4.2.8: ¿Cuándo son iguales?

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Lección

Usemos ecuaciones para pensar en situaciones.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Which Would You Choose?

Si estuvieras cuidando niños, preferirías

¿Cobrar $5 por la primera hora y $8 por cada hora adicional?

¿Cobrar $15 por la primera hora y $6 por cada hora adicional?

Explica tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Water Tanks

La cantidad de agua en dos tanques cada 5 minutos se muestra en la tabla.

Mesa$\PageIndex{1}$
tiempo (minutos)	tanque 1 (litros)	tanque 2 (litros)
$0$	$25$	$1000$
$5$	$175$	$900$
$10$	$325$	$800$
$15$	$475$	$700$
$20$	$625$	$600$
$25$	$775$	$500$
$30$	$925$	$400$
$35$	$1075$	$300$
$40$	$1225$	$200$
$45$	$1375$	$100$
$50$	$1525$	$0$

Describa lo que sucede en cada tanque. O dibuja un cuadro, dilo verbalmente o escribe algunas frases.
Usa la tabla para estimar cuándo los tanques tendrán la misma cantidad de agua.
La cantidad de agua (en litros) en el tanque 1 después de$t$ minutos es$30t+25$. La cantidad de agua (en litros) en el tanque 2 después de$t$ minutos es$-20t+1000$. Encuentra el momento en que la cantidad de agua será igual.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Elevators

Un edificio cuenta con dos elevadores que ambos van por encima y por debajo del suelo.

A cierta hora del día, el tiempo de viaje que tarda el elevador A para alcanzar la altura$h$ en metros es de$0.8h+16$ segundos.

El tiempo de viaje que toma el elevador B para alcanzar la altura$h$ en metros es de$-0.8h+12$ segundos.

Figura$\PageIndex{1}$: Dos elevadores. Un elevador está por encima de una línea etiquetada a nivel del suelo con una flecha apuntando hacia abajo. Otro elevador está por debajo de una línea etiquetada a nivel del suelo con una flecha apuntando hacia arriba.

¿Cuál es la altura de cada elevador en este momento?
¿Cuánto tiempo tardaría cada elevador en llegar al nivel del suelo en este momento?
Si los dos elevadores viajan uno hacia el otro, ¿a qué altura pasan el uno al otro? ¿Cuánto tardaría?
Si estás en un nivel de estacionamiento subterráneo 14 metros bajo tierra, ¿qué elevador te llegaría primero?

¿Estás listo para más?

En un número de dos dígitos, el dígito unos es el doble del dígito de decenas. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 36 más que el número original. Encuentra el número.
La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 11. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 45 menos que el número original. Encuentra el número.
La suma de los dígitos en un número de dos dígitos es 8. El valor del número es 4 menos de 5 veces el dígito de unos. Encuentra el número.

Resumen

Imagina un tanque de agua lleno de 1,500 litros que arroja una fuga, perdiendo 2 litros por minuto. Podríamos representar el número de litros que quedan en el tanque con la expresión$-2x+1,500$, donde$x$ representa el número de minutos que el tanque ha estado goteando.

Ahora imagina al mismo tiempo, un segundo tanque tiene 300 litros y se está llenando a razón de 6 litros por minuto. Podríamos representar la cantidad de agua en litros en este segundo tanque con la expresión$6x+300$, donde$x$ representa el número de minutos que han pasado.

Como un tanque está perdiendo agua y el otro está ganando agua, en algún momento tendrán la misma cantidad de agua, pero ¿cuándo? Preguntar cuándo los dos tanques tienen el mismo número de litros es lo mismo que preguntar cuándo$-2x+1,500$ (el número de litros en el primer tanque después de$x$ minutos) es igual a$6x+300$ (el número de litros en el segundo tanque después de$x$ minutos),

$-2x+1,500=6x+300$.

Resolver para nos$x$ da$x=150$ minutos. Entonces después de 150 minutos, el número de litros del primer tanque es igual al número de litros del segundo tanque. Pero, ¿cuánta agua hay realmente en cada tanque en ese momento? Dado que ambos tanques tienen el mismo número de litros después de 150 minutos, podríamos sustituir$x=150$ minutos en cualquiera de las dos expresiones.

Usando la expresión para el primer tanque, obtenemos$-2(150)+1,500$ que es igual a$-300+1,500$, o 1,200 litros.

Si usamos la expresión para el segundo tanque, obtenemos$6(150)+300$, o simplemente$900+300$, que también es de 1,200 litros. Eso significa que después de 150 minutos, cada tanque tiene 1,200 litros.

Entradas en el glosario

Definición: Coeficiente

Un coeficiente es un número que se multiplica por una variable.

Por ejemplo, en la expresión$3x+5$, el coeficiente de$x$ es 3. En la expresión$y+5$, el coeficiente de$y$ es 1, porque$y=1\cdot y$.

Definición: Término constante

En una expresión como$5x+2$, el número 2 se llama término constante porque no cambia cuando$x$ cambia.

En la expresión$7x+9$, 9 es el término constante.
En la expresión$5x+(-8)$, -8 es el término constante.
En la expresión$12-4x$, 12 es el término constante.

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión$5x+18$ tiene dos términos. El primer término es$5x$ y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Teléfono celular Plan A cuesta $70 por mes y viene con un teléfono gratuito de $500. Teléfono celular Plan B cuesta $50 mensuales pero no viene con teléfono. Si compras el teléfono de $500 y eliges el Plan B, ¿cuántos meses faltan para que tu costo sea el mismo que el del Plan A?

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Priya y Han van en bicicleta en la misma dirección por el mismo camino.

Han está montando a una velocidad constante de 16 millas por hora. Escribe una expresión que muestre cuántas millas ha recorrido Han después de$t$ horas.
Priya comenzó a montar media hora antes de Han. Si Han lleva$t$ horas montando, ¿cuánto tiempo lleva montando Priya?
Priya está montando a una velocidad constante de 12 millas por hora. Escribe una expresión que muestre cuántos kilómetros ha recorrido Priya después de que Han haya estado montando durante$t$ horas.
Usa tus expresiones para encontrar cuándo Han y Priya se encuentran.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

¿Qué historia coincide con la ecuación$-6+3x=2+4x$?

A las 5 de la tarde, las temperaturas registradas en dos estaciones meteorológicas de la Antártida son -6 grados y 2 grados. La temperatura cambia a la misma tasa constante,$x$ grados por hora, a lo largo de la noche en ambos lugares. La temperatura en la primera estación 3 horas después de esta grabación es la misma que la temperatura en la segunda estación 4 horas después de esta grabación.

Elena y Kiran juegan un juego de cartas. Cada vez que recogen un par de tarjetas coincidentes, ganan$x$ puntos. En un momento del juego, Kiran tiene -6 puntos y Elena tiene 2 puntos. Después de que Elena recoge 3 parejas y Kiran recoge 4 parejas, tienen el mismo número de puntos.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

¿Por qué valor de$x$ las expresiones$\frac{2}{3}x+2$ y$\frac{4}{3}x-6$ tienen el mismo valor?

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Decidir si cada ecuación es verdadera para todos, uno, o ningún valor de$x$.

$2x+9=-3.5x+19$
$9(x-2)=7x+5$
$3(3x+2)-2x=7x+6$

(De la Unidad 4.2.7)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Resuelve cada ecuación. Explica tu razonamiento.

$3d+16=-2(5-3d$

$2k-3(4-k)=3k+4$

$\frac{3y-6}{9}=\frac{4-2y}{-3}$

(De la Unidad 4.2.5)

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Describir una transformación rígida que lleva el Polígono A al Polígono B.

La Figura B tiene forma de L y tiene vértices en 2 coma negativa 1, 2 coma negativa 3, 6 coma negativa 3, 6 coma negativa 2, 3 coma negativa 2, 3 coma negativa 1.

(De la Unidad 1.2.1)

tiempo (minutos)	tanque 1 (litros)	tanque 2 (litros)
\(0\)	\(25\)	\(1000\)
\(5\)	\(175\)	\(900\)
\(10\)	\(325\)	\(800\)
\(15\)	\(475\)	\(700\)
\(20\)	\(625\)	\(600\)
\(25\)	\(775\)	\(500\)
\(30\)	\(925\)	\(400\)
\(35\)	\(1075\)	\(300\)
\(40\)	\(1225\)	\(200\)
\(45\)	\(1375\)	\(100\)
\(50\)	\(1525\)	\(0\)