8.1: Estimación por redondeo

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Objetivos de aprendizaje

entender el motivo de la estimación
ser capaz de estimar el resultado de una suma, multiplicación, resta o división usando la técnica de redondeo

Al iniciar un cálculo, es valioso tener una idea de qué valor esperar para el resultado. Cuando se completa un cómputo, es valioso saber si el resultado es razonable.

En el proceso de redondeo, es importante señalar dos hechos:

El redondeo que se realiza en estimación no siempre sigue las reglas de redondeo discutidas en [link] (Redondeo de números enteros). Dado que la estimación se refiere al valor esperado de un cálculo, el redondeo se realiza utilizando la conveniencia como guía en lugar de usar reglas de redondeo duras y rápidas. Por ejemplo, si deseamos estimar el resultado de la división\(80 \div 26\) convenientemente dividido por 20 que por 30.
Dado que el redondeo puede ocurrir por conveniencia, y diferentes personas tienen diferentes ideas de lo que puede ser conveniente, los resultados de una estimación realizada por redondeo pueden variar. Para un cálculo en particular, diferentes personas pueden obtener diferentes resultados estimados. Los resultados pueden variar.

Definición: Estimación

La estimación es el proceso de determinar un valor esperado de un cálculo.

Las palabras comunes utilizadas en la estimación son aproximadamente, cerca y entre.

Estimación por redondeo

La técnica de redondeo estima el resultado de un cálculo redondeando los números involucrados en el cálculo a uno o dos dígitos distintos de cero.

Conjunto de Muestras A

Estimar la suma:\(2,357 + 6,106\).

Solución

Observe que 2,357 está cerca\(\underbrace{2,400}_{\text{two nonzero digits}}\) y que 6,106 está cerca\(\underbrace{6,100}_{\text{two nonzero digits}}\)

La suma puede ser estimada por\(2,400 + 6,100 = 8,500\). (Es rápido y fácil de agregar 24 y 61.)

Así,\(2,357 + 6,106\) es de unos 8,400. De hecho,\(2,357 + 6,106 = 8,463\).

Conjunto de práctica A

Estimar la suma:\(4,216 + 3,942\).

Contestar: \(4,216 + 3,942: 4,200 + 3,900\). Alrededor de 8,100. De hecho, 8,158.

Conjunto de práctica A

Estimar la suma:\(812 + 514\).

Contestar: \(812 + 514: 800 + 500\). Alrededor de 1,300. De hecho, mil 326.

Conjunto de práctica A

Estimar la suma:\(43,892 + 92,106\).

Contestar: \(43,892 + 92,106: 44,000 + 92,000\). Alrededor de 136,000. De hecho, 135 mil 998.

Conjunto de Muestras B

Estimar la diferencia:\(5,203 - 3,015\).

Solución

Observe que 5,203 está cerca\(\underbrace{5,200}_{\text{two nonzero digits}}\) y que 3,015 está cerca\(\underbrace{3,000}_{\text{one nonzero digit}}\)

La diferencia puede ser estimada por\(5,200 - 3,000 = 2,200\).

Así,\(5,203 - 3,015\) es de alrededor de 2,200. De hecho,\(5,203 - 3,015 = 2,188\).

Podríamos hacer una estimación menos precisa observando que 5,203 está cerca de 5,000. El número 5,000 tiene solo un dígito distinto de cero en lugar de dos (al igual que 5,200). Este hecho hace que la estimación sea más rápida (pero un poco menos precisa). Luego estimamos la diferencia por\(5,000 - 3,000 =2,000\). y concluimos que\(5,203 - 3,015\) es alrededor de 2,000. Por eso decimos “las respuestas pueden variar”.

Set de práctica B

Estimar la diferencia:\(628 - 413\).

Contestar: 628 − 413:600 − 400. Alrededor de 200. De hecho, 215.

Set de práctica B

Estimar la diferencia:\(7,842 - 5,209\).

Contestar: 7,842 - 5,209:7,800 - 5,200. Alrededor de 2,600. De hecho, 2 mil 633.

Set de práctica B

Estimar la diferencia:\(73,812 - 28,492\).

Contestar: 73,812 - 28,492:74,000 − 28,000. Alrededor de 46,000. De hecho, 45,320.

Conjunto de Muestras C

Estimar el producto:\(73 \cdot 46\).

Solución

Observe que 73 está cerca\(\underbrace{70}_{\text{one nonzero digit}}\) y que 46 está cerca\(\underbrace{50}_{\text{one nonzero digit}}\).

El producto puede ser estimado por\(70 \cdot 50 = 3,500\). (Recordemos que para multiplicar números que terminan en ceros, multiplicamos los dígitos distintos de cero y fijamos a este producto el número total de ceros finales en los factores. Ver [link] para una revisión de esta técnica.)

Así,\(73 \cdot 46\) es de unos 3,500. De hecho,\(73 \cdot 46 = 3,358\).

Conjunto de Muestras C

Estimar el producto:\(87 \cdot 4,316\).

Solución

Observe que 87 está cerca\(\underbrace{90}_{\text{one nonzero digit}}\) y que 4,316 está cerca\(\underbrace{4,000}_{\text{one nonzero digit}}\).

El producto puede ser estimado por\(90 \cdot 4,000 = 360,000\).

Por lo tanto,\(87 \cdot 4,316\) es de alrededor de 360 mil. De hecho,\(87 \cdot 4,316 = 375,492\).

Set de práctica C

Estimar el producto:\(31 \cdot 87\).

Contestar: \(31 \cdot 87 : 30 \cdot 90\). Alrededor de 2,700. De hecho, 2 mil 697.

Set de práctica C

Estimar el producto:\(18 \cdot 42\).

Contestar: \(18 \cdot 42 : 20 \cdot 40\). Alrededor de 800. De hecho, 756.

Set de práctica C

Estimar el producto:\(16 \cdot 94\).

Contestar: \(16 \cdot 94 : 15 \cdot 100\). Alrededor de 1,500. De hecho, 1,504.

Conjunto de Muestras D

Estimar el cociente:\(153 \div 17\).

Solución

Observe que 153 está cerca\(\underbrace{150}_{\text{two nonzero digits}}\) y que 17 está cerca\(\underbrace{15}_{\text{two nonzero digits}}\).

El cociente puede ser estimado por\(150 \div 15 = 10\).

Por lo tanto,\(153 \div 17\) se trata de 10. De hecho,\(153 \div 17 = 9\).

Conjunto de Muestras D

Estimar el cociente:\(742,000 \div 2,400\).

Solución

Observe que 742,000 está cerca\(\underbrace{700,000}_{\text{one nonzero digit}}\) y que 2,400 está cerca\(\underbrace{2,000}_{\text{one nonzero digit}}\).

El cociente puede ser estimado por\(700,000 \div 2,000 = 350\).

Así,\(742,000 \div 2,400\) se trata de 350. De hecho,\(742,000 \div 2,400 = 309.1\overline{6}\).

Set de Práctica D

Estimar el cociente:\(221 \div 18\).

Contestar: \(221 \div 18: 200 \div 20\). Alrededor de 10. De hecho, 12.27.

Set de Práctica D

Estimar el cociente:\(4,079 \div 381\).

Contestar: \(4,079 \div 381: 4,000 \div 400\). Alrededor de 10. De hecho, 10.70603675...

Set de Práctica D

Estimar el cociente:\(609,000 \div 16,000\).

Contestar: \(609,000 \div 16,000: 600,000 \div 15,000\). Alrededor de 10. De hecho, 38.0625.

Juego de Muestras E

Estimar la suma:\(53.82 \div 41.6\).

Solución

Observe que 53.82 está cerca\(\underbrace{54}_{\text{two nonzero digits}}\) y que 41.6 está cerca\(\underbrace{42}_{\text{two nonzero digits}}\).

El cociente puede ser estimado por\(54 + 42 = 96\).

Por lo tanto,\(53.82 + 41.6\) se trata de 96. De hecho,\(53.82 + 41.6 = 95.42\).

Set de práctica E

Estimar la suma:\(61.02 + 26.8\).

Contestar: \(61.02 + 26.8 : 61 + 27\). Alrededor del 88. De hecho, 87.82.

Set de práctica E

Estimar la suma:\(109.12 + 137.88\).

Contestar: \(109.12 + 137.88 : 110 + 138\). Alrededor de 248. De hecho, 247. Podríamos haber estimado 137.88 con 140. Entonces\(110 + 140\) es una adición mental fácil. Concluiríamos entonces que\(109.12 + 137.88\) es alrededor de 250.

Conjunto de Muestras F

Estimar el producto: (31.28) (14.2).

Solución

Observe que 31.28 está cerca\(\underbrace{30}_{\text{one nonzero digit}}\) y que 14.2 está cerca\(\underbrace{15}_{\text{two nonzero digits}}\).

El producto puede ser estimado por\(30 \cdot 15 = 450\). (\(3 \cdot 15 = 45\), luego fijar uno cero.)

Así, (31.28) (14.2) es alrededor de 450. De hecho,\(31.28)(14.2) = 444.176\).

Conjunto de Muestras F

Estima 21% de 5.42.

Solución

Observe que\(21\% = .21\) como decimal, y que .21 está cerca de\(\underbrace{.2}_{\text{one nonzero digit}}\)

Observe también que 5.42 está cerca de\(\underbrace{5.}_{\text{one nonzero digit}}\).

Entonces, 21% de 5.42 puede ser estimado por\((.2)(5) = 1\).

Así, 21% de 5.42 es aproximadamente 1. De hecho, 21% de 5.42 es 1.1382.

Set de práctica F

Estimar el producto: (47.8) (21.1).

Contestar: (47.8) (21.1): (50) (20). Alrededor de 1,000. De hecho, 1,008.58.

Set de práctica F

Estima 32% de 14.88.

Contestar: 32% de 14.88: (.3) (15). Alrededor de 4.5. De hecho, 4.7616.

Ejercicios

Estimar cada cálculo utilizando el método de redondeo. Después de haber hecho una estimación, encuentra el valor exacto y compárelo con el resultado estimado para ver si tu valor estimado es razonable. Los resultados pueden variar.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(1,402 + 2,198\)

Contestar: alrededor de 3,600; de hecho 3,600

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(3,481 + 4,216\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(921 + 796\)

Contestar: alrededor de 1,700; de hecho 1,717

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(611 + 806\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(4,681 + 9,325\)

Contestar: alrededor de 14,000; de hecho 14,006

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(6,476 + 7,814\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(7,805 - 4,266\)

Contestar: alrededor de 3,500; de hecho 3,539

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(8,427 - 5,342\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(14,106 - 8,412\)

Contestar: alrededor de 5.700; de hecho 5.694

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(26,486 - 18,931\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(32 \cdot 53\)

Contestar: alrededor de 1,500; de hecho 1,696

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(67 \cdot 42\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(628 \cdot 891\)

Contestar: alrededor de 540,000; de hecho 559.548

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(426 \cdot 741\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(18,012 \cdot 32,416\)

Contestar: alrededor de 583,200,000; de hecho 583,876,992

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\(22,481 \cdot 51,076\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(287 \div 19\)

Contestar: alrededor de 15; de hecho 15.11

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(884 \div 33\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\(1,254 \div 57\)

Contestar: alrededor de 20; de hecho 22

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(2,189 \div 42\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(8,092 \div 239\)

Contestar: alrededor de 33; de hecho 33.86

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(2,688 \div 48\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(72.14 + 21.08\)

Contestar: alrededor de 93.2; de hecho 93.22

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(43.016 + 47.58\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(96.53 - 26.91\)

Contestar: alrededor de 70; de hecho 69.62

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

\(115.0012 - 25.018\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

\(206.19 + 142.38\)

Contestar: alrededor de 348.6; de hecho 348.57

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\(592.131 + 211.6\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

\((32.12)(48.7)\)

Contestar: alrededor de 1,568.0; de hecho 1,564.244

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

\((87.013)(21.07)\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

\((3.003)(16.52)\)

Contestar: alrededor de 49.5; de hecho 49.60956

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

\((6.032)(14.091)\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

\((114.06)(384.3)\)

Contestar: alrededor de 43,776; de hecho 43,833.258

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

\((5,137.118)(263.56)\)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

\((6.92)(0.88)\)

Contestar: alrededor de 6.21; de hecho 6.0896

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

\((83.04)(1.03)\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

\((17.31)(.003)\)

Contestar: alrededor de 0.0519; de hecho 0.05193

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

\((14.016)(.016)\)

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

93% de 7.01

Contestar: alrededor de 6.3; de hecho 6.5193

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

107% de 12.6

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

32% de 15.3

Responder: alrededor de 4.5; de hecho 4.896

Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

74% de 21.93

Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

18% de 4.118

Responder: alrededor de 0.8; de hecho 0.74124

Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

4% de .863

Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

2% de .0039

Responder: alrededor de 0.00008; de hecho 0.000078

Ejercicios para revisión

Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

Encuentra la diferencia:\(\dfrac{7}{10} - \dfrac{5}{16}\).

Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

Encuentra el valor\(\dfrac{6 - \dfrac{1}{4}}{6 + \dfrac{1}{4}}\).

Responder: \(\dfrac{23}{25}\)

Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

Convierte el decimal complejo\(1.11\dfrac{1}{4}\) a un decimal.

Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

Una mujer de 5 pies de altura proyecta una sombra de 8 pies en un momento particular del día. ¿Qué tan alto es un árbol que proyecta una sombra de 96 pies a la misma hora del día?

Responder: 60 pies de altura

Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

11.62 es 83% de qué número?