11.1: Expresiones algebraicas

Objetivos de aprendizaje

• ser capaz de reconocer una expresión algebraica
• ser capaz de distinguir entre términos y factores
• entender el significado y la función de los coeficientes
• ser capaz de realizar una evaluación numérica

Expresiones algebraicas

Expresión numérica
En aritmética, se produce una expresión numérica cuando los números están conectados por signos de operación aritmética (+, -, ⋅, ÷). Por ejemplo,\(8 + 5\),\(4 - 9\),\(3 \cdot 8\), y\(9 \div 7\) son expresiones numéricas.

Expresión algebraica
En álgebra, las letras se utilizan para representar números, y una expresión algebraica resulta cuando un signo de operación aritmética asocia una letra con un número o una letra con una letra. Por ejemplo,\(x + 8\),\(4 - y\),\(3 \cdot x\)\(x \div 7\), y\(x \cdot y\) son expresiones algebraicas.

Expresiones Las expresiones
numéricas y las expresiones algebraicas a menudo se denominan simplemente expresiones.

Términos y Factores

En álgebra, es sumamente importante poder distinguir entre términos y factores.

Distinción entre términos y factores Los
términos son partes de sumas y, por lo tanto, están conectados por + signos.
Los factores son partes de los productos y por lo tanto están separados por\(\cdot\) signos.

Nota

Al tiempo que hacemos la distinción entre sumas y productos, debemos recordar que la resta y la división son funciones de estas operaciones.

En algunas expresiones aparecerá que los términos están separados por signos menos. Debemos tener en cuenta que la resta es suma de lo contrario, es decir,
\(x - y = x + (-y)\)
en algunas expresiones aparecerá que los factores están separados por signos de división. Debemos tener en cuenta que
\(\dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{1} \cdot \dfrac{1}{y} = x \cdot \dfrac{1}{y}\)

Conjunto de Muestras A

Anotar el número de términos en cada expresión y nombrarlos.

\(x + 4\). En esta expresión,\(x\) y 4 están conectados por un signo “+”. Por lo tanto, son términos. Esta expresión consta de dos términos.

Conjunto de Muestras A

\(y - 8\). La expresión\(y - 8\) se puede expresar como\(y + (-8)\). Ahora podemos ver que esta expresión consiste en los dos términos\(y\) y -8.

En lugar de reescribir la expresión cuando ocurre una resta, podemos identificar términos más rápidamente asociando el signo + o - con la cantidad individual.

Conjunto de Muestras A

\(a + 7 - b - m\). Asociando el signo con las cantidades individuales, vemos que esta expresión consiste en los cuatro términos\(a\), 7,\(-b\),\(-m\).

Conjunto de Muestras A

\(5m - 8n\). Esta expresión consta de los dos términos,\(5m\) y\(-8n\). Observe que el término\(5m\) está compuesto por los dos factores 5 y\(m\). El término\(-8n\) se compone de los dos factores -8 y\(n\).

Conjunto de Muestras A

\(3x\). Esta expresión consiste en un término. Observe que se\(3x\) puede expresar como\(3x + 0\) o\(3x \cdot 1\) (indicando los signos de conexión de la aritmética). Tenga en cuenta que no es necesario ningún signo de operación para la multiplicación.

Conjunto de práctica A

Especificar los términos en cada expresión.

\(x + 7\)

Contestar

\(x, 7\)

Conjunto de práctica A

\(3m - 6n\)

Contestar

\(3m - 6n\)

Conjunto de práctica A

\(5y\)

Contestar

\(5y\)

Conjunto de práctica A

\(a + 2b - c\)

Contestar

\(a, 2b, -c\)

Conjunto de práctica A

\(-3x - 5\)

Contestar

\(-3x, -5\)

Coeficientes

Sabemos que la multiplicación es una descripción de la adición repetida. Por ejemplo,
\(5 \cdot 7\) describe\(7 + 7 + 7 + 7 + 7\)

Supongamos que alguna cantidad está representada por la letra\(x\). La multiplicación\(5x\) describe\(x + x + x + x + x\). Ahora es fácil ver que\(5x\) especifica 5 de las cantidades representadas por\(x\). En la expresión\(5x\), 5 se llama el coeficiente numérico, o más simplemente, el coeficiente de\(x\).

Coeficiente
El coeficiente de una cantidad registra cuántas de esa cantidad hay.

Dado que las constantes por sí solas no registran el número de alguna cantidad, no suelen considerarse como coeficientes numéricos. Por ejemplo, en la expresión\(7x + 2y - 8z + 12\), el coeficiente de

\(7x\)es 7. (Hay\(x\) 7's.)
\(2y\)es 2. (Hay\(y\) 2's.)
\(-8z\)es -8. (\(z\)Hay -8.)

La constante 12 no se considera un coeficiente numérico.

\(1x = x\).

Cuando el coeficiente numérico de una variable es 1, escribimos solo la variable y no el coeficiente. Por ejemplo, escribimos\(x\) más que\(1x\). Está claro con sólo mirar\(x\) que sólo hay uno.

Evaluación Numérica

Sabemos que una variable representa una cantidad desconocida. Por lo tanto, cualquier expresión que contenga una variable representa una cantidad desconocida. Por ejemplo, si\(x\) se desconoce el valor de, entonces\(3x + 5\) se desconoce el valor de. El valor de\(3x + 5\) depende del valor de\(x\).

Evaluación
numérica La evaluación numérica es el proceso de determinar el valor numérico de una expresión algebraica reemplazando las variables en la expresión con números especificados.

Conjunto de Muestras B

Encuentra el valor de cada expresión.

\(2x + 7y\), si\(x = -4\) y\(y = 2\).

Solución

Reemplazar\(x\) con -4 y\(y\) con 2.

\(\begin{array} {rcl} {2x + 7y} & = & {2(-4) + 7(2)} \\ {} & = & {-8 + 14} \\ {} & = & {6} \end{array}\)

Así, cuándo\(x = -4\) y\(y = 2\),\(2x + 7y = 6\).

Conjunto de Muestras B

\(\dfrac{5a}{b} + \dfrac{8b}{12}\), si\(a = 6\) y\(b = -3\).

Solución

Reemplazar\(a\) por 6 y\(b\) con -3.

\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{5a}{b} + \dfrac{8b}{12}} & = & {\dfrac{5(6)}{-3} + \dfrac{8(-3)}{12}} \\ {} & = & {\dfrac{30}{-3} + \dfrac{-24}{12}} \\ {} & = & {-10 + (-2)} \\ {} & = & {-12} \end{array}\)

Así, cuando\(a = 6\) y\(b = -3\),\(\dfrac{5a}{b} + \dfrac{8b}{12} = -12\)

Conjunto de Muestras B

\(6(2a - 15b)\), si\(a = -5\) y\(b = -1\).

Solución

Reemplazar\(a\) con -5 y\(b\) con -1.

\(\begin{array} {rcl} {6(2a - 15b)} & = & {6(2(-5) - 15(-1))} \\ {} & = & {6(-10 + 15)} \\ {} & = & {6(5)} \\ {} & = & {30} \end{array}\)

Así, cuando\(a = -5\) y\(b = -1\),\(6(2a - 15b) = 30\)

Conjunto de Muestras B

\(3x^2 - 2x + 1\), si\(x = 4\)

Solución

Reemplazar\(x\) con 4.

\(\begin{array} {rcl} {3x^2 - 2x + 1} & = & {3(4)^2 - 2(4) + 1} \\ {} & = & {3 \cdot 16 - 2(4) + 1} \\ {} & = & {48 - 8 + 1} \\ {} & = & {41} \end{array}\)

Así, cuando\(x = 4\). \(3x^2 - 2x + 1 = 41.\)

Conjunto de Muestras B

\(-x^2 - 4\), si\(x = 3\)

Solución

Reemplazar\(x\) con 3.

\(\begin{array} {rcl} {-x^2 - 4} & = & {-3^2 - 4 \ \ \ \text{Be careful to square only the 3. The exponent 2 is connected only to 3, not -3}} \\ {} & = & {-9 - 4} \\ {} & = & {-13} \end{array}\)

Conjunto de Muestras B

\((-x)^2 - 4\), si\(x = 3\)

Solución

Reemplazar\(x\) con 3.

\(\begin{array} {rcl} {(-x)^2 - 4} & = & {(-3)^2 - 4 \ \ \ \text{The exponent is connected to -3, not 3 as in problem 5 above.}} \\ {} & = & {9 - 4} \\ {} & = & {5} \end{array}\)

El exponente está conectado a —3, no a 3 como en el problema anterior.

Pracitce Set B

Encuentra el valor de cada expresión.

\(9m - 2n\), si\(m = -2\) y\(n = 5\)

Contestar

-28

Pracitce Set B

\(-3x - 5y + 2z\), si\(x = -4, y = 3, z = 0\)

Contestar

-3

Pracitce Set B

\(\dfrac{10a}{3b} + \dfrac{4b}{2}\), si\(a = -6\), y\(b = 2\)

Contestar

-6

Pracitce Set B

\(8(3m - 5n)\), si\(m = -4\) y\(n = -5\)

Contestar

104

Pracitce Set B

\(3[-40 - 2(4a - 3b)]\), si\(a = -6\) y\(b = 0\)

Contestar

24

Pracitce Set B

\(5y^2 + 6y - 11\), si\(y = -1\)

Contestar

-12

Pracitce Set B

\(-x^2 + 2x + 7\), si\(x = 4\)

Contestar

-1

Pracitce Set B

\((-x)^2 + 2x + 7\), si\(x = 4\)

Contestar

31

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En una expresión algebraica, los términos están separados por signos y los factores están separados por signos.

Contestar

Adición; multiplicación

Para los siguientes 8 problemas, especifique cada término.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(3m + 7n\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(5x + 18y\)

Contestar

\(5x, 18y\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(4a - 6b + c\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(8s + 2r - 7t\)

Contestar

\(8s, 2r, -7t\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(m - 3n - 4a + 7b\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(7a - 2b - 3c - 4d\)

Contestar

\(7a, -2b, -3c, -4d\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(-6a - 5b\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(-x - y\)

Contestar

\(-x, -y\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

¿Cuál es la función de un coeficiente numérico?

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Escribe\(1m\) de una manera más sencilla.

Contestar

\(m\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Escribe 1 s de una manera más sencilla.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

En la expresión 5 a, ¿cuántas a's se indican?

Contestar

5

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

En la expresión —7 c, ¿cuántas c se indican?

Encuentra el valor de cada expresión.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(2m - 6m\), si\(m = -3\) y\(n = 4\)

Contestar

-30

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\(5a + 6b\), si\(a = -6\) y\(b = 5\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(2x - 3y + 4z\), si\(x = 1\),\(y = -1\), y\(z = -2\)

Contestar

-3

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(9a + 6b - 8x + 4y\), si\(a = -2\),\(b = -1\),\(x = -2\), y\(y = 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\(\dfrac{8x}{3y} + \dfrac{18y}{2x}\), si\(x = 9\) y\(y = -2\)

Contestar

-14

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(\dfrac{-3m}{2n} - \dfrac{-6n}{m}\), si\(m = -6\) y\(n = 3\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(4(3r + 2s)\), si\(r = 4\) y\(s = 1\)

Contestar

56

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(3(9a - 6b)\), si\(a = -1\) y\(b = -2\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(-8 (5m + 8n)\), si\(m = 0\) y\(n = -1\)

Contestar

64

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(-2(-6x + y - 2z)\), si\(x = 1, y = 1\), y\(z = 2\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(-(10x - 2y + 5z)\)si\(x = 2, y = 8\), y\(z = -1\)

Contestar

1

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

\(-(a - 3b + 2c - d)\), si\(a = -5, b = 2, c = 0\), y\(d = -1\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

\(3[16 - 3(a + 3b)]\), si\(a = 3\) y\(b = -2\)

Contestar

75

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\(-2[5a + 2b(b - 6)]\), si\(a = -2\) y\(b = 3\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

\(-\{6x + 3y[-2(x + 4y)]\}\), si\(x = 0\) y\(y = 1\)

Contestar

24

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

\(-2\{19 - 6[4 - 2(a - b - 7)]\}\), si\(a = 10\) y\(b = 3\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

\(x^2 + 3x - 1\), si\(x = 5\)

Contestar

39

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

\(m^2 - 2m + 6\), si\(m = 3\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

\(6a^2 + 2a - 15\), si\(a = -2\)

Contestar

5

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

\(5s^2 + 6s + 10\), si\(x = -1\)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

\(16x^2 + 8x - 7\), si\(x = 0\)

Contestar

-7

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

\(-8y^2 + 6y + 11\), si\(y = 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

\((y - 6)^2 + 3(y - 5) + 4\), si\(y = 5\)

Contestar

5

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

\((x + 8)^2 + 4(x + 9) + 1\), si\(x = -6\)

Ejercicios para la revisión

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

Realizar la adición:\(5 \dfrac{3}{8} + 2\dfrac{1}{6}\).

Contestar

\(\dfrac{181}{24} = 7 \dfrac{13}{24}\)

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

Organizar los números en orden de menor a mayor:\(\dfrac{11}{32}\),\(\dfrac{15}{48}\), y\(\dfrac{7}{16}\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

Encuentra el valor de\((\dfrac{2}{3})^2 + \dfrac{8}{27}\)

Contestar

\(\dfrac{20}{27}\)

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

Escribe la proporción en forma fraccional: “9 es a 8 como x es a 7”.

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

Encuentra el valor de\(-3(2 - 6) - 12\)

Contestar

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