1.1.4: Relaciones Escaladas

Lección

Busquemos relaciones entre copias escaladas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Three Quadrilaterals (Part 1)

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los demás.

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. Nombra dos pares de ángulos correspondientes. ¿Qué puedes decir sobre los tamaños de estos ángulos?
2. Verifique su predicción midiendo al menos un par de ángulos correspondientes usando un prolongador. Registre sus medidas al más cercano\(5^{\circ}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Three Quadrilaterals (Part 2)

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los demás. Ya revisaste sus ángulos correspondientes.

Figura\(\PageIndex{2}\)

1. Las longitudes laterales de los polígonos son difíciles de distinguir desde la cuadrícula, pero hay otras distancias correspondientes que son más fáciles de comparar. Identificar las distancias en los otros dos polígonos que corresponden a\(DB\) y\(AC\), y registrarlas en la tabla.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

cuadrilátero	distancia que corresponde a\(DB\)	distancia que corresponde a\(AC\)
\(ABCD\)	\ (DB\) ">\(DB=4\)	\ (AC\) ">\(AC=6\)
\(EFGH\)	\ (DB\) ">	\ (AC\) ">
\(IJKL\)	\ (DB\) ">	\ (AC\) ">

2. Mira los valores en la tabla. ¿Qué notas?

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.

3. La figura más grande es una copia a escala de la figura más pequeña.

Figura\(\PageIndex{3}\)

1. Si\(AE=4\), ¿cuánto tiempo es la distancia correspondiente en la segunda figura? Explica o muestra tu razonamiento.
2. Si\(IK=5\), ¿cuánto tiempo es la distancia correspondiente en la primera figura? Explica o muestra tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Scaled or Not Scaled?

Aquí hay dos cuadriláteros.

Figura\(\PageIndex{4}\)

1. Mai dice que Polígono\(ZSCH\) es una copia a escala de Polígono\(XJYN\), pero Noé no está de acuerdo. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.
2. Registrar las distancias correspondientes en la tabla. ¿Qué notas?

   Mesa\(\PageIndex{2}\)

   cuadrilátero	distancia horizontal	distancia vertical
   \(XJYN\)	\(XY=\)	\(JN=\)
   \(ZSCH\)	\(ZC=\)	\(SH=\)

3. Mida al menos tres pares de ángulos correspondientes en\(XJYN\) y\(ZSCH\) usando un prolongador. Registre sus medidas al más cercano\(5^{\circ}\). ¿Qué notas?
4. ¿Estos resultados cambian tu respuesta a la primera pregunta? Explique.
5. Aquí hay dos cuadriláteros más.

Figura\(\PageIndex{5}\): Las medidas de ángulo, en grados, para ambos trapezoides son: 60, 60, 120, 120. En A, B, C, D, la longitud superior es 2, la longitud inferior es 6, las longitudes de ambos lados son 4. En E, F, G, H, la longitud superior es 1, la longitud inferior es 4 y ambas longitudes laterales son 3.

Kiran dice que Polygon\(EFGH\) es una copia a escala de\(ABCD\), pero Lin no está de acuerdo. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Todas las longitudes laterales del cuadrilátero\(MNOP\) son 2, y todas las longitudes laterales del cuadrilátero\(QRST\) son 3. ¿\(MNOP\)Tiene que ser una copia a escala de\(QRST\)? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Comparing Pictures of Birds

Aquí hay dos fotos de un pájaro. Encuentra evidencia de que una imagen no es una copia a escala de la otra. Esté preparado para explicar su razonamiento.

Resumen

Cuando una figura es una copia a escala de otra figura, sabemos que:

• Todas las distancias en la copia se pueden encontrar multiplicando las distancias correspondientes en la figura original por el mismo factor de escala, independientemente de que los extremos estén conectados o no por un segmento.

Por ejemplo, Polígono\(STUVWX\) es una copia a escala de Polígono\(ABCDEF\). El factor de escala es 3. La distancia de\(T\) a\(X\) es 6, que es tres veces la distancia de\(B\) a\(F\).

Figura\(\PageIndex{6}\)

• Todos los ángulos en la copia tienen la misma medida que los ángulos correspondientes en la figura original, como en estos triángulos.

Figura\(\PageIndex{7}\)

Estas observaciones pueden ayudar a explicar por qué una figura no es una copia a escala de otra.

Por ejemplo, aunque sus ángulos correspondientes tengan la misma medida, el segundo rectángulo no es una copia a escala del primer rectángulo, porque diferentes pares de longitudes correspondientes tienen diferentes factores de escala,\(2\cdot\frac{1}{2}=1\) sino\(3\cdot\frac{2}{3}=2\).

Figura\(\PageIndex{8}\)

Entradas en el glosario

Definición: Correspondiente

Cuando parte de una figura original coincide con parte de una copia, las llamamos partes correspondientes. Estos podrían ser puntos, segmentos, ángulos o distancias.

Por ejemplo, el punto\(B\) en el primer triángulo corresponde al punto\(E\) en el segundo triángulo. Segmento\(AC\) corresponde al segmento\(DF\).

Figura\(\PageIndex{9}\)

Definición: Factor de Escala

Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. A este número se le llama factor de escala.

En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque\(4\cdot (1.5)=6\),\(5\cdot (1.5)=7.5\), y\(6\cdot (1.5)=9\).

Figura\(\PageIndex{10}\)

Definición: Copia escalada

Una copia a escala es una copia de una figura donde cada longitud de la figura original se multiplica por el mismo número.

Por ejemplo, triángulo\(DEF\) es una copia a escala de triángulo\(ABC\). Cada longitud de lado en triángulo\(ABC\) se multiplicó por 1.5 para obtener la longitud de lado correspondiente en triángulo\(DEF\).

Figura\(\PageIndex{11}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Seleccione todas las declaraciones que deben ser verdaderas para cualquier copia escalada Q del Polígono P.

Figura\(\PageIndex{12}\)

1. Las longitudes laterales son todos números enteros.
2. Las medidas del ángulo son todas números enteros.
3. Q tiene exactamente 1 ángulo recto.
4. Si el factor de escala entre P y Q es\(\frac{1}{5}\), entonces cada longitud lateral de P se multiplica por\(\frac{1}{5}\) para obtener la longitud lateral correspondiente de Q.
5. Si el factor de escala es 2, cada ángulo en P se multiplica por 2 para obtener el ángulo correspondiente en Q.
6. Q tiene 2 ángulos agudos y 3 ángulos obtusos.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Aquí está Cuadrilátero\(ABCD\).

Figura\(\PageIndex{13}\): El ABCD cuadrilátero está en una cuadrícula. El punto a es 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo desde el borde de la rejilla. El punto B es 2 unidades a la derecha y 2 unidades arriba del punto A. El punto C está a 6 unidades justo desde el punto A. El punto D es 2 unidades a la derecha y 4 unidades abajo del punto A.

Cuadrilátero\(PQRS\) es una copia a escala de Cuadrilátero\(ABCD\). Punto\(P\) corresponde a\(A\),\(Q\) a\(B\),\(R\) a\(C\), y\(S\) a\(D\).

Si la distancia de\(P\) a\(R\) es de 3 unidades, ¿cuál es la distancia de\(Q\) a\(S\)? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La Figura 2 es una copia a escala de la Figura 1.

Figura\(\PageIndex{14}\)

1. Identificar los puntos en la Figura 2 que corresponden a los puntos\(A\) y\(C\) en la Figura 1. Etiquetarlos\(P\) y\(R\). ¿Cuál es la distancia entre\(P\) y\(R\)?
2. Identificar los puntos en la Figura 1 que corresponden a los puntos\(Q\) y\(S\) en la Figura 2. Etiquetarlos\(B\) y\(D\). ¿Cuál es la distancia entre\(B\) y\(D\)?
3. ¿Cuál es el factor de escala que lleva de la Figura 1 a la Figura 2?
4. \(G\)y\(H\) son dos puntos en la Figura 1, pero no se muestran. La distancia entre\(G\) y\(H\) es 1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos correspondientes en la Figura 2?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para hacer 1 lote de pintura lavanda, la proporción de tazas de pintura rosa a tazas de pintura azul es de 6 a 5. Encuentra dos proporciones más de tazas de pintura rosa a tazas de pintura azul que equivalen a esta proporción.