3.4: El mayor factor común

Objetivos de aprendizaje

• ser capaz de encontrar el mayor factor común de dos o más números enteros

El mayor factor común (GCF)

Usando el método que estudiamos en [link], pudimos obtener las factorizaciones prime de 30 y 42.

\[ \begin{align*} 30 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[4pt] 42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7 \end{align*}\]

Definición: Factor común

Notamos que 2 aparece como factor en ambos números, es decir, 2 es un factor común de 30 y 42. También notamos que 3 aparece como factor en ambos números. Tres es también un factor común de 30 y 42.

Definición: Mayor factor común (GCF)

Al considerar dos o más números, suele ser útil saber si existe un mayor factor común de los números, y de ser así, cuál es ese número. El factor común más grande de dos o más números enteros se llama el factor común más grande, y es abreviado por GCF. El mayor factor común de una colección de números enteros es útil para trabajar con fracciones (lo que haremos en [link]).

Un método para determinar el mayor factor común

Un método sencillo para determinar el GCF de dos o más números enteros hace uso tanto de la factorización prima de los números como de los exponentes.

Cómo encontrar el mayor factor común (GCF) de dos o más números enteros

1. Escribe la factorización prima de cada número, usando exponentes sobre factores repetidos.
2. Escribe cada base que sea común a cada uno de los números.
3. A cada base listada en el paso 2, adjuntar el exponente más pequeño que aparece en ella en cualquiera de las factorizaciones primos.
4. El GCF es el producto de los números que se encuentran en el paso 3.

Conjunto de Muestras A

Encuentra el GCF de los siguientes números.

12 y 18

Solución

1. \(\begin{array} {l} {12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3} \\ {18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2} \end{array}\)
2. Las bases comunes son 2 y 3.
3. Los exponentes más pequeños que aparecen en 2 y 3 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 1 y 1 (\(2^1\)y\(3^1\)), o 2 y 3.
4. El GCF es el producto de estos números.
   \(2 \cdot 3 = 6\)

El GCF de 30 y 42 es 6 porque 6 es el mayor número que divide tanto 30 como 42 sin un resto.

Conjunto de Muestras A

18, 60 y 72

Solución

1. \(\begin{array} {l} {18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2} \\ {60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5} \\ {72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2} \end{array}\)
2. Las bases comunes son 2 y 3.
3. Los exponentes más pequeños que aparecen en 2 y 3 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 1 y 1:
   \(2^1\) de 18
   \(3^1\) de 60
4. El GCF es el producto de estos números.
   GCF es\(2 \cdot 3 = 6\)

Así, 6 es el número más grande que divide 18, 60 y 72 sin un resto.

Conjunto de Muestras A

700, 1,880 y 6,160

Solución

1. \(\begin{array} {rcl} {700 \ = \ 2 \cdot 350 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 175} & = & {2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 35} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7} \\ {} & = & {2^2 \cdot 5^2 \cdot 7} \\ {1,880 \ = \ 2 \cdot 940 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 470} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 235} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 47} \\ {} & = & {2^3 \cdot 5 \cdot 47} \\ {6,160 \ = \ 2 \cdot 3,080 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 1,540} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 770} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 385} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 77} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} \\ {} & = & {2^4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} \end{array}\)
2. Las bases comunes son 2 y 5
3. Los exponentes más pequeños que aparecen en 2 y 5 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 2 y 1.
   \(2^2\)desde 700.
   \(5^1\)ya sea de 1,880 ó 6,160.
4. El GCF es el producto de estos números.
   GCF es\(2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20\)

Así, 20 es el número más grande que divide 700, 1,880 y 6,160 sin un resto.

Conjunto de práctica A

Encuentra el GCF de los siguientes números.

24 y 36

Responder

12

Conjunto de práctica A

48 y 72

Responder

24

Conjunto de práctica A

50 y 140

Contestar

10

Conjunto de práctica A

21 y 225

Contestar

3

Conjunto de práctica A

450, 600 y 540

Contestar

30

Ejercicios

Para los siguientes problemas, encuentra el mayor factor común (GCF) de los números.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

6 y 8

Contestar

2

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

5 y 10

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

8 y 12

Contestar

4

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

9 y 12

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

20 y 24

Contestar

4

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

35 y 175

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

25 y 45

Contestar

5

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

45 y 189

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

66 y 165

Contestar

33

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

264 y 132

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

99 y 135

Contestar

9

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

65 y 15

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

33 y 77

Contestar

11

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

245 y 80

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

351 y 165

Contestar

3

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

60, 140 y 100

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

147, 343 y 231

Contestar

7

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

24, 30 y 45

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

175, 225 y 400

Contestar

25

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

210, 630 y 182

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

14, 44 y 616

Contestar

2

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

1,617, 735 y 429

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

1,573, 4,862 y 3,553

Contestar

11

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

3,672, 68 y 920

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

7, 2,401, 343, 16 y 807

Contestar

1

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

500, 77 y 39

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

441, 275 y 221

Contestar

1

Ejercicios para la revisión

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Encuentra el producto. \(2,753 \times 4,006\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Encuentra el cociente. \(954 \div 18\)

Contestar

53

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

Especifique cuál de los dígitos 2, 3 o 4 se divide en 9,462.

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

Escribir\(8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8\) usando exponentes.

Contestar

\(8^6 = 262,144\)

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

Encuentra la factorización prima de 378.