11.7: Resumen de conceptos clave

Resumen de Key Concepts

Expresión numérica
Una expresión numérica resulta cuando los números están asociados por signos de operación aritmética. Las expresiones 3 + 5, 9 - 2,\(5 \cdot 6\) y\(8 \div 5\) son expresiones numéricas.

Expresiones algebraicas
Cuando un signo de operación aritmética conecta una letra con un número o una letra con una letra, resulta una expresión algebraica. Las expresiones\(4x + 1, x - 5, 7x \cdot 6y\), y\(4x \div 3\) son expresiones algebraicas.

Términos y Factores Los
términos son partes de sumas y, por lo tanto, están separados por signos de suma (o resta). En la expresión,\(5x - 2y\),\(5x\) y\(-2y\) son los términos. Los factores son partes de los productos y por lo tanto están separados por signos de multiplicación. En la expresión\(5a\), 5 y\(a\) son los factores.

Coeficientes
El coeficiente de una cantidad registra cuántas de esa cantidad hay. En la expresión\(7x\), el coeficiente 7 indica que\(x\) hay siete.

Evaluación
numérica La evaluación numérica es el proceso de determinar el valor de una expresión algebraica reemplazando las variables en la expresión con valores especificados.

Combinando términos similares
Una expresión algebraica puede simplificarse combinando términos similares. Para combinar términos similares, simplemente sumamos o restamos sus coeficientes y luego fijamos la variable. Por ejemplo\(4x + 9x = (4 + 9) x = 13x\).

Ecuación
Una ecuación es una declaración de que dos expresiones son iguales. Los enunciados\(5x + 1 = 3\) y\(\dfrac{4x}{5} + 4 = \dfrac{2}{5}\) son ecuaciones. Las expresiones representan las mismas cantidades.

Ecuación condicional
Una ecuación condicional es una ecuación cuya verdad depende del valor seleccionado para la variable. La ecuación\(3x = 9\) es una ecuación condicional ya que solo es verdadera con la condición de que se seleccione 3 para\(x\).

Soluciones y Resolución de una Ecuación
Los valores que cuando se sustituyen por las variables hacen que la ecuación sea verdadera se denominan las soluciones de la ecuación.
Se ha resuelto una ecuación cuando se han encontrado todas sus soluciones.

Ecuaciones Equivalentes
Las ecuaciones que tienen precisamente las mismas soluciones se denominan ecuaciones equivalentes. Las ecuaciones\(6y = 18\) y\(y = 3\) son ecuaciones equivalentes.

Sudición/resta Propiedad de la Igualdad
Dada cualquier ecuación, podemos obtener una ecuación equivalente mediante

1. agregar el mismo número a ambos lados, o
2. restando el mismo número de ambos lados.

Resolviendo\(x + a = b\) y\(x - a = b\)
Para resolver\(x + a = b\), restar\(a\) de ambos lados.

\(x + a = b\)
\(x + a - b = b - a\)
\(x = b - a\)

Para resolver\(x - a = b\), agregue\(a\) a ambos lados.

\(x - a = b\)
\(x - a + b = b + a\)
\(x = b + a\)

Multiplicación/División Propiedad de la Igualdad
Dada cualquier ecuación, podemos obtener una ecuación equivalente mediante

1. multiplicando ambos lados por el mismo número distinto de cero, es decir, si\(c ne 0\),\(a = b\) y\(a \cdot c = b \cdot c\) son equivalentes.
2. dividiendo ambos lados por el mismo número distinto de cero, es decir, si\(c \ne 0\),\(a = b\) y\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\) son equivalentes.

Resolviendo\(ax = b\) y\(\dfrac{x}{a} = b\)
Para resolver\(ax = b\)\(a \ne 0\),, dividir ambas partes por\(a\).

\(\begin{array} {rcl} {ax} & = & {b} \\ {\dfrac{ax}{a}} & = & {\dfrac{b}{a}} \\ {\dfrac{\cancel{a} x}{\cancel{a}}} & = & {\dfrac{b}{a}} \\ {x} & = & {\dfrac{b}{a}} \end{array}\)

Para resolver\(\dfrac{x}{a} = b, a \ne 0\), multiplicar ambos sdies por\(a\).

\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{x}{a}} & = & {b} \\ {a \cdot \dfrac{x}{a}} & = & {a \cdot b} \\ {\cancel{a} \cdot \dfrac{x}{\cancel{a}}} & = & {a \cdot b} \\ {x} & = & {a \cdot b} \end{array}\)

Traducir palabras a matemáticas
Al resolver problemas aplicados, es importante poder traducir frases y oraciones a expresiones matemáticas y ecuaciones.

El método de cinco pasos para resolver problemas aplicados
Para resolver problemas algebraicamente, es una buena idea utilizar el siguiente procedimiento de cinco pasos.
Después de abrirte camino a través del problema cuidadosamente, frase por frase:

1. Que\(x\) (o alguna otra letra) represente la cantidad desconocida.
2. Traduce las frases y oraciones a símbolos matemáticos y forma una ecuación. Dibuja un cuadro si es posible.
3. Resuelve esta ecuación.
4. Verifique la solución sustituyendo el resultado en la declaración original del problema.
5. Escribe una conclusión.