2.3: División de Números Enteros

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Objetivos de aprendizaje

ser capaz de dividir un número entero por un divisor de uno o varios dígitos
ser capaz de interpretar una declaración de calculadora de que una división da como resultado un resto

División con un Divisor de Dígito Único

Nuestra experiencia con la multiplicación de números enteros nos permite realizar tales divisiones como$75 \div 5$. Realizamos la división realizando la multiplicación correspondiente,$5 \times Q = 75$. Cada división que consideramos en [link] tenía un cociente de un dígito. Ahora consideraremos divisiones en las que el cociente puede constar de dos o más dígitos. Por ejemplo,$75 \div 5$.

Examinemos la división$75 \div 5$. Se nos pide determinar cuántos 5's están contenidos en 75. Abordaremos el problema de la siguiente manera.

Hacer una conjetura educada basada en la experiencia con la multiplicación.
Encuentra qué tan cerca está la estimación multiplicando la estimación por 5.
Si el producto obtenido en el paso 2 es menor a 75, averigua cuánto menos restándolo de 75.
Si el producto obtenido en el paso 2 es mayor a 75, disminuya la estimación hasta que el producto sea menor a 75. Disminuir la estimación tiene sentido porque no deseamos superar los 75.

Podemos sugerir a partir de esta discusión que el proceso de división consiste en

Los cuatro pasos en la división

una suposición educada
una multiplicación
una resta
bajando el siguiente dígito (si es necesario)

La conjetura educada se puede hacer determinando cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo usando solo uno o dos dígitos del dividendo.

Conjunto de Muestras A

Encontrar$75 \div 5$.

Solución

$5\overline{)75}$Reescribe el problema usando un soporte de división.

$\begin{array} {r} {10} \\ {5\overline{)75}} \end{array}$

Haz una conjetura educada señalando que uno 5 está contenido en 75 como máximo 10 veces.
Dado que 7 es el dígito de las decenas, estimamos que 5 entra en 75 como máximo 10 veces.

$\begin{array} {r} {10} \\ {5\overline{)75}} \\ {\underline{-50}} \\ {25} \end{array}$

Ahora determina qué tan cerca está la estimación.
10 cincos es$10 \times 5 = 50$. Restar 50 de 75.
Estima el número de 5's en 25.
Hay exactamente 5 cincos en 25.

$2020-09-29 10.20.37.png$

Comprobar:

$¿75 es igual a 15 veces 5? Sí.$

Así,$75 \div 5 = 15$.

La notación en esta división se puede acortar por escrito.

$\begin{array} {r} {15} \\ {5\overline{)75}} \\ {-5 \downarrow} \\ {\overline{\ \ 25}} \\ {-25} \\ {\overline{\ \ \ \ 0}} \end{array}$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{5 goes into 7 at most 1 time.} \\ \text{Multiply:} & 1 \times 5 = 5. \text{Write 5 below 7.} \\ \text{Subtract:} & 7 - 5 = 2. \text{Bring down the 5.} \end{cases}$$\begin{cases} {\text{Divide:}} & {\text{5 goes into 25 exactly 5 times}} \\ {\text{Multiply:}} & {5 \times 5 = 25. \text{Write 25 below 25.}} \\ {\text{Subtract:}} & {25 - 25 = 0} \end{cases}$

Conjunto de Muestras A

Encontrar$4,944 \div 8$.

Solución

$8\overline{)4944}$

Reescribe el problema usando un soporte de división.

$\begin{array} {r} {600} \\ {8\overline{)4944}} \\ {\underline{-4800}} \\ {144} \end{array}$

8 entra en 49 como máximo 6 veces, y 9 está en la columna de cientos. Adivina 600.
Entonces,$8 \times 600 = 4800$.

$\begin{array} {r} {10} \\ {600} \\ {8\overline{)4944}} \\ {\underline{-4800}} \\ {144} \\ {\underline{-\ \ 80}} \\ {64} \end{array}$

8 entra en 14 como máximo 1 vez, y 4 está en la columna de decenas. Vamos a adivinar 10.

$\begin{array} {r} {8} \\ {10} \\ {600} \\ {8\overline{)4944}} \\ {\underline{-4800}} \\ {144} \\ {\underline{-\ \ 80}} \\ {64} \\ {\underline{-64}} \\ {0} \end{array}$

8 entra en 64 exactamente 8 veces.
600 ochos + 10 ochos + 8 ochos = 618 ochos.

Comprobar:

$¿4944 es igual a 8 veces 18? Sí.$

Así,$4,944 \div 8 = 618$.

Al igual que en el primer problema, la notación en esta división se puede acortar eliminando los signos de resta y los ceros en cada conjetura educada.

$División larga. 4944 dividido por 8. Después de cada suposición educada, el dígito a la derecha se baja a la siguiente línea.$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{8 goes into 49 at most 6 times.} \\ \text{Multiply:} & 6 \times 8 = 48. \text{Write 48 below 49.} \\ \text{Subtract:} & 49 - 48 = 1. \text{Bring down the 4.} \end{cases}$$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{8 goes into 14 at most 1 time.} \\ \text{Multiply:} & 1 \times 8 = 8. \text{Write 8 below 14.} \\ \text{Subtract:} & 14 - 8 = 6. \text{Bring down the 4.} \end{cases}$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{8 goes into 64 exactly 8 times.} \\ \text{Multiply:} & 8 \times 8 = 64. \text{Write 64 below 64.} \\ \text{Subtract:} & 64 - 64 = 0. \end{cases}$

Nota

No todas las divisiones terminan en cero. Examinaremos dichas divisiones en una subsección posterior.

Conjunto de práctica A

Realizar las siguientes divisiones.

$126 \div 7$

Responder: 18

Conjunto de práctica A

$324 \div 4$

Responder: 81

Conjunto de práctica A

$2,559 \div 3$

Responder: 853

Conjunto de práctica A

$5,645 \div 5$

Responder: 1,129

Conjunto de práctica A

$757,125 \div 9$

Responder: 84,125

División con un Divisor de Dígitos Múltiples

El proceso de división también funciona cuando el divisor consta de dos o más dígitos. Ahora hacemos conjeturas educadas usando el primer dígito del divisor y uno o dos dígitos del dividendo.

Conjunto de Muestras B

Encontrar$2,232 \div 36$.

Solución

$36 \overline{)2232}$

Usa el primer dígito del divisor y los dos primeros dígitos del dividendo para hacer la conjetura educada.

3 entra en 22 como máximo 7 veces.

Prueba 7:$7 \times 36 = 252$ que es mayor que 223. Reducir la estimación.

Prueba 6:$6 \times 36 = 216$ que es menor a 223.

$El primer paso de un problema de división larga. 2232 dividido por 36. 36 entra en 223 aproximadamente 6 veces, con un resto de 7. Luego se baja el dígito unos de 2232 para colindar con el 7.$

$\begin{array} {ll} {\text{Multiply: }} & {6 \times 36 = 216. \text{Write 216 below 223.}} \\ {\text{Subtract: }} & {223 - 216 = 7. \text{Bring down the 2.}} \end{array}$

Divide 3 en 7 para estimar el número de veces que 36 entra en 72. El 3 entra en 7 como máximo 2 veces.

Prueba 2:$2 \times 36 = 72$.

$División larga. 2232 dividido por 36. 36 entra en 223 aproximadamente 6 veces, con un resto de 7. Luego se baja el dígito unos de 2232 para colindar con el 7. 36 entra en 72 exactamente dos veces, dejando un resto de 0.$

Comprobar:

$¿2232 es igual a 36 tiempo 62? Sí.$

Así$2,232 \div 36 = 62$.

Conjunto de Muestras B

Encontrar$2,417,228 \div 802$.

Solución

$802 \overline{)2417228}$

Primero, la conjetura educada:$24 \div 8 = 3$. Entonces$3 \times 802 = 2406$, que es menos de 2417. Usa 3 como suposición. Ya que$3 \times 802 = 2406$, y 2406 tiene cuatro dígitos, coloca el 3 por encima del cuarto dígito del dividendo.

$El primer paso de un problema de división larga. 2417228 dividido por 802. 802 entra en 2417 aproximadamente 3 veces, con un resto de 11. Luego se baja el dígito de cientos de 2417228 para colindar con el 11.$

Restar: 2417 - 2406 = 11.
Derribar el 2.

El divisor 802 entra en 112 como máximo 0 veces. Utilice 0.

$El segundo paso de un problema de división larga. 802 entra en 112 0 veces, por lo que se coloca un cero arriba, y se baja el siguiente dígito.$

$\begin{array} {ll} {\text{Multiply:}} & {0 \times 802 = 0.} \\ {\text{Subtract:}} & {112 - 0 = 112.} \\ {\text{Bring down the 2.}} & {} \end{array}$

El 8 entra en 11 como máximo 1 vez, y$1 \times 802 = 802$, que es menor que 1122. Prueba 1.

$El tercer paso de un problema de división larga. 802 entra en 1122 una vez, por lo que se coloca un 1 arriba y se baja el dígito unos.$

Restar 1122 - 802 = 320
Baje el 8.

8 entra en 32 como máximo 4 veces.

$4 \times 802 = 3208$.

Utilice 4.

$El tercer paso de un problema de división larga. 2417228 dividido por 802. 802 entra en 2417 aproximadamente 3 veces, con un resto de 11. Luego se baja el dígito de cientos de 2417228 para colindar con el 11. 802 entra en 112 0 veces, por lo que se coloca un cero arriba, y el siguiente dígito se baja. 802 entra en 1122 una vez, por lo que un 1 se coloca arriba y el dígito unos se baja. 802 entra en 3208 4 veces, dejando un resto de 0.$

Comprobar:

$¿Es 2417228 igual a 3014 veces 802? Sí.$

Así,$2,417,228 \div 802 = 3,014$.

Set de práctica B

Realizar las siguientes divisiones.

$1,376 \div 32$

Responder: 43

Set de práctica B

$6,160 \div 55$

Responder: 112

Set de práctica B

$18,605 \div 61$

Responder: 305

Set de práctica B

$144,768 \div 48$

Responder: 3,016

División con un Resto

Podríamos preguntarnos cuántas veces 4 está contenido en 10. Rendimientos repetidos de resta

$\begin{array} {r} {10} \\ {\underline{-\ \ 4}} \\ {6} \\ {\underline{-4}} \\ {2} \end{array}$

Dado que el resto es menor a 4, detenemos la resta. Así, 4 entra en 10 dos veces con 2 restantes. Podemos escribir esto como una división de la siguiente manera.

$\begin{array} {r} {2} \\ {4 \overline{)10}} \\ {\underline{-\ \ 8}} \\ {2} \end{array}$

$\begin{array} {ll} {\text{Divide:}} & {\text{4 goes into 10 at most 2 times.}} \\ {\text{Multiply:}} & {2 \times 4 = 8. \text{Write 8 below 0.}} \\ {\text{Subtract:}} & {10 - 8 = 2.} \end{array}$

$\begin{array} {r} {\text{2R2}} \\ {4\overline{)\ \ \ 10}} \\ {\underline{-8}} \\ {2} \end{array}$o$10 \div 4 = \begin{matrix} \underbrace{\text{2R2}} \\ {\text{2 with remainder 2}} \end{matrix}$

Conjunto de Muestras C

Encontrar$85 \div 3$.

Solución

$División larga. 85 dividido por 3. 3 entra en 8 dos veces, con un resto de 2. Luego se baja el dígito de unos. 3 entra en 25 8 veces, con un resto de 1.$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{3 goes into 8 at most 2 times.} \\ \text{Multiply:} & 2 \times 3 = 6. \text{ Write 6 below 8.} \\ \text{Subtract:} & 8 - 6 = 2. \text{ Bring down the 5.} \end{cases}$$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{3 goes into 25 at most 8 times.} \\ \text{Multiply:} & 3 \times 8 = 24. \text{ Write 24 below 25.} \\ \text{Subtract:} & 25 - 24 = 1 \end{cases}$

Conjunto de Muestras C

Encontrar$726 \div 23$.

Solución

$División larga. 726 dividido por 23. 23 entra en 72 tres tiempos, con un resto de 3. Luego se baja el dígito de unos. 23 entra en 36 una vez, con un resto de 13.$

Comprobar: Multiplica 31 por 23, luego agrega 13.

$31 veces 23 es igual a 713. 713 más 13 es igual a 726.$

Así,$726 \div 23 = 31R13$.

Set de práctica C

Realizar las siguientes divisiones.

$75 \div 4$

Responder: 18 R3

Set de práctica C

$346 \div 8$

Responder: 43 R2

Set de práctica C

$489 \div 21$

Responder: 23 R6

Set de práctica C

$5,016 \div 82$

Responder: 61 R14

Set de práctica C

$41,196 \div 67$

Responder: 614 R58

Calculadoras

La calculadora puede ser útil para encontrar cocientes con divisores de uno y varios dígitos. Sin embargo, si la división debería resultar en un resto, la calculadora no puede proporcionarnos el valor particular del resto. Además, algunas calculadoras (la mayoría no científicas) son incapaces de realizar divisiones en las que uno de los números tiene más de ocho dígitos.

Conjunto de Muestras D

Usa una calculadora para realizar cada división.

$328 \div 8$.

Solución

Tipo	328
Prensa	$\div$
Tipo	8
Prensa	=

La pantalla ahora lee 41.

Conjunto de Muestras D

$53,136 \div 82$.

Solución

Tipo	53136
Prensa	$\div$
Tipo	82
Prensa	=

La pantalla ahora lee 648.

Conjunto de Muestras D

$730,019,001 \div 326$

Solución

Primero intentamos entrar 730,019,001 pero encontramos que solo podemos ingresar 73001900. Si nuestra calculadora solo tiene una pantalla de ocho dígitos (como lo hacen la mayoría de las calculadoras no científicas), no podremos usar la calculadora para realizar esta división.

Conjunto de Muestras D

$3727 \div 49$.

Solución

Tipo	3727
Prensa	$\div$
Tipo	49
Prensa	=

La pantalla ahora lee 76.061224.

Este número es un ejemplo de un número decimal (ver [enlace]). Cuando un número decimal da como resultado una división de calculadora, podemos concluir que la división produce un resto.

Set de Práctica D

Usa una calculadora para realizar cada división.

$3,330 \div 74$

Responder: 45

Set de Práctica D

$63,365 \div 115$

Responder: 551

Set de Práctica D

$21,996,385,287 \div 53$

Responder: Dado que el dividendo tiene más de ocho dígitos, esta división no se puede realizar en la mayoría de las calculadoras no científicas. En otros, la respuesta es 415,026,137.4

Set de Práctica D

$4,558 \div 67$

Responder: Esta división resulta en 68.02985075, un número decimal, y por lo tanto, no podemos, en este momento, encontrar el valor del resto. Posteriormente, discutiremos los números decimales.

Ejercicios

Para los siguientes problemas, realizar las divisiones.

Los primeros 38 problemas se pueden verificar con una calculadora multiplicando el divisor y el cociente luego agregando el resto.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$52 \div 4$

Responder: 13

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$776 \div 8$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$603 \div 9$

Responder: 67

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$240 \div 8$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$208 \div 4$

Responder: 52

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$576 \div 6$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$21 \div 7$

Responder: 3

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$0 \div 0$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$140 \div 2$

Responder: 70

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$528 \div 8$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$244 \div 4$

Responder: 61

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$0 \div 7$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$177 \div 3$

Responder: 59

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$96 \div 8$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$67 \div 1$

Responder: 67

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$896 \div 56$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$1,044 \div 12$

Responder: 87

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$988 \div 19$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$5,238 \div 97$

Responder: 54

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$2530 \div 55$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$4,264 \div 82$

Responder: 52

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$637 \div 13$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$3,420 \div 90$

Responder: 38

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$5,655 \div 87$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$2,115 \div 47$

Responder: 45

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$9,328 \div 22$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$55,167 \div 71$

Responder: 777

Ejercicio$\PageIndex{28}$

$68,356 \div 92$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

$27,702 \div 81$

Responder: 342

Ejercicio$\PageIndex{30}$

$6,510 \div 31$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

$60,536 \div 94$

Responder: 644

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$31,844 \div 38$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

$23,985 \div 45$

Responder: 533

Ejercicio$\PageIndex{34}$

$60,606 \div 74$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

$2,975,400 \div 285$

Responder: 10,440

Ejercicio$\PageIndex{36}$

$1,389,660 \div 795$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

$7,162,060 \div 879$

Contestar: 8,147 resto 847

Ejercicio$\PageIndex{38}$

$7,561,060 \div 909$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

$38 \div 9$

Contestar: 4 resto 2

Ejercicio$\PageIndex{40}$

$97 \div 4$

Ejercicio$\PageIndex{41}$

$199 \div 3$

Contestar: 66 resto 1

Ejercicio$\PageIndex{42}$

$573 \div 6$

Ejercicio$\PageIndex{43}$

$10,701 \div 13$

Contestar: 823 resto 2

Ejercicio$\PageIndex{44}$

$13,521 \div 53$

Ejercicio$\PageIndex{45}$

$3,628 \div 90$

Contestar: 40 resto 28

Ejercicio$\PageIndex{46}$

$10,592 \div 43$

Ejercicio$\PageIndex{47}$

$19,965 \div 30$

Contestar: 665 resto 15

Ejercicio$\PageIndex{48}$

$8,320 \div 21$

Ejercicio$\PageIndex{49}$

$61,282 \div 64$

Contestar: 957 resto 34

Ejercicio$\PageIndex{50}$

$1,030 \div 28$

Ejercicio$\PageIndex{51}$

$7,319 \div 11$

Contestar: 665 resto 4

Ejercicio$\PageIndex{52}$

$3,628 \div 90$

Ejercicio$\PageIndex{53}$

$35,279 \div 77$

Contestar: 458 resto 13

Ejercicio$\PageIndex{54}$

$52,196 \div 68$

Ejercicio$\PageIndex{55}$

$67,751 \div 68$

Contestar: 996 resto 23

Para los siguientes 5 problemas, use una calculadora para encontrar los cocientes.

Ejercicio$\PageIndex{56}$

$4,346 \div 53$

Ejercicio$\PageIndex{57}$

$3,234 \div 77$

Contestar: 42

Ejercicio$\PageIndex{58}$

$6,771 \div 37$

Ejercicio$\PageIndex{59}$

$4,272,320 \div 520$

Contestar: 8.216

Ejercicio$\PageIndex{60}$

$7,558,110 \div 651$

Ejercicio$\PageIndex{61}$

A un instructor de matemáticas en una preparatoria se le paga $17,775 por 9 meses. ¿Cuánto dinero gana este instructor cada mes?

Contestar: $1,975 al mes

Ejercicio$\PageIndex{62}$

Una pareja paga $4,380 al año por un departamento de una habitación. ¿Cuánto paga esta pareja cada mes por este departamento?

Ejercicio$\PageIndex{63}$

Treinta y seis personas invierten un total de $17,460 en una acción en particular. Si cada uno invirtió la misma cantidad, ¿cuánto invirtió cada persona?

Contestar: $485 cada persona invirtió

Ejercicio$\PageIndex{64}$

Cada uno de los 28 alumnos de una clase de matemáticas compra un libro de texto. Si la librería vende libros por valor de 644 dólares, ¿cuál es el precio de cada libro?

Ejercicio$\PageIndex{65}$

Cierta marca de refrigerador tiene una máquina automática de cubitos de hielo que fabrica 336 cubitos de hielo en un día. Si la máquina de hielo fabrica cubitos de hielo a un ritmo constante, ¿cuántos cubitos de hielo hace cada hora?

Contestar: 14 cubos por hora

Ejercicio$\PageIndex{66}$

Un fabricante de cerveza embotella 52,380 onzas de cerveza cada hora. Si cada botella contiene la misma cantidad de onzas de cerveza, y el fabricante llena 4,365 botellas por hora, ¿cuántas onzas de cerveza contiene cada botella?

Ejercicio$\PageIndex{67}$

Un programa de computadora consta de 68,112 bits. 68,112 bits equivale a 8,514 bytes. ¿Cuántos bits en un byte?

Contestar: 8 bits en cada byte

Ejercicio$\PageIndex{68}$

Un edificio de 26 pisos en San Francisco cuenta con un total de 416 oficinas. Si cada piso tiene el mismo número de oficinas, ¿cuántos pisos tiene este edificio?

Ejercicio$\PageIndex{69}$

Un colegio cuenta con 67 aulas y un total de 2,546 escritorios. ¿Cuántos escritorios hay en cada aula si cada aula tiene el mismo número de escritorios?

Contestar: 38

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$\PageIndex{70}$

¿Cuál es el valor de 4 en el número 124,621?

Ejercicio$\PageIndex{71}$

Ronda 604,092 a los cien mil más cercanos.

Contestar: 600,000

Ejercicio$\PageIndex{72}$

¿Qué número entero es la identidad aditiva?

Ejercicio$\PageIndex{73}$

Encuentra el producto. $6,256 \times 100$.

Contestar: 625.600

Ejercicio$\PageIndex{74}$

Encuentra el cociente. $0 \div 11$