 4 ≤ 4

    Ejercicio 1.41

    Una colección de puntos, por ejemplo • • • es un diagrama de Hasse, es decir, para el orden discreto, es decir, para el orden donde x ≤ y iff x = y.

    Ejercicio 1.42

    Escribamos los cinco elementos de X como

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.34.22 PM.png

    Nuestro trabajo es anotar todos los 12 pares de x\(_{1}\), x\(_{2}\)\(\in\) X con x\(_{1}\)x\(_{2}\). Aquí están:

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.34.44 PM.png

    Ejercicio 1.44

    El enunciado en el texto es casi correcto. Es correcto decir que un preorden discreto es aquel en el que x e y son comparables si y solo si x = y.

    Ejercicio 1.46

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.37.53 PM.png

    No, no es un pedido total; por ejemplo 4\(\nleq\) 6 y 6\(\nleq\) 4.

    Ejercicio 1.48

    Sí, el pedido ≤ habitual es un pedido total en\(\mathbb{R}\): por cada a, b\(\in\)\(\mathbb{R}\) ya sea ab o ba.

    Ejercicio 1.51

    Los diagramas de Hasse para P (Ø), P {1} y P {1, 2} son

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.44.26 PM.png

    Ejercicio 1.53

    ¡La partición más basta en S corresponde a la función única! : S → {1}. La partición más fina en S corresponde a la función de identidad id\(_{S}\): S → S.

    Ejercicio 1.55

    Si X tiene el preorden discreto, entonces cada subconjunto U de X es un conjunto superior: de hecho, si p\(\in\) U, el único q tal que pq es p en sí mismo, así q está definitivamente en ¡U! Esto significa que U (X) contiene todos los subconjuntos de X, por lo que es exactamente el conjunto de potencia, U (X) = P (X).

    Ejercicio 1.57

    El pedido por adelantado del producto y su preorden del juego superior son:

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.49.16 PM.png

    Ejercicio 1.63

    Con X = {0, 1, 2}, el diagrama de Hasse para P (X), el preorden 0 ≤ · · · ≤ 3, y el mapa de cardinalidad entre ellos se muestran a continuación:

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.50.06 PM.png

    Ejercicio 1.65

    Screen Shot 2021-02-03 a las 12.50.54 PM.png

    Ejercicio 1.66

    1. Dejar q\(\in\)p, y supongamos qq ′. Desde q\(\in\)p, tenemos pq. Así por transitividad pq ′, así q\(\in\)p. Así ↑ p es un conjunto superior.
    2. Supongamos pq en P; esto significa que q\(^{op}\) p en\(^{op}\) P. Debemos demostrar que ↑ q\(\subseteq\)p. Tome cualquier q\(\in\)q. Entonces qq ′, así por transivitiy pq ′, y por lo tanto q\(\in\)p. Así ↑ q\(\subseteq\)p.
    3. Monotonicidad de ↑ dice que pp ′ implica ↑ (p ′)\(\subseteq\) ↑ (p). Debemos probar la otra dirección, que si p\(\nleq\) p ′ entonces ↑ (p ′)\(\subseteq\) ↑ (p). Esto es sencillo, ya que por reflexividad siempre tenemos p\(\in\) ↑ (p ′), pero si p\(\nleq\) p ′, entonces p\(\not \in\) ↑ (p), entonces ↑ (p ′)\(\not \subseteq\) ↑ (p).
    4. El mapa ↑: P\(^{op}\) → U (P) se puede representar:

    Screen Shot 2021-02-03 al 1.06.55 PM.png

    Ejercicio 1.67

    Supongamos que (P, ≤\(_{P}\)) es un preorden discreto y que (Q, ≤\(_{Q}\)) es cualquier preorden.

    Queremos mostrar que cada función f: PQ es monótona, es decir, que si p\(_{1}\)\(_{P}\) p\(_{2}\) entonces f (p\(_{1}\)) ≤ Q f (p\(_{2}\)).

    Pero en P tenemos p\(_{1}\)\(_{P}\) p\(_{2}\) iff p\(_{1}\) = p\(_{2}\); eso es lo que significa discreto.

    Si p\(_{1}\)\(_{P}\) p\(_{2}\) entonces p\(_{1}\) = p\(_{2}\), entonces f (p\(_{1}\)) = f (p\(_{2}\)), entonces f (p\(_{1}\)) ≤ f ( p\(_{2}\)).

    Ejercicio 1.69

    Sea X =\(\mathbb{Z}\) = {..., −2, −1, 0, 1,...} sea el conjunto de todos los enteros, y que Y = {n, z, p}; let f: XY envíe números negativos a n, cero a z y enteros positivos a p. Esto es surytivo porque los tres elementos de Y son golpeados.

    Consideramos dos particiones de Y, a saber P: = (nz) (p) y Q: = (np) (z). Técnicamente, se trata de notación para\(\{\{n, z\},\{p\}\}\) y\(\{\{n, p\},\{z\}\}\) como conjuntos de subconjuntos disjuntos cuya unión es Y. Sus particiones retraídas son\(f^{*}\) P =(..., -2, -1, 0) (1, 2,...) y\( f^{*}Q\) = (0) (..., -2, -1,1,2,...), o técnicamente
    \(f^{*}(P)\) =\(\{\{x \in \mathbb{Z} \mid x \leq 0\}\),\(\{x \in \mathbb{Z} \mid x \geq 1\}\}\) y \(f^{*}(Q)\)=\(\{\{0\},\{x \in \mathbb{Z} \mid x \neq 0\}\}\).

    Ejercicio 1.71

    Tenemos preordenes (P, ≤\(_{P}\)), (Q, ≤\(_{Q}\)) y (R, ≤\(_{R}\)), y tenemos mapas monótonos f: PQ y g: QR.

    1. Para ver que id\(_{P}\) es monótona, necesitamos mostrar que si p\(_{1}\)\(_{P}\) p\(_{2}\) entonces id\(_{P}\) (p\(_{1}\)) ≤ id\(_{P}\) (p\(_{2}\)). Pero id\(_{P}\) (p) = p para todos p\(\in\) P, así que esto es claro.

    2. Tenemos que p\(_{1}\)\(_{P}\) p\(_{2}\) implica f (p\(_{1}\)) ≤\(_{Q}\) f (p\(_{2}\)) y que q\(_{1}\)\(_{Q}\) q\(_{2}\) implica g (q \(_{1}\)) ≤\(_{R}\) g (q\(_{2}\)).

    Por sustitución, p\(_{1}\)\(_{P}\) p\(_{2}\) implica g (f (p 1)) ≤\(_{R}\) g (f (p 2)) que es exactamente lo que se requiere para que (f; g) sea monótona.

    Ejercicio 1.73

    Necesitamos demostrar que si (P, ≤\(_{P}\)) es tanto esquelético como daga, entonces es discreto. Entonces supongamos que es esquelético, es decir p\(_{1}\)p\(_{2}\) y p\(_{2}\)p\(_{1}\) implica p\(_{1}\) =\(_{2}\) p. Y supongamos que es daga, es decir p\(_{1}\)p\(_{2}\) implica p\(_{2}\)\(_{1}\) p. Bueno entonces p\(_{1}\)p\(_{2}\) implica p\(_{1}\) = p\(_{2}\), y esta es exactamente la definición de P siendo discreto.

    Ejercicio 1.77

    El mapa Φ de la Sección 1.1.1 tomó particiones de {•, ∗, ◦} y devolvió verdadero o falso en función de si • estaba o no en la misma partición que ∗. Necesitamos ver que en realidad es un mapa monótona Φ: Prt ({•, ∗, ◦}) →\(\mathbb{B}\). Entonces supongamos que P, Q son particiones con PQ; necesitamos mostrar que si Φ (P) = true entonces Φ (Q) = true. Por definición PQ significa que P es más fino que Q: es decir, P diferencia más cosas, y Q agrupa más cosas juntas. Técnicamente, xP y implica xQ y para todos x, y\(\in\) {•, ∗, ◦}. Aplicando esto a •, ∗ da el resultado.

    Ejercicio 1.79

    Dada una función f: PQ, tenemos f\(^{∗}\): U (Q) → U (P) dada por U\(\longmapsto\) f\(^{−1}\) (U). Pero los conjuntos superiores en Q se clasifican por mapas monótonos u: Q\(\mathbb{B}\), y de manera similar para P; nuestro trabajo es demostrar que f\(^{∗}\) (U) se da componiendo el clasificador u con f. Dado un conjunto superior U\(\subseteq\) Q, deja que u: Q\(\mathbb{B}\) sea el mapa monótona correspondiente, que envía q\(\longmapsto\) true iff q\(\in\) U.

    Entonces (f; u): P\(\mathbb{B}\) envía p\(\longmapsto\) true iff f (p)\(\in\) U; corresponde al conjunto superior {p\(\in\) P | f (p)\(\in\) U} que es exactamente f\(^{−1}\) (U).

    Ejercicio 1.80

    1. 0 es un límite inferior para\(S=\left\{\frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N}\right\}\) porque 0 ≤\(\frac{1}{n+1}\) para cualquier n\(\in\)\(\mathbb{N}\).

    2. Supongamos que b es un límite inferior para S; queremos ver que b ≤ 0. Si uno cree al contrario que 0 < b, entonces considere 1/ b; es un número real para que podamos encontrar un número natural n que sea mayor 1/ b < n < n + 1. Esto implica 1 < b (n + 1) y por lo tanto\(\frac{1}{n+1}\) < b, pero eso es una contradicción de que b es un límite inferior para S. ¡El falso creyente es derrotado!

    Ejercicio 1.85

    Tenemos un preorden (P, ≤), un elemento p\(\in\) P, y un subconjunto A = {p} con un elemento.

    1. Para ver que\(\bigwedge\) A\(\cong\) p, necesitamos mostrar que p ≤ a para todos a \(\in\)A y que si q ≤ a para todos a \(\in\)A entonces q ≤ p . Pero la única a\(\in\) A es a = p, así que ambas son obvias.
    2. Sabemos que p es un encuentro de A, así que si q es también un encuentro de A entonces q ≤ a para todos a \(\in\)A así qp; similarmente pa para todos a\(\in\) A, entonces pq. Entonces por definición tenemos p\(\cong\) q, y ya que (P, ≤) es un orden parcial, p = q.
    3. Los hechos análogos son ciertos cuando\(\bigwedge\) se sustituye por\(\bigvee\); el único cambio en el argumento es reemplazar ≤ por ≥ y 'reunirse' por 'unirse' en todas partes.

    Ejercicio 1.90

    El encuentro de 4 y 6 es el número más alto en el orden que divide a ambos; los números que dividen a ambos son 1 y 2, y 2 es mayor, por lo que 4\(\land\) 6 = 2. Razonamiento similar muestra que 4\(\lor\) 6 = 12.

    El encuentro es el 'mayor divisor común' y la unión es el 'múltiplo menos común', y esto aguanta para todos los pares m, n\(\in\)\(\mathbb{N}\) no solo 4, 6.

    Ejercicio 1.94

    Dado que f es monótona, los hechos que a ≤ a\(\lor\) b y b ≤ a\(\lor\) b implican que f (a) ≤ f (a\(\lor\) b) y f b) ≤ f (a\(\lor\) b). Pero por definición de unión, f (a)\(\lor\) f (b) es el elemento más grande con esa propiedad, por lo que f (a)\(\lor\) f (b) ≤ f (a\(\lor\) b), como deseado.

    Ejercicio 1.98

    Por analogía con el Ejemplo 1.97, el derecho adjunto para (3 × −) debe ser −/3. Pero para probar que esto es correcto, debemos demostrar que para cualquier r\(\in\)\(\mathbb{R}\) y z\(\in\)\(\mathbb{Z}\) tenemos zr /3 iff 3 ∗ zr. Supongamos que el entero más grande por debajo de r /3 es z ′: = r /3. Entonces zz ′ implica 3∗ z ≤ 3∗ z ′ ≤ 3∗ r /3 = r, dando una dirección. Para el otro, supongamos 3 ∗ zr. Luego dividiendo ambos lados por 3, tenemos z = 3 ∗ z /3 ≤ r /3. Dado que z es un entero por debajo de r /3 está por debajo de r /3 porque r /3 es el mayor entero por debajo de r /3, y ya terminamos.

    Ejercicio 1.99

    1. Necesitamos verificar que para los nueve pares {(p, q) | 1 ≤ p ≤ 3 y 1 ≤ q ≤ 3} tenemos f (p) ≤ q iff pg (q), donde f y g son las funciones se muestra aquí:

    Screen Shot 2021-02-03 en 2.33.39 PM.png

    Cuando p = q = 1 tenemos f (p) = 1 y g (q) = 2, así que tanto f (p) = 1 ≤ 1 = q y p = 1 ≤ g (q); ¡funciona! El mismo tipo de historia ocurre cuando (p, q) es (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3) y (3, 3). Una historia diferente sucede para p = 3, q = 1 y p = 3, q = 2. En esos casos f (p) = 3 y g (q) = 2, y ninguna desigualdad se mantiene: f (p)\(\nleq\) q y p\(\nleq\) g (q). Pero eso está bien, todavía tenemos f (p) ≤ q iff pg (q) en los nueve casos, según se desee.

    2.

    Screen Shot 2021-02-03 en 2.34.37 PM.png

    Aquí f no se deja unido a g porque f (2)\(\nleq\) 1 sino 2 ≤ g (1).

    Ejercicio 1.101

    1. Supongamos que tenemos un mapa monótono L:\(\mathbb{Z}\)\(\mathbb{R}\) que se deja colindante a −/3y veamos qué pasa. Escribiendo C (r) :=r /3, entonces para todos z\(\in\)\(\mathbb{Z}\) y r\(\in\)\(\mathbb{R}\) tenemos L (z) ≤ r iff zC (r) por definición de amonestación. Así que toma z = 1 y r = .01; luego r /3 = 1 entonces zC (r), y por lo tanto L (z) ≤ r, es decir L (1) ≤ 0.01. De la misma manera L (1) ≤ r para todos r > 0, entonces L (1) ≤ 0. Por definición de amontonamiento 1 ≤ C (0) = 0/3= 0, una contradicción.
    2. No hay izquierda colindante, porque a partir de una arbitraria, derivamos una contradicción.

    Ejercicio 1.103

    Tenemos S = {1, 2, 3, 4}, T = {12, 3, 4}, y g: ST la función “obvia” entre ellas; ver Ejemplo 1.102. Tome c\(_{1}\), c\(_{2}\), c\(_{3}\), c\(_{4}\) como las siguientes particiones:

    Screen Shot 2021-02-03 en 2.51.43 PM.png

    Entonces las particiones inducidas g! (c\(_{1}\)), g! (c\(_{2}\)), g! (c\(_{3}\)), y g! c\(_{4}\)) en T son:

    Screen Shot 2021-02-03 en 2.52.11 PM.png

    Ejercicio 1.106

    1. Elegimos la siguiente partición c en S y calculamos su push forward g! c):

    Screen Shot 2021-02-03 at 7.05.09 PM.png

    2. Que d sea la partición como se muestra, que se eligió para ser más tosca que g! c).

    Screen Shot 2021-02-03 a las 7.06.20 PM.png

    3. Que e sea la partición como se muestra, que se eligió para no ser más tosca que g! c).

    Screen Shot 2021-02-03 at 7.06.25 PM.png

    4. Aquí están\(g^{∗}(d)\) y\(g^{∗}(e)\):

    Screen Shot 2021-02-03 at 7.06.29 PM.png

    5. Comparando c, la partición izquierda en la parte 1., con\(g^{∗}(d)\) y\(g^{∗}(e)\), efectivamente tenemos c\(g^{∗}(d)\) pero c\(\nleq\)\(g^{∗}(e)\)), según se desee.

    Ejercicio 1.109

    Supongamos que P y Q son preórdenes, y que\(f: P \leftrightarrows Q: g\) son mapas monótonos.

    1. Supongamos que f se deja junto a g. Por definición esto significa f (p) ≤ q iff pg (q), para todos p\(\in\) P y q\(\in\) Q. Entonces comenzando con el hecho de reflexividad g (q) ≤ g (q), la definición con p: = g (q) da f (g (q)) ≤ q para todos q.
    2. Supongamos que pg (f (p)) y f (g (q)) ≤ q para todos p\(\in\) P y q\(\in\) Q. Primero queremos mostrar que pg (q) implica f (p) ≤ q, así que supongamos pg (q). Luego aplicando el mapa monótona f a ambos lados, tenemos f (p) ≤ f (g (q)), y luego por transitividad f (g (q)) ≤ q implica f (p) ≤ q, según se desee. La otra dirección es similar.

    Ejercicio 1.110

    1. Supongamos que f: PQ tiene dos anexos derechos, g, g ′: QP. Queremos mostrar que g (q)\(\cong\) g ′ (q) para todos q\(\in\) Q. Demostraremos g (q) ≤ g ′ (q); la desigualdad g ′ (q) ≤ g (q) es similar. Para ello, utilizamos el hecho de que pg ′ (f (p)) y f (g (q)) ≤ q para todos p, q por Eq. (1.108). Entonces el truco es razonar de la siguiente manera:

      g (q) ≤ g ′ (f (g (q))) ≤ g ′ (q).

    2. Es lo mismo para los colindantes izquierdos.

    Ejercicio 1.112

    Supongamos que f: PQ se deja unido a g: QP. Sea A\(\subseteq\) P cualquier subconjunto y que j: =\(\bigvee\) A sea su unión.

    Entonces como f es monótona f (a) ≤ f (j) para todos a \(\in\)A, entonces f (j) es un límite superior para el conjunto f (A). Queremos mostrar que es el límite inferior superior, así que toma cualquier otro límite superior b para f (A), es decir, tenemos f (a) ≤ b para todos \(\in\)a A. Entonces por definición de amontonamiento, también tenemos ag (b) para todos \(\in\)a A. Por definición de unión, tenemos jg (b). Nuevamente por definición de amontonamiento f (j) ≤ b, según se desee.

    Ejercicio 1.114

    Queremos mostrar que en la siguiente imagen, g es realmente justo colindante a f:

    Screen Shot 2021-02-03 a las 8.13.37 PM.png

    Aquí g conserva etiquetas y f redondea 3.9 a 4.
    Hay doce cosas diminutas para verificar: por cada \(\in\)p P y \(\in\)q Q, necesitamos ver que f (p) ≤ q iff pg (q).

    Screen Shot 2021-02-03 a las 8.14.37 PM.png

    Ejercicio 1.118

    Considere la función que se muestra a continuación, que “proyecta directamente hacia abajo”:

    Screen Shot 2021-02-03 a las 8.15.17 PM.png

    1. Sea B\(_{1}\) := {a, b} y B\(_{2}\) := {c} .Entonces f\(^{∗}\) (B\(_{1}\)) = {a\(_{1}\)} y f\(^{∗}\) (B\(_{2}\)) = {c\(_{1}\), c\(_{2}\)}.

    2. Dejar A\(_{1}\) := Ø y A\(_{1}\) := {a\(_{1}\), c\(_{1}\)}. Entonces f\(_{!}\) (A\(_{1}\)) := Ø y f\(_{!}\) (A\(_{2}\)) = {a, c}.

    3. Con los mismos A\(_{1}\) y A\(_{2}\), calculamos f\(^{∗}\) (A\(_{1}\)) = {b} y f\(^{∗}\) (A\(_{2}\)) = {a, b}.

    Ejercicio 1.119

    Supongamos que f: PQ se deja unido a g: QP.

    1. Es parte de la definición de amonestación (Proposición1.107) que pg (f (p)), y por supuesto g (f (p)) y (f; g) (p) significan lo mismo.
    2. Queremos mostrar que g (f (g (f (p)))) ≤ g (f (p)) y g (f (p)) ≤ g (f (g (f (p))) para todos p. Este último es solo el hecho de que p ′ ≤ g (f (p ′)) para cualquier p ′, aplicado con g (f (p)) en lugar de p′. El primero usa que f (g (q)) ≤ q, con f (p) sustituido por q: esto da f (g (f (p))) ≤ f (p), y luego aplicamos g a ambos lados.

    Ejercicio 1.124

    Denotamos tuplas (a, b) por ab por razones espaciales. Entonces la relación {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} se denotará {11, 12, 21}.

    Screen Shot 2021-02-03 a las 8.37.32 PM.png

    Ejercicio 1.125

    Vamos S: = {1, 2, 3}.

    1. Dejar ≤ ser el preorden con 1 ≤ 2, y por supuesto 1 ≤ 1, 2 ≤ 2, y 3 ≤ 3. Entonces U (≤) = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)}.

    1. Sea Q: = {(1,1)} y Q ′: = {(2,1)}.
    2. El cierre Cl (Q) de Q es el preorden más pequeño que contiene (1,1), que es Cl (Q) = {(1,1), (2,2), (3,3)}.

      De igual manera, Cl (Q ′) = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}. Es fácil ver que Cl (Q)\(\sqsubseteq\)\) ≤ porque cada par ordenado en Cl (Q) también está en ≤.

    3. Es fácil ver que Cl (Q ′)\(\not \sqsubseteq\) ≤ porque el par ordenado (2,1) está en Cl (Q ′) pero no está en ≤.

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