Saltar al contenido principal

# 7.2: Proporciones

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

Objetivos de aprendizaje

• ser capaz de describir proporciones y encontrar el factor faltante en una proporción
• ser capaz de trabajar con proporciones que involucren tasas

## Ratios, Tasas y Proporciones

Definición: Ratio, Tasa

Hemos definido una relación como una comparación, por división, de dos números puros o dos números denominados similares. Hemos definido una tasa como una comparación, por división, de dos números denominados diferentes.

Definición: Proporción

Una proporción es una afirmación de que dos ratios o tasas son iguales. Los siguientes dos ejemplos muestran cómo leer proporciones.

Conjunto de Muestras A

$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}$$

Solución

3 es a 5 como 12 es a 20

Conjunto de Muestras A

$$\dfrac{\text{10 items}}{\text{5 dollars}} = \dfrac{\text{2 items}}{\text{1 dollar}}$$

Solución

10 artículos es a 5 dólares ya que 2 artículos es a 1 dólar

Conjunto de Muestras A

8 es a 12 como 16 es a 24.

Solución

$$\dfrac{8}{12} = \dfrac{16}{24}$$

Conjunto de Muestras A

50 miligramos de vitamina C es a 1 tableta ya que 300 miligramos de vitamina C es a 6 tabletas.

Solución

$$\dfrac{50}{1} = \dfrac{300}{6}$$

Conjunto de práctica A

$$\dfrac{3}{8} = \dfrac{6}{16}$$

Contestar

3 es a 8 como 6 es a 16

Conjunto de práctica A

$$\dfrac{\text{2 people}}{\text{1 window}} = \dfrac{\text{10 people}}{\text{5 windows}}$$

Contestar

2 personas son a 1 ventana ya que 10 personas son a 5 ventanas

Conjunto de práctica A

15 es a 4 como 75 es a 20.

Contestar

$$\dfrac{15}{4} = \dfrac{75}{20}$$

Conjunto de práctica A

2 platos son a 1 bandeja ya que 20 platos son a 10 charolas.

Contestar

\ (\ dfrac {\ texto {2 platos}} {\ texto {1 bandeja}} =\ dfrac {\ texto {20 platos}} {\ texto {10 bandejas}}

## Encontrar el factor faltante en una proporción

Muchos problemas prácticos pueden resolverse escribiendo la información dada como proporciones. Dichas proporciones estarán compuestas por tres números especificados y un número desconocido. Es costumbre dejar que una letra, como$$x$$, represente el número desconocido. Un ejemplo de tal proporción es

$$\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}$$

Esta proporción se lee como "$$x$$es a 4 como 20 es a 16”.

Existe un método para resolver estas proporciones que se basa en la igualdad de fracciones. Recordemos que dos fracciones son equivalentes si y sólo si sus productos cruzados son iguales. Por ejemplo,

Observe que en una proporción que contenga tres números especificados y una letra que represente una cantidad desconocida, que independientemente de donde aparezca la letra, siempre ocurre la siguiente situación.

$$\underbrace{(\text{number}) \cdot (\text{letter}) = (\text{number}) \cdot (\text{number})}_{}$$

Esto lo reconocemos como una declaración de multiplicación. En concreto, se trata de una declaración de factor faltante. (Véase [link] para una discusión de declaraciones de multiplicación.) Por ejemplo,

$$\begin{array} {ll} {\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}} & {\text{ means that } 16 \cdot x = 4 \cdot 20} \\ {\dfrac{4}{x} = \dfrac{16}{20}} & {\text{ means that } 4 \cdot 20 = 16 \cdot x} \\ {\dfrac{5}{4} = \dfrac{x}{16}} & {\text{ means that } 5 \cdot 16 = 4 \cdot x} \\ {\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{x}} & {\text{ means that } 5 \cdot x = 4 \cdot 20} \end{array}$$

Cada una de estas declaraciones es una declaración de multiplicación. Específicamente, cada uno es una declaración de factor faltante. (La letra utilizada aquí es$$x$$, mientras que$$M$$ se utilizó en [link].)

Encontrar el factor faltante en una proporción
El factor faltante en una declaración de factor faltante se puede determinar dividiendo el producto por el factor conocido, es decir, si$$x$$ representa el factor faltante, entonces

$$x = \text{(product)} \div \text{(known factor)}$$

Conjunto de Muestras B

Encuentra el número desconocido en cada proporción.

$$\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}$$. Encuentra el producto cruzado.

Solución

$$\begin{array} {ccll} {16 \cdot x} & = & {20 \cdot 4} & {} \\ {16 \cdot x} & = & {80} & {\text{ Divide the product 80 by the known factor 16.}} \\ {x} & = & {\dfrac{80}{16}} & {} \\ {x} & = & {5} & {\text{ The unkown number is 5.}} \end{array}$$

Esto significa que$$\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{16}$$, o 5 es a 4 como 20 es a 16.

Conjunto de Muestras B

$$\dfrac{5}{x} = \dfrac{20}{16}$$. Encuentra el producto cruzado.

Solución

$$\begin{array} {ccll} {5 \cdot 16} & = & {20 \cdot x} & {} \\ {80} & = & {20 \cdot x} & {\text{ Divide the product 80 by the known factor 20.}} \\ {\dfrac{80}{20}} & = & {x} & {} \\ {4} & = & {x} & {\text{ The unkown number is 4.}} \end{array}$$

Esto significa que$$\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{16}$$, o 5 es a 4 como 20 es a 16.

Conjunto de Muestras B

$$\dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{x}$$. Encuentra el producto cruzado.

Solución

$$\begin{array} {ccll} {16 \cdot x} & = & {64 \cdot 3} & {} \\ {16 \cdot x} & = & {192} & {\text{ Divide 192 by 16.}} \\ {x} & = & {\dfrac{192}{16}} & {} \\ {x} & = & {12} & {\text{ The unkown number is 12.}} \end{array}$$

Esto significa que$$\dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{12}$$, o 16 es a 3 como 64 es a 12.

Conjunto de Muestras B

$$\dfrac{9}{8} = \dfrac{x}{40}$$. Encuentra el producto cruzado.

Solución

$$\begin{array} {ccll} {9 \cdot 40} & = & {8 \cdot x} & {} \\ {360} & = & {8 \cdot x} & {\text{ Divide 360 by 8.}} \\ {\dfrac{360}{8}} & = & {x} & {} \\ {45} & = & {x} & {\text{ The unkown number is 45.}} \end{array}$$

Set de práctica B

Encuentra el número desconocido en cada proporción.

$$\dfrac{x}{8} = \dfrac{12}{32}$$

Contestar

$$x = 3$$

Set de práctica B

$$\dfrac{7}{x} = \dfrac{14}{10}$$

Contestar

$$x = 5$$

Set de práctica B

$$\dfrac{9}{11} = \dfrac{x}{55}$$

Contestar

$$x = 45$$

Set de práctica B

$$\dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{x}$$

Contestar

$$x = 48$$

### Proporciones que implican tasas

Recordemos que una tasa es una comparación, por división, de números denominados distintos. Debemos tener cuidado a la hora de establecer proporciones que involucren tarifas. La forma es importante. Por ejemplo, si una tarifa involucra dos tipos de unidades, digamos unidad tipo 1 y unidad tipo 2, podemos escribir

o

Ambos productos cruzados producen una declaración del tipo

$$(\text{unit type 1}) \cdot (\text{unit type 2}) = (\text{unit type 1}) \cdot (\text{unit type 2})$$

lo que tomamos para significar la comparación

Ejemplos de proporciones expresadas correctamente son los siguientes:

Sin embargo, si escribimos el mismo tipo de unidades en diferentes lados, como,

$$\dfrac{\text{unit type 1}}{\text{unit type 2}} = \dfrac{\text{unit type 2}}{\text{unit type 1}}$$

el producto cruzado produce una declaración de la forma

Podemos ver que esta es una comparación incorrecta al observar el siguiente ejemplo: Es incorrecto escribir

$$\dfrac{\text{2 hooks}}{\text{3 poles}} = \dfrac{\text{6 poles}}{\text{4 hooks}}$$

por dos razones.

El producto cruzado es numéricamente incorrecto:$$(2 \cdot 4 \ne 3 \cdot 6)$$
El producto cruzado produce la declaración “los ganchos son a los ganchos como los postes lo son a los postes”, lo cual no tiene sentido.

## Ejercicios

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Una declaración de que dos proporciones o son iguales se llama a.

Contestar

tasas, proporción

Para los siguientes 9 problemas, escriba cada proporción en forma fraccionaria.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

3 es a 7 como 18 es a 42.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

1 es a 11 como 3 es a 33.

Contestar

$$\dfrac{1}{11} = \dfrac{3}{33}$$

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

9 es a 14 como 27 es a 42.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

6 es a 90 como 3 es a 45.

Contestar

$$\dfrac{6}{90} = \dfrac{3}{45}$$

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

5 litros es a 1 botella ya que 20 litros es a 4 botellas.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

18 gramos de cobalto es a 10 gramos de plata ya que 36 gramos de cobalto es a 20 gramos de plata.

Contestar

$$\dfrac{\text{18 gr cobalt}}{\text{10 gr silver}} = \dfrac{\text{36 gr cobalt}}{\text{20 gr silver}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

4 tazas de agua es a 1 taza de azúcar ya que 32 tazas de agua es a 8 tazas de azúcar.

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

3 personas ausentes es a 31 personas presentes como 15 personas ausentes es a 155 personas presentes.

Contestar

$$\dfrac{\text{3 people absent}}{\text{31 people present}} = \dfrac{\text{15 people absent}}{\text{155 people present}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

6 dólares es a 1 hora ya que 90 dólares es a 15 horas.

Para los siguientes 10 problemas, escribe cada proporción como una oración.

Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$$

Contestar

3 es a 4 como 15 es a 20

Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

$$\dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{40}$$

Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$\dfrac{\text{3 joggers}}{\text{100 feet}} = \dfrac{\text{6 joggers}}{\text{200 feet}}$$

Contestar

3 joggers son a 100 pies ya que 6 joggers son a 200 pies

Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$\dfrac{\text{12 marshmallows}}{\text{3 sticks}} = \dfrac{\text{36 marshmallows}}{\text{9 sticks}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$\dfrac{\text{40 miles}}{\text{80 miles}} = \dfrac{\text{2 gallons}}{\text{4 gallons}}$$

Contestar

40 millas son a 80 millas ya que 2 galones son a 4 galones

Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

$$\dfrac{\text{4 couches}}{\text{10 couches}} = \dfrac{\text{2 houses}}{\text{5 houses}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

$$\dfrac{\text{1 person}}{\text{1 job}} = \dfrac{\text{8 people}}{\text{8 jobs}}$$

Contestar

1 persona es a 1 empleo ya que 8 personas son a 8 empleos

Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

$$\dfrac{\text{1 popsicle}}{\text{2 children}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \text{8 popsicle}}{\text{1 child}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

$$\dfrac{\text{2,000 pounds}}{\text{1 ton}} = \dfrac{\text{60,000 pounds}}{\text{30 tons}}$$

Contestar

2,000 libras son a 1 tonelada ya que 60,000 libras son a 30 toneladas

Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

$$\dfrac{\text{1 table}}{\text{5 tables}} = \dfrac{\text{2 people}}{\text{10 people}}$$

Para los siguientes 10 problemas, resolver cada proporción.

Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

$$\dfrac{x}{5} = \dfrac{6}{15}$$

Contestar

$$x = 2$$

Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

$$\dfrac{x}{10} = \dfrac{28}{40}$$

Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

$$\dfrac{5}{x} = \dfrac{10}{16}$$

Contestar

$$x = 8$$

Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

$$\dfrac{13}{x} = \dfrac{39}{60}$$

Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{x}{24}$$

Contestar

$$x = 8$$

Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

$$\dfrac{7}{12} = \dfrac{x}{60}$$

Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

$$\dfrac{8}{3} = \dfrac{72}{x}$$

Contestar

$$x = 27$$

Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

$$\dfrac{16}{1} = \dfrac{48}{x}$$

Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

$$\dfrac{x}{25} = \dfrac{200}{125}$$

Contestar

$$x = 40$$

Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

$$\dfrac{65}{30} = \dfrac{x}{60}$$

Para los siguientes 5 problemas, expresar cada oración como una proporción y luego resolver la proporción.

Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

5 sombreros son a 4 abrigos ya que los$$x$$ sombreros son a 24 abrigos.

Contestar

$$x = 30$$

Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

$$x$$los cojines son para 2 sofás ya que 24 cojines son para 16 sofás.

Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

1 nave espacial es a 7 astronautas ya que 5 naves espaciales son para$$x$$ astronautas.

Contestar

$$x = 35$$

Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

56 microchips son para placas de$$x$$ circuito ya que 168 microchips son a 3 placas de circuito.

Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

18 calculadoras son a 90 calculadoras ya que$$x$$ los estudiantes son a 150 estudiantes.

Contestar

$$x = 30$$

Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

$$x$$dólares son a \$40.000 ya que 2 sacos son a 1 saco.

Indicar si la proporción es verdadera o falsa.

Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

$$\dfrac{3}{16} = \dfrac{12}{64}$$

Contestar

true

Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

$$\dfrac{2}{15} = \dfrac{10}{75}$$

Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

$$\dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{30}$$

Contestar

false

Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

$$\dfrac{\text{6 knives}}{\text{7 forks}} = \dfrac{\text{12 knives}}{\text{15 forks}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

$$\dfrac{\text{33 miles}}{\text{1 gallon}} = \dfrac{\text{99 miles}}{\text{3 gallons}}$$

Contestar

true

Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

$$\dfrac{\text{320 feet}}{\text{5 seconds}} = \dfrac{\text{65 feet}}{\text{1 second}}$$

Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

$$\dfrac{\text{35 students}}{\text{70 students}} = \dfrac{\text{1 class}}{\text{2 classes}}$$

Contestar

true

Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

$$\dfrac{\text{9 ml chloride}}{\text{45 ml chloride}} = \dfrac{\text{1 test tube}}{\text{7 test tubes}}$$

#### Ejercicios para la revisión

Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

([link]) Usa los números 5 y 7 para ilustrar la propiedad conmutativa de la suma.

Contestar

$$5 + 7 = 12$$
$$7 + 5 = 12$$

Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

([link]) Usa los números 5 y 7 para ilustrar la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

([link]) Encuentra la diferencia. $$\dfrac{5}{14} - \dfrac{3}{22}$$.

Contestar

$$\dfrac{17}{77}$$

Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

([link]) Encuentra el producto. $$8.06129 \cdot 1,000$$.

Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

([link]) Escribe la forma fraccionaria simplificada de la tasa “dieciséis frases a dos párrafos”.

Contestar

$$\dfrac{\text{8 sentences}}{\text{1 paragraph}}$$

This page titled 7.2: Proporciones is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .