5.6: Combinaciones de Operaciones con Fracciones

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116669

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Objetivos de aprendizaje

obtener una mayor comprensión del orden de las operaciones

El orden de las operaciones

Para determinar el valor de una cantidad como

\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{15}\)

donde tenemos una combinación de operaciones (ocurre más de una operación), debemos usar el orden de operaciones aceptado.

El orden de las operaciones:

En el orden (2), (3), (4) descrito a continuación, realizar todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación: (), [], (), -. Trabaja desde el conjunto más interno hasta el conjunto más exterior.
Realizar operaciones exponenciales y raíz.
Realiza todas las multiplicaciones y divisiones moviéndose de izquierda a derecha.
Realizar todas las sumas y restaciones moviéndose de izquierda a derecha.

Conjunto de Muestras A

Determinar el valor de cada una de las siguientes cantidades.

\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{15}\)

Solución

a. Multiplicar primero.

\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{5}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{8}} \\ {^4} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{2}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{15}} \\ {^3} \end{array}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1 \cdot 1}{4 \cdot 3} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12}\)

b. Ahora realiza esta adición. Encuentra la pantalla LCD.

\(\left \{ \begin{array} {c} {4 = 2^2} \\ {12 = 2^2 \cdot 3} \end{array} \right \} \text{ The LCD = } 2^2 \cdot 3 = 12\)

\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{12}} & = & {\dfrac{1 \cdot 3}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{1}{12}} \\ {} & = & {\dfrac{3 + 1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}} \end{array}\)

Así,\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{1}{3}\)

Conjunto de Muestras A

\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{9}{44} (\dfrac{5}{9} - \dfrac{1}{4})\)

Solución

a. Operar entre paréntesis primero,\((\dfrac{5}{9} - \dfrac{1}{4})\)

\(\left \{ \begin{array} {c} {9 = 3^2} \\ {4 = 2^2} \end{array} \right \} \text{ The LCD = } 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36.\)

\(\dfrac{5 \cdot 4}{36} - \dfrac{1 \cdot 9}{36} = \dfrac{20}{36} - \dfrac{9}{36} = \dfrac{20 - 9}{36} = \dfrac{11}{36}\)

Ahora tenemos

\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{9}{44} (\dfrac{11}{36})\)

b. Realizar la multiplicación.

\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{9}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{44}} \\ {^4} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{11}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{36}} \\ {^4} \end{array}} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{16}\)

c. Ahora realiza la adición. El LCD = 80.

\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{3 \cdot 16}{80} + \dfrac{1 \cdot 5}{80} = \dfrac{48}{80} + \dfrac{5}{80} = \dfrac{48 + 5}{80} = \dfrac{53}{80}\)

Así,\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{9}{44} (\dfrac{5}{9} - \dfrac{1}{4}) = \dfrac{53}{80}\)

Conjunto de Muestras A

\(8 - \dfrac{15}{426} (2 - 1 \dfrac{4}{15}) (3 \dfrac{1}{5} + 2 \dfrac{1}{8})\)

Solución

a. Trabajar dentro de cada conjunto de paréntesis individualmente.

\(\begin{array} {rcl} {2 - 1 \dfrac{4}{15}} & = & {2 \dfrac{1 \cdot 15 + 4}{15} = 2 - \dfrac{19}{15}} \\ {} & = & {\dfrac{30}{15} - \dfrac{19}{15} = \dfrac{30- 19}{15} = \dfrac{11}{15}} \\ {3 \dfrac{1}{5} + 2 \dfrac{1}{8}} & = & {\dfrac{3 \cdot 5 + 1}{5} + \dfrac{2 \cdot 8 + 1}{8}} \\ {} & = & {\dfrac{16}{5} + \dfrac{17}{8} \text{LCD = 40}} \\ {} & = & {\dfrac{16 \cdot 8}{40} + \dfrac{17 \cdot 5}{40}} \\ {} & = & {\dfrac{128}{40} + \dfrac{85}{40}} \\ {} & = & {\dfrac{128 + 85}{40}} \\ {} & = & {\dfrac{213}{40}} \end{array}\)

Ahora tenemos

\(8 - \dfrac{15}{426} (\dfrac{11}{15}) (\dfrac{213}{40})\)

b. Ahora multiplicar.

\(8 - \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{15}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{426}} \\ {^2} \end{array}} \cdot \dfrac{11}{\begin{array} {c} {\cancel{15}} \\ {^1} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{213}} \end{array}}{40} = 8 - \dfrac{1 \cdot 11 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 40} = 8 - \dfrac{11}{80}\)

c. Ahora resta.

\(8 - \dfrac{11}{80} = \dfrac{80 \cdot 8}{80} - \dfrac{11}{80} = \dfrac{640}{80} - \dfrac{11}{80} = \dfrac{640 - 11}{80} = \dfrac{629}{80} \text{ or } 7 \dfrac{69}{80}\)

Así,\(8 - \dfrac{15}{426} (2 - 1 \dfrac{4}{15}) (3 \dfrac{1}{5} + 2 \dfrac{1}{8}) = 7 \dfrac{69}{80}\)

Conjunto de Muestras A

\((\dfrac{3}{4})^2 \cdot \dfrac{8}{9} - \dfrac{5}{12}\)

Solución

a. Cuadrado\(\dfrac{3}{4}\).

\((\dfrac{3}{4})^2 = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \dfrac{9}{16}\)

Ahora tenemos

\(\dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{8}{9} - \dfrac{5}{12}\)

b. Realizar la multiplicación.

\(\dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{9}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{16}} \\ {^2} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{8}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{9}} \\ {^1} \end{array}} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{12}\)

c. Ahora realice la resta.

\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{6}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{6 - 5}{12} = \dfrac{1}{12}\)

Así,\((\dfrac{4}{3})^2 \cdot \dfrac{8}{9} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{12}\)

Conjunto de Muestras A

\(2 \dfrac{7}{8} + \sqrt{\dfrac{25}{36}} \div (2 \dfrac{1}{2} - 1 \dfrac{1}{3})\)

Solución

a. Comience operando dentro de los paréntesis.

\(\begin{array} {rcl} {2 \dfrac{1}{2} - 1 \dfrac{1}{3}} & = & {\dfrac{2 \cdot 2 + 1}{2} - \dfrac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{4}{3}} \\ {} & = & {\dfrac{15}{6} - \dfrac{8}{6} = \dfrac{15 - 8}{6} = \dfrac{7}{6}} \end{array}\)

b. Ahora simplifique la raíz cuadrada.

\(\sqrt{\dfrac{25}{36}} = \dfrac{5}{6} (\text{since} (\dfrac{5}{6})^2 = \dfrac{25}{36})\)

Ahora tenemos

\(2 \dfrac{7}{8} + \dfrac{5}{6} \div \dfrac{7}{6}\)

c. Realizar la división.

\(2 \dfrac{7}{8} + \dfrac{5}{\begin{array} {c} {\cancel{6}} \\ {^1} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{6}} \end{array}}{7} = 2 \dfrac{7}{8} + \dfrac{5 \cdot 1}{1 \cdot 7} = 2 \dfrac{7}{8} + \dfrac{5}{7}\)

d. Ahora realiza la adición.

\(\begin{array} {rcl} {2 \dfrac{7}{8} + \dfrac{5}{7}} & = & {\dfrac{2 \cdot 8 + 7}{8} + \dfrac{5}{7} = \dfrac{23}{8} + \dfrac{5}{7} \text{ LCD = }56.} \\ {} & = & {\dfrac{23 \cdot 7}{56} + \dfrac{5 \cdot 8}{56} = \dfrac{161}{56} + \dfrac{40}{56}} \\ {} & = & {\dfrac{161 + 40}{56} = \dfrac{201}{56} \text{ or } 3 \dfrac{33}{56}} \end{array}\)

Así,\(2 \dfrac{7}{8} + \sqrt{\dfrac{25}{36}} \div (2 \dfrac{1}{2} - 1 \dfrac{1}{3}) = 3 \dfrac{33}{56}\)

Conjunto de práctica A

Encuentra el valor de cada una de las siguientes cantidades.

\(\dfrac{5}{16} \cdot \dfrac{1}{10} - \dfrac{1}{32}\)

Responder: 0

Conjunto de práctica A

\(\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{21}{40} \div \dfrac{9}{10} + 5 \dfrac{1}{3}\)

Responder: \(\dfrac{35}{6}\)o\(5 \dfrac{5}{6}\)

Conjunto de práctica A

\(8\dfrac{7}{10} - 2(4 \dfrac{1}{2} - 3 \dfrac{2}{3})\)

Responder: \(\dfrac{211}{30}\)o\(7 \dfrac{1}{30}\)

Conjunto de práctica A

\(\dfrac{17}{18} - \dfrac{58}{30} (\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{32}) (1 - \dfrac{13}{29})\)

Responder: \(\dfrac{7}{9}\)

Conjunto de práctica A

\((\dfrac{1}{10} + 1 \dfrac{1}{2}) \div (1 \dfrac{4}{5} - 1 \dfrac{6}{25})\)

Responder: \(2 \dfrac{6}{7}\)

Conjunto de práctica A

\(\dfrac{\dfrac{2}{3} - \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9}}{\dfrac{7}{16} \cdot 1 \dfrac{1}{3} + 1 \dfrac{1}{4}}\)

Responder: \(\dfrac{3}{11}\)

Conjunto de práctica A

\((\dfrac{3}{8})^2 + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{8}\)

Responder: \(\dfrac{15}{64}\)

Conjunto de práctica A

\(\dfrac{2}{3} \cdot 2 \dfrac{1}{4} - \sqrt{\dfrac{4}{25}}\)

Responder: \(\dfrac{11}{10}\)

Ejercicios

Encuentra cada valor.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2}\)

Responder: \(\dfrac{5}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{36}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(2 \dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{8} \div \dfrac{5}{16}\)

Responder: \(4 \dfrac{2}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{3}{16} \div \dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{12}{21} + \dfrac{5}{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{4}{25} \div \dfrac{8}{15} - \dfrac{7}{20} \div 2 \dfrac{1}{10}\)

Responder: \(\dfrac{2}{15}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{2}{5} \cdot (\dfrac{1}{19} + \dfrac{3}{38})\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{3}{7} \cdot (\dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15})\)

Responder: \(\dfrac{1}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\dfrac{10}{11} \cdot (\dfrac{8}{9} - \dfrac{2}{5}) + \dfrac{3}{25} \cdot (\dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{4})\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\dfrac{2}{7} \cdot (\dfrac{6}{7} - \dfrac{3}{28}) + 5 \dfrac{1}{3} \cdot (1 \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8})\)

Responder: \(6 \dfrac{3}{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\dfrac{(\dfrac{6}{11} - \dfrac{1}{3}) \cdot (\dfrac{1}{21} + 2 \dfrac{13}{42})}{1 \dfrac{1}{5} + \dfrac{7}{40}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\((\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{8}\)

Responder: \(\dfrac{3}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\((\dfrac{3}{5})^2 - \dfrac{3}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(\sqrt{\dfrac{36}{81}} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{9}\)

Responder: \(\dfrac{20}{27}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(\sqrt{\dfrac{49}{64}} - \sqrt{\dfrac{9}{4}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(\dfrac{2}{3} \cdot \sqrt{\dfrac{9}{4}} - \dfrac{15}{4} \cdot \sqrt{\dfrac{16}{225}}\)

Responder: 0

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\((\dfrac{3}{4})^2 + \sqrt{dfrac{25}{16}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\((\dfrac{1}{3})^2 \cdot \sqrt{\dfrac{81}{25}} + \dfrac{1}{40} \div \dfrac{1}{8}\)

Responder: \(\dfrac{2}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\((\sqrt{\dfrac{4}{49}})^2 + \dfrac{3}{7} \div 1 \dfrac{3}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\((\sqrt{\dfrac{100}{121}})^2 + \dfrac{21}{(11)^2}\)

Responder: 1

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(\sqrt{\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{64}} - \dfrac{1}{2} \div 1 \dfrac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{4}} \cdot (\dfrac{5}{6})^2 + \dfrac{9}{14} \cdot 2 \dfrac{1}{3} - \sqrt{\dfrac{1}{81}}\)

Responder: \(\dfrac{215}{72}\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{9}} \cdot \sqrt{\dfrac{6 \dfrac{3}{8} + 2 \dfrac{5}{8}}{16}} + 7 \dfrac{7}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(\dfrac{3 \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{5} \cdot (\dfrac{1}{2})^3}{\dfrac{67}{240} + (\dfrac{1}{3})^4 \cdot (\dfrac{9}{10})}\)

Responder: \(\dfrac{252}{19}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(\sqrt{\sqrt{\dfrac{16}{81}}} + \dfrac{1}{4} \cdot 6\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(\sqrt{\sqrt{\dfrac{81}{256}}} - \dfrac{3}{32} \cdot 1 \dfrac{1}{8}\)

Responder: \(\dfrac{165}{256}\)

Ejercicios para revisión

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

Verdadero o falso: Nuestro sistema numérico, el sistema numérico hindu-árabe, es un sistema numérico posicional con base diez.

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

El hecho de que 1 veces cualquier número entero = ese número entero en particular ilustra qué propiedad de multiplicar?

Responder: identidad multiplicativa

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

Convertir\(8 \dfrac{6}{7}\) a una fracción impropia.

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

Encuentra la suma. \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{6}\).

Responder: \(\dfrac{241}{120}\)o\(2 \dfrac{1}{120}\)

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

Simplificar\(\dfrac{6 + \dfrac{1}{8}}{6 - \dfrac{1}{8}}\).