11.6: Aplicaciones II- Resolución de Problemas

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Objetivos de aprendizaje

estar más familiarizado con el método de cinco pasos para resolver problemas aplicados
ser capaz de utilizar el método de cinco pasos para resolver problemas numéricos y problemas de geometría

El método de cinco pasos

Ahora estamos en condiciones de resolver algunos problemas aplicados utilizando métodos algebraicos. Los problemas que resolveremos están pensados como desarrolladores de lógica. Aunque no parezcan reflejar situaciones reales, sí sirven de base para resolver problemas más complejos, de situación real, aplicados. Para resolver problemas algebraicamente, utilizaremos el método de cinco pasos.

Estrategia para la lectura de problemas
verbales Al resolver problemas matemáticos de palabras, es posible que desee aplicar la siguiente "estrategia de lectura”. Lee el problema rápidamente para tener una idea de la situación. No prestar mucha atención a los detalles. En la primera lectura, demasiada atención a los detalles puede ser abrumadora y llevar a confusión y desaliento. Después de la primera, breve lectura, lee el problema detenidamente en frases. Leer frases introduce la información más lentamente y nos permite absorber y armar información importante. Podemos buscar la cantidad desconocida leyendo una frase a la vez.

Método de cinco pasos para resolver problemas verbales

Que$x$ (o alguna otra letra) represente la cantidad desconocida.
Traducir las palabras a símbolos matemáticos y formar una ecuación. Dibuja un cuadro si es posible.
Resuelve la ecuación.
Verifique la solución sustituyendo el resultado en la declaración original, no en la ecuación, del problema.
Escribe una conclusión.

Si ha sido tu experiencia que los problemas verbales son difíciles, entonces sigue el método de cinco pasos cuidadosamente. La mayoría de las personas tienen problemas con los problemas de la palabra por dos razones:

No son capaces de traducir las palabras a símbolos matemáticos. (Ver [enlace].)
Descuidan paso 1. Después de trabajar en el problema frase por frase, para familiarizarse con la situación,

INTRODUCIR UNA VARIABLE

Problemas con el número

Conjunto de Muestras A

¿Qué número disminuido en seis es cinco?

Solución

Vamos a$n$ representar el número desconocido.
Traducir las palabras a símbolos matemáticos y construir una ecuación. Leer frases.
$\left \{ \begin{array} {lr} {\text{What number: }} & {n} \\ {\text{decreased by:}} & {-} \\ {\text{six:}} & {6} \\ {\text{is:}} & {=} \\ {\text{five:}} & {5} \end{array} \right \} n - 6 = 5$
Resuelve la ecuación.
$n - 6 = 5$Agrega 6 a ambos lados.
$n - 6 + 6 = 5 + 6$
$n = 11$
Consulta el resultado.
Cuando 11 se disminuye en 6, el resultado es$11 - 6$, que es igual a 5. La solución comprueba.
El número es 11.

Conjunto de Muestras A

Cuando tres veces un número se incrementa en cuatro, el resultado es ocho más de cinco veces el número.

Solución

Dejemos$x =$ el número desconocido.
Traducir las frases a símbolos matemáticos y construir una ecuación.
$\left \{ \begin{array} {lr} {\text{When three times a number: }} & {3x} \\ {\text{is increased by:}} & {+} \\ {\text{four:}} & {4} \\ {\text{the result is:}} & {=} \\ {\text{eight:}} & {8} \\ {\text{more than:}} & {+} \\ {\text{five times the number:}} & {5x} \end{array} \right \} 3x + 4 = 5x + 8$
$\begin{array} {ll} {3x + 4 = 5x + 8} & {\text{Subtract 3x from } both \text{ sides.}} \\ {3x + 4 - 3x = 5x + 8 - 3x} & {} \\ {4 = 2x + 8} & {\text{Subtract 8 from } both \text{ sides}} \\ {4 - 8 = 2x + 8 - 8} & {} \\ {-4 = 2x} & {\text{Divide } both \text{ sides by 2.}} \\ {-2 = x} & {} \end{array}$
Consulta el resultado.
Tres veces -2 es -6. Incrementar -6 por 4 resulta en -6 + 4 = -2. Ahora, cinco veces -2 es -10.
Incrementar -10 por 8 resulta en -10 + 8 = -2. Los resultados coinciden, y la solución verifica.
El número es -2.

Conjunto de Muestras A

Los enteros consecutivos tienen la propiedad de que si

$\begin{array} {rcl} {n} & = & {\text{the smallest integer, then}} \\ {n + 1} & = & {\text{the next integer, and}} \\ {n + 2} & = & {\text{the next integer, and so on.}} \end{array}$

Los enteros pares o impares consecutivos tienen la propiedad de que si

$\begin{array} {rcl} {n} & = & {\text{the smallest integer, then}} \\ {n + 2} & = & {\text{the next odd or even integer (since odd or even numbers differ by 2), and}} \\ {n + 4} & = & {\text{the next odd or even integer, and so on.}} \end{array}$

La suma de tres enteros impares consecutivos es igual a uno menos del doble del primer entero impar. Encuentra los tres enteros.

Solución

Let$\begin{array} {rcl} {n} & = & {\text{the first odd integer. Then,}} \\ {n + 2} & = & {\text{the second odd integer, and}} \\ {n + 4} & = & {\text{the third odd integer.}} \end{array}$
Traducir las palabras a símbolos matemáticos y construir una ecuación. Leer frases.
$\left \{ \begin{array} {lr} {\text{The sum of: }} & {\text{add some numbers}} \\ {\text{three consecutive odd integers:}} & {n, n + 2, n + 4} \\ {\text{is equal to:}} & {=} \\ {\text{one less than:}} & {\text{subtract 1 from}} \\ {\text{twice the first odd integer:}} & {2n} \end{array} \right \} n + (n + 2) + (n + 4) = 2n - 1$
$\begin{array} {ll} {n + n + 2 + n + 4 = 2n - 1} & {} \\ {3n + 6 = 2n - 1} & {\text{Subtract } 2n \text{ from } both \text{ sides.}} \\ {3n + 6 - 2n = 2n - 1 - 2n} & {} \\ {n + 6 = -1} & {\text{Subtract 6 from } both \text{ sides}} \\ {n + 6 - 6 = -1 -6} & {} \\ {n = -7} & {\text{The first integer is -7.}} \\ {n + 2 = -7 + 2 = -5} & {\text{The second integer is -5.}} \\ {n + 4 = -7 + 4 = -3} & {\text{The third integer is -3.}} \end{array}$
Consulta este resultado.
La suma de los tres enteros es
$\begin{array} {rcl} {-7 + (-5) + (-3)} & = & {-12 + (-3)} \\ {} & = & {-15} \end{array}$
Uno menos de dos veces el primer entero es$2(-7) - 1 = -14 - 1 = -15$. Dado que estos dos resultados son iguales, la solución verifica.
Los tres enteros impares son -7, -5, -3.

Conjunto de práctica A

Cuando tres veces un número se disminuye en 5, el resultado es -23. Encuentra el número.

Let$x =$
Comprobar:
El número es.

Contestar: -6

Conjunto de práctica A

Cuando cinco veces un número se incrementa en 7, el resultado es cinco menos que siete veces el número. Encuentra el número.

Let$n =$
Comprobar:
El número es.

Contestar: 6

Conjunto de práctica A

Dos números consecutivos se suman a 35. Encuentra los números.

Comprobar:
Los números son y.

Contestar: 17 y 18

Conjunto de práctica A

La suma de tres enteros pares consecutivos es seis más de cuatro veces el entero medio. Encuentra los enteros.

Deje que$x =$ el entero más pequeño.
= siguiente entero.
= entero más grande.
Comprobar:
El número son,. y.

Contestar: -8, -6 y -4

Problemas de geometría

Conjunto de Muestras B

El perímetro (longitud alrededor) de un rectángulo es de 20 metros. Si el largo es 4 metros más largo que el ancho, encuentra el largo y ancho del rectángulo.

Solución

Deja que$x =$ el ancho del rectángulo. Entonces,
$x + 4 =$ la longitud del rectángulo.
Podemos dibujar un precio.
$Un rectángulo con longitud base la cantidad x + 4 y altura x.$
La longitud alrededor del rectángulo es
$\underbrace{x}_{\text{width}} + \underbrace{(x + 4)}_{\text{length}} + \underbrace{x}_{\text{width}} + \underbrace{(x + 4)}_{\text{length}} = 20$
$\begin{array} {ll} {x + x + 4 + x + x + 4 = 20} & {} \\ {4x + 8 = 20} & {\text{Subtract 8 from } both \text{ sides.}} \\ {4x = 12} & {\text{Divide } both \text{ sides by 4.}} \\ {x = 3} & {\text{Then,}} \\ {x + 4 = 3 + 4 = 7} & {} \end{array}$
Comprobar:
$Un rectángulo con longitud base 7 y altura 3.$
La longitud del rectángulo es de 7 metros.
El ancho del rectángulo es de 3 metros.

Pracitce Set B

El perímetro de un triángulo es de 16 pulgadas. El segundo tramo es 2 pulgadas más largo que el primer tramo, y el tercer tramo es 5 pulgadas más largo que el primer tramo. Encuentra la longitud de cada pierna.

Dejar$x =$ largo de la primera pierna.
= longitud del partido de vuelta.
= longitud de la tercera pata.
Podemos dibujar un cuadro.
Comprobar:
Las longitudes de las piernas son,, y.

Contestar: 3 pulgadas, 5 pulgadas y 8 pulgadas

Ejercicios

Para los siguientes 17 problemas, encuentre cada solución utilizando el método de cinco pasos.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

¿Qué número disminuido en nueve es quince?

Deja que$n =$ el número.
Comprobar:
El número es.

Contestar: 24

Ejercicio$\PageIndex{2}$

¿Qué número incrementado en doce es veinte?

Deja que$n =$ el número.
Comprobar:
El número es.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Si cinco más de tres veces un número es treinta y dos, ¿cuál es el número?

Deja que$x =$ el número.
Comprobar:
El número es.

Contestar: 9

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Si cuatro veces un número se incrementa en quince, el resultado es cinco. ¿Cuál es el número?

Let$x =$
Comprobar:
El número es.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Cuando tres veces una cantidad se disminuye cinco veces la cantidad, el resultado es negativo veinte. ¿Cuál es la cantidad?

Let$x =$
Comprobar:
La cantidad es.

Contestar: 10

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Si cuatro veces una cantidad se disminuye nueve veces la cantidad, el resultado es diez. ¿Cuál es la cantidad?

Let$y = $
Comprobar:
La cantidad es.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Cuando cinco se suma a tres veces algún número, el resultado es igual a cinco veces el número disminuido en siete. ¿Cuál es el número?

Let$n =$
Comprobar:
El número es.

Contestar: 6

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Cuando seis veces una cantidad se disminuye en dos, el resultado es seis más de siete veces la cantidad. ¿Cuál es la cantidad?

Let$x =$
Comprobar:
La cantidad es.

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Cuando cuatro se disminuye tres veces algún número, el resultado es igual a uno menos del doble del número. ¿Cuál es el número?

Comprobar:

Contestar: 1

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Cuando se resta dos veces un número de uno, el resultado es igual a veintiún más que el número. ¿Cuál es el número?

Ejercicio$\PageIndex{11}$

El perímetro de un rectángulo es de 36 pulgadas. Si la longitud del rectángulo es 6 pulgadas más que el ancho, busque la longitud y la anchura del rectángulo.

Deja que$w =$ el ancho.
= la longitud.
Podemos dibujar un cuadro.
$Un rectángulo.$
Comprobar:
La longitud del rectángulo es pulgadas, y el ancho es pulgadas.

Contestar: Longitud=12 pulgadas, Ancho=6 pulgadas

Ejercicio$\PageIndex{12}$

El perímetro de un rectángulo es de 48 pies. Encuentra el largo y el ancho del rectángulo si el largo es 8 pies más que el ancho.

Deja que$w =$ el ancho.
= la longitud.
Podemos dibujar un cuadro.
$Un rectángulo.$
Comprobar:
La longitud del rectángulo es pies, y el ancho es pies.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

La suma de tres enteros consecutivos es 48. ¿Qué son?

Deje que$n =$ el entero más pequeño.
= el siguiente entero
= el siguiente entero
Comprobar:
Los tres enteros son,, y.

Contestar: 15, 16, 17

Ejercicio$\PageIndex{14}$

La suma de tres enteros consecutivos es -27. ¿Qué son?

Deje que$n =$ el número más pequeño.
= el siguiente entero.
= el siguiente entero.
Comprobar:
Los tres enteros son,, y.

Ejercicio$\PageIndex{15}$

La suma de cinco enteros consecutivos es cero. ¿Qué son?

Let$n =$
Los cinco enteros son,,,, y.

Contestar: -2, -1, 0, 1, 2

Ejercicio$\PageIndex{16}$

La suma de cinco enteros consecutivos es -5. ¿Qué son?

Let$n =$
Los cinco enteros son,,,, y.

Continúe usando el procedimiento de cinco pasos para encontrar las soluciones.

Ejercicio$\PageIndex{17}$

El perímetro de un rectángulo es de 18 metros. Encuentra el largo y ancho del rectángulo si el largo es de 1 metro más de tres veces el ancho.

Contestar: La longitud es 7, la anchura es 2

Ejercicio$\PageIndex{18}$

El perímetro de un rectángulo es de 80 centímetros. Encuentra el largo y ancho del rectángulo si el largo es de 2 metros menos de cinco veces el ancho.

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Encuentra el largo y ancho de un rectángulo con perímetro de 74 pulgadas, si el ancho del rectángulo es de 8 pulgadas menos del doble de la longitud.

Contestar: El largo es 15, el ancho es 22

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Encuentra el largo y ancho de un rectángulo con perímetro de 18 pies, si el ancho del rectángulo es de 7 pies menos de tres veces la longitud.

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Una persona comete un error al copiar información respecto a un rectángulo en particular. La información copiada es la siguiente: La longitud de un rectángulo es de 5 pulgadas menos que dos veces el ancho. El perímetro del rectángulo es de 2 pulgadas. ¿Cuál es el error?

Contestar: El perímetro es de 20 pulgadas. Otras respuestas son posibles. Por ejemplo, son posibles perímetros como 26, 32.

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Una persona comete un error al copiar información respecto a un triángulo en particular. La información copiada es la siguiente: Dos lados de un triángulo tienen la misma longitud. El tercer lado tiene 10 pies menos que tres veces la longitud de uno de los otros lados. El perímetro del triángulo es de 5 pies. ¿Cuál es el error?

Ejercicio$\PageIndex{23}$

El perímetro de un triángulo es de 75 metros. Si cada una de las dos piernas es exactamente el doble de la longitud de la pierna más corta, ¿cuánto dura la pierna más corta?

Contestar: 15 metros

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Si cinco se resta de cuatro veces algún número el resultado es negativo veintinueve. ¿Cuál es el número?

Ejercicio$\PageIndex{25}$

Si dos se resta de diez veces algún número, el resultado es negativo dos. ¿Cuál es el número?

Contestar: $n = 0$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

Si tres menos de seis veces un número es igual a cinco veces el número menos tres, ¿cuál es el número?

Ejercicio$\PageIndex{27}$

Si uno se agrega a negativo cuatro veces un número el resultado es igual a ocho menos de cinco veces el número. ¿Cuál es el número?

Contestar: $n = 1$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

Encuentra tres enteros consecutivos que sumen a -57.

Ejercicio$\PageIndex{29}$

Encuentra cuatro enteros consecutivos que sumen a dos negativos.

Contestar: -2, -1, 0, 1

Ejercicio$\PageIndex{30}$

Encuentra tres enteros pares consecutivos que sumen a -24.

Ejercicio$\PageIndex{31}$

Encuentra tres enteros impares consecutivos que sumen a -99.

Contestar: -35, -33, -31

Ejercicio$\PageIndex{32}$

Supongamos que alguien quiere encontrar tres enteros impares consecutivos que se suman a 120. ¿Por qué esa persona no podrá hacerlo?

Ejercicio$\PageIndex{33}$

Supongamos que alguien quiere encontrar dos enteros pares consecutivos que se suman a 139. ¿Por qué esa persona no podrá hacerlo?

Contestar: ... porque la suma de cualquier número par (en este caso, 2) o enteros pares (consecutivos o no) es par y, por lo tanto, no puede ser impar (en este caso, 139)

Ejercicio$\PageIndex{34}$

Tres números se suman a 35. El segundo número es cinco menos que dos veces el más pequeño. El tercer número es exactamente el doble del más pequeño. Encuentra los números.

Ejercicio$\PageIndex{35}$

Tres números se suman a 37. El segundo número es uno menos de ocho veces el más pequeño. El tercer número es dos menos de once veces el más pequeño. Encuentra los números.

Contestar: 2, 15, 20

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$\PageIndex{36}$

Encuentra la representación decimal de$0.34992 \div 4.32$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

Una mujer de 5 pies proyecta una sombra de 9 pies en un momento particular del día. ¿Qué altura tiene una persona que proyecta una sombra de 10.8 pies a la misma hora del día?

Contestar: 6 pies de altura

Ejercicio$\PageIndex{38}$

Utilice el método de redondeo para estimar la suma:$4 \dfrac{5}{12} + 15 \dfrac{1}{25}$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

Convierta 463 mg en cg.

Contestar: 46.3 cg

Ejercicio$\PageIndex{40}$

Dos veces se agrega un número a 5. El resultado es 2 menos que tres veces el número. ¿Cuál es el número?