1.1: Una introducción a los números enteros
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Un conjunto es una colección de objetos. Si el conjunto es finito, podemos describir el conjunto completamente simplemente enumerando todos los objetos del conjunto y encerrando la lista en llaves. Por ejemplo, el conjunto
\( S=\{dog, \text { cat, parakeet }\}\)
es el conjunto cuyos miembros son “perro”, “gato” y “periquito”. Si el conjunto es infinito, entonces necesitamos ser más inteligentes con nuestra descripción. Por ejemplo, el conjunto de números naturales (o números de conteo) es el conjunto
\( \mathbb{N}=\{1,2,3,4,5, \ldots\}.\)
Debido a que este conjunto es infinito (hay un número infinito de números naturales), no podemos enumerarlos todos. En cambio, enumeramos los primeros y luego los seguimos con “tres puntos”, que esencialmente significan “etcétera”. La implicación es que el lector ve el patrón pretendido y luego puede intuir los números restantes en el conjunto. ¿Ves que los siguientes números son 6, 7, 8, 9, etc.?
Si agregamos el número cero al conjunto de números naturales, entonces tenemos un conjunto de números que se llaman los números enteros.
Los números enteros
El conjunto
\( \mathbb{W}=\{0,1,2,3,4,5, \dots\}\)
se llama el conjunto de números enteros.
Los números enteros serán nuestro foco en lo que resta de este capítulo.
Graficar números en la línea numérica
Es una cuestión sencilla establecer una correspondencia entre los números enteros y los puntos en una recta numérica. Primero, dibuje una línea numérica y luego establezca una marca de verificación en cero.
El siguiente paso es declarar una unidad de longitud.
El resto de los números enteros ahora caen fácilmente en su lugar en la línea numérica.
Cuando se le solicite graficar un número entero en una recta numérica, sombree en un punto sólido en la posición de la recta numérica que corresponda al número entero dado.
Ejemplo 1.
Grafica los números enteros 1, 3 y 5 en la recta numérica.
Solución
Sombra los números 1, 3 y 5 en la recta numérica como puntos sólidos.
Ejercicio
Grafica los números enteros 3, 4 y 6 en la recta numérica.
Ordenar los números enteros
Ahora que tenemos una correspondencia entre los números enteros y los puntos en la recta numérica, podemos ordenar los números enteros de una manera natural. Tenga en cuenta que a medida que se mueve hacia la izquierda a lo largo de la línea numérica, los números se hacen más pequeños; a medida que se mueve hacia la derecha, los números se hacen Esto inspira la siguiente definición.
Ordenar los números enteros
Supongamos que a y b son números enteros ubicados en la recta numérica de manera que el punto que representa el número entero a se encuentra a la izquierda del punto que representa el número entero b.
Entonces el número entero a es “menor que” el número entero b y escribe
a < b.
Alternativamente, también podemos decir que el número entero b es “mayor que” el número entero a y escribir
b > a.
Propiedad Comparativa
Al comparar dos números enteros a y b, solo una de tres posibilidades es cierta:
a < b o a = b o a > b.
Ejemplo 2.
Compara los números enteros 25 y 31.
Solución
En la línea numérica, 25 se encuentra a la izquierda de 31.
Por lo tanto, 25 es menor que 31 y escribe 25 < 31. Alternativamente, también podríamos señalar que 31 se encuentra a la derecha de 25. Por lo tanto, 31 es mayor que 25 y escribir 31 > 25.
Ejercicio
Compara los números enteros 18 y 12.
- Contestar
-
18 > 12.
Notación expandida
Los números enteros
\( D=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)
se llaman dígitos y se utilizan para construir números enteros más grandes. Por ejemplo, consideremos el número entero 222 (pronunciado “doscientos veintidós”). Se compone de tres dos, pero la posición de cada dos describe un significado o valor diferente.
- Los dos primeros están en la posición de “cientos” y representan dos cientos o 200.
- El segundo dos está en la posición de “decenas” y representa dos decenas o 20.
- El tercero dos está en la posición “unos” y representa dos unos o 2.
Considera el número mayor 123,456,789. En la siguiente tabla se muestra el valor posicional de cada dígito.
En “notación expandida”, escribiríamos
1 cien millones + 2 diez millones + 3 millones + 4 cientos miles + 5 diez miles + 6 miles + 7 cientos + 8 decenas + 9 unos.
Leemos el número 123 mil 456 789 como “ciento veintitrés millones, cuatrocientos cincuenta y seis mil setecientos ochenta y nueve”.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo 3.
Escribe el número 23,712 en notación expandida, luego pronuncia el resultado.
Solución
En notación expandida, 23,712 se convierte en
2 diez miles + 3 miles + 7 cientos + 1 diez + 2 unos.
Esto se pronuncia “veintitrés mil setecientos doce”.
Ejercicio
Escribe el número 54,615 en notación expandida. Pronunciar el resultado.
Ejemplo 4.
Escribe el número 203,405 en notación expandida, luego pronuncia el resultado.
Solución
En notación expandida, 203,405 se convierte en
2 cientos miles + 0 diez miles + 3 miles + 4 cientos + 0 decenas + 5 unos.
Dado que 0 diez miles es cero y 0 decenas también es cero, esto también se puede escribir
2 cientos miles + 3 miles + 4 cientos + 5 unos.
Esto se pronuncia “doscientos tres mil cuatrocientos cinco”.
Ejercicio
Escribe el número 430,705 en notación expandida. Pronunciar el resultado.
- Contestar
-
9,440
Redondeo de números enteros
Cuando se necesita menos precisión, redondeamos los números a un lugar en particular. Por ejemplo, supongamos que el dueño de una tienda necesita aproximadamente 87 cajas de clavos de diez peniques, pero solo se pueden pedir en cajas que contengan diez cajas.
Tenga en cuenta que 87 está ubicado más cerca de 9 decenas (o 90) que a 8 decenas (u 80). Así, redondeado al diez más cercano, 87 ≈ 90 (87 aproximadamente equivale a 90). El dueño de la tienda decide que 90 cajas es probablemente una mejor opción para sus necesidades. Por otro lado, el mismo dueño de la tienda estima que necesitará 230 bolsas de peatmoss para su sección de jardín.
Tenga en cuenta que 230 está más cerca de 2 cientos (o 200) que de 3 cientos (o 300). Al dueño de la tienda le preocupa que pudiera haber sobreestimado su necesidad, por lo que redondea al cien más cercano, 230 ≈ 200 (230 equivale aproximadamente a 200). Hay un conjunto simple de reglas a seguir al redondear.
Reglas para redondear
Para redondear un número a un lugar en particular, siga estos pasos:
1. Marque el lugar al que desea redondear. A esto se le llama el dígito de redondeo.
2. Comprueba el siguiente dígito a la derecha de tu dígito marcado en el paso 1. Esto se llama el dígito de prueba.
a) Si el dígito de prueba es mayor o igual a 5, agregue 1 al dígito de redondeo y reemplace todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo por ceros.
b) Si el dígito de prueba es menor que 5, mantenga el dígito de redondeo igual y reemplace todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo por cero
Intentemos estas reglas con un ejemplo o dos.
Ejemplo 5
Redondea el número 8,769 al diez más cercano.
Solución
Marque los dígitos de redondeo y prueba.
Ejercicio
Redondea el número 9,443 al diez más cercano.
El dígito de prueba es mayor que 5. Las “Reglas para redondear” requieren que agreguemos 1 al dígito de redondeo, luego hagamos todos los dígitos a la derecha de los ceros de los dígitos de redondeo. Así, redondeado al diez más cercano,
8, 769 ≈ 8, 770.
Es decir, 8,769 es aproximadamente igual a 8,770.
Notación matemática.
El símbolo
≈
significa aproximadamente igual.
Ejemplo 6.
Redondea el número 4,734 al cien más cercano.
Solución
Marque los dígitos de redondeo y prueba.
El dígito de prueba es menor a 5. Las “Reglas para redondear” requieren que mantengamos igual el dígito de redondeo, luego hagamos todos los dígitos a la derecha de los ceros de los dígitos de redondeo. Así, redondeado al cien más cercano,
4, 734 ≈ 4, 700.
| Año | 1965 | 1975 | 1985 | 1995 | 2005 |
| CO atmosférico 2 | 319 | 330 | 344 | 359 | 378 |
Tablas y Gráficas
Leer datos en forma gráfica es una habilidad importante. Los datos del Cuadro 1.1 proporcionan medidas del contenido de dióxido de carbono (CO 2) en la atmósfera, recopilados en el mes de enero en el observatorio en lo alto de Mauna Loa en Hawai.
En la Figura 1.1 (a), se utiliza un gráfico de barras para mostrar las mediciones de dióxido de carbono. El año en que se tomó la medición se coloca en el eje horizontal, y la altura de cada barra equivale a la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera durante ese año.
En la Figura 1.1 (b), se utiliza un gráfico de líneas para mostrar las mediciones de dióxido de carbono. Nuevamente, las fechas de medición se colocan en el eje horizontal, y la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera se coloca en el eje vertical. En lugar de usar la altura de una barra para representar la medición de dióxido de carbono, colocamos un punto a una altura que representa el contenido de monóxido de carbono. Una vez que se grafica cada punto de datos, conectamos puntos de datos consecutivos con segmentos de línea.
Ejercicios
En los Ejercicios 1-12, dibuje los números enteros dados en una recta numérica, luego organícelos en orden, de menor a mayor.
1. 2, 8 y 4
2. 2, 7 y 4
3. 1, 8 y 2
4. 0, 4 y 3
5. 0, 4 y 1
6. 3, 6 y 5
7. 4, 9 y 6
8. 2, 4 y 3
9. 0, 7 y 4
10. 2, 8 y 6
11. 1, 6 y 5
12. 0, 9 y 5
En los Ejercicios 13-24, cree un diagrama de líneas numéricas para determinar cuál de las dos afirmaciones dadas es verdadera.
13. 3 < 8 or 3 > 8
14. 44 < 80 or 44 > 80
15. 59 < 24 or 59 > 24
16. 15 < 11 or 15 > 11
17. 0 < 74 or 0 > 74
18. 11 < 18 or 11 > 18
19. 1 < 81 or 1 > 81
20. 65 < 83 or 65 > 83
21. 43 < 1 or 43 > 1
22. 62 < 2 or 62 > 2
23. 43 < 28 or 43 > 28
24. 73 < 21 or 73 > 21
25. ¿Qué dígito está en la columna de miles del número 2,054,867,372?
26. ¿Qué dígito está en la columna de cientos del número 2,318,999,087?
27. ¿Qué dígito está en la columna de cien miles del número 8,311,900,272?
28. ¿Qué dígito está en la columna de decenas del número 1,143,676,212?
29. ¿Qué dígito está en la columna de cien millones del número 9,482,616,000?
30. ¿Qué dígito está en la columna de cientos del número 375,518,067?
31. ¿Qué dígito está en la columna de diez millones del número 5,840,596,473?
32. ¿Qué dígito está en la columna de cien miles del número 6,125,412,255?
33. ¿Qué dígito está en la columna de cien millones del número 5,577,422,501?
34. ¿Qué dígito está en la columna de miles del número 8,884,966,835?
35. ¿Qué dígito está en la columna de decenas del número 2,461,717,362?
36. ¿Qué dígito está en la columna de diez millones del número 9,672,482,548?
37. Redondea el número 93, 857 al mil más cercano.
38. Redondea el número 56, 872 al mil más cercano.
39. Redondea el número 9, 725 al diez más cercano.
40. Redondea el número 6, 815 al diez más cercano.
41. Redondea el número 58, 739 al cien más cercano.
42. Redondea el número 93, 146 al cien más cercano.
43. Redondea el número 2, 358 al diez más cercano.
44. Redondea el número 8, 957 al diez más cercano.
45. Redondea el número 39, 756 al mil más cercano.
46. Redondea el número 24, 965 al mil más cercano.
47. Redondea el número 5, 894 al diez más cercano.
48. Redondea el número 3, 281 al diez más cercano.
49. Redondea el número 56, 123 al cien más cercano.
50. Redondea el número 49, 635 al cien más cercano.
51. Redondea el número 5, 483 al diez más cercano.
52. Redondea el número 9, 862 al diez más cercano.
53. Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, la población estimada de Estados Unidos es de 304,059,724 a julio de 2008. Redondear a los cien mil más cercanos.
54. Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, la población estimada de California es de 36,756,666 a julio de 2008. Redondear a los cien mil más cercanos.
55. Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, la población estimada del condado de Humboldt es de 129,000 a julio de 2008. Redondear a los diez mil más cercanos.
56. Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, la población estimada del estado de Alaska era de 686.293 a julio de 2008. Redondear a los diez mil más cercanos.
57. El siguiente gráfico de barras muestra el precio promedio (en centavos) de un galón de gasolina regular en Estados Unidos durante cinco semanas consecutivas en 2009, que van desde el 18 de mayo (5/18) hasta el 22 de junio (6/22). ¿Cuál era el precio (en centavos) de un galón de gasolina regular el 1 de junio de 2009?
58. El siguiente gráfico de barras muestra el índice NASDAQ semanal promedio durante cinco semanas consecutivas en 2009, comenzando con la semana que comienza el 1 de febrero (2/1) y termina con la semana que comienza el 1 de marzo (3/1). ¿Cuál fue el índice NASDAQ promedio para la semana que inició el 8 de febrero de 2009?
59. La población del condado de Humboldt se divide en tramos de edad en la siguiente tabla. Fuente: WolframAlpha.
\( \begin{array}{c|c}{\text { Age in years }} & {\text { Number }} \\ \hline {\text { under } 5} & {7,322} \\ {5-18} & {26,672} \\ {18-65} & {78,142} \\ {\text { over } 65} & {16,194} \\ \hline\end{array}\)
Cree un gráfico de barras para este conjunto de datos con una barra para cada categoría de edad.
60. En la siguiente tabla se reportan las cinco ciudades con mayor número de delitos violentos denunciados en el año 2007. Fuente: Wikipedia.
\( \begin{array}{c|c}{\text { City }} & {\text { Violent Crimes }} \\ \hline \text { Setroit } & {2,289} \\ {\text { St. Louis }} & {2,196} \\ {\text { Memphis }} & {1,951} \\ {\text { Oakland }} & {1,918} \\ {\text { Baltimore }} & {1,631} \\ \hline\end{array}\)
Cree un gráfico de barras para este conjunto de datos con una barra para cada ciudad.
61. El siguiente gráfico de barras rastrea los ataques piratas frente a las costas de Somalia.
Fuente: ICC International Maritime Bureau, AP Times-Standard, 4/15/2009
a) ¿Cuántos ataques piratas hubo en 2003?
b) ¿Cuántos ataques piratas hubo en 2008?
62. Un equipo de estudiantes separó un tazón pequeño de M y M's en cinco pilas por color. La siguiente gráfica de líneas indica el número de M y M de cada color.
¿Cuántas M y M rojas había en el tazón?
63. Un equipo de estudiantes separó un tazón pequeño de M y M's en cinco pilas por color. La siguiente gráfica de líneas indica el número de M y M de cada color.
¿Cuántas M y M rojas había en el tazón?
64. Un equipo de estudiantes separó un tazón pequeño de M y M's en cinco pilas por color. En la siguiente tabla se indica el número de M y M de cada color.
\( \begin{array}{c|c}{\text { Color }} & {\text { Number }} \\ \hline \text { Red } & {5} \\ {\text { Green }} & {9} \\ {\text { Blue }} & {7} \\ {\text { Yellow }} & {2} \\ {\text { Brown }} & {3} \\ \hline\end{array}\)
Cree una gráfica de línea para los datos M y M. En el eje horizontal, organice los colores en el mismo orden que se presenta en la tabla anterior.
65. Un equipo de estudiantes separó un tazón pequeño de M y M's en cinco pilas por color. En la siguiente tabla se indica el número de M y M de cada color.
\( \begin{array}{c|c}{\text { Color }} & {\text { Number }} \\ \hline \text { Red } & {3} \\ {\text { Green }} & {7} \\ {\text { Blue }} & {2} \\ {\text { Yellow }} & {4} \\ {\text { Brown }} & {9} \\ \hline\end{array}\)
Cree una gráfica de línea para los datos M y M. En el eje horizontal, organice los colores en el mismo orden que se presenta en la tabla anterior.
66. Conteo de salmón. En la tabla se muestra el número de salmones coho adultos que regresaron al río Shasta en los últimos cuatro años. Redondear el conteo de salmones por cada año al diez más cercano. Times-Standard Shasta River coho rescate en marcha.
\( \begin{array}{r|c}{\text { Year }} & {\text { Salmon count }} \\ \hline 2007 & {300} \\ {2008} & {31} \\ {2009} & {9} \\ {2010} & {4} \\ \hline\end{array}\)
RESPUESTAS
1. De menor a mayor: 2, 4 y 8.
3. De menor a mayor: 1, 2 y 8.
5. De menor a mayor: 0, 1 y 4.
7. De menor a mayor: 4, 6 y 9.
9. De menor a mayor: 0, 4 y 7.
11. De menor a mayor: 1, 5 y 6.
13.
Por lo tanto, 3 < 8.
15.
Por lo tanto, 59 > 24.
17.
Por lo tanto, 0 < 74.
19.
Por lo tanto, 1 < 81.
21.
Por lo tanto, 43 > 1.
23.
Por lo tanto, 43 > 28.
25. 7
27. 9
29. 4
31. 4
33. 5
35. 6
37. 94000
39. 9730
41. 58700
43. 2360
45. 40000
47. 5890
49. 56100
51. 5480
53. 304,100,000
55. 130,000
57. Aproximadamente 252 centavos
59.
61.
a) Aproximadamente 21
b) Aproximadamente 111
63. 9
65.
