4.1.3: Revisitando las relaciones proporcionales

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Lección

Usemos constantes de proporcionalidad para resolver más problemas.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Recipe Ratios

Una receta requiere$\frac{1}{2}$ taza de azúcar y 1 taza de harina. Completa la tabla para mostrar la cantidad de azúcar y harina a utilizar en diferentes números de lotes de la receta.

Mesa$\PageIndex{1}$
azúcar (tazas)	harina (tazas)
$\frac{1}{2}$	$1$
$\frac{3}{4}$
	$1\frac{3}{4}$
$1$
	$2\frac{1}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$: The Price of Rope

Dos estudiantes están resolviendo el mismo problema: En una ferretería, pueden cortar un largo de cuerda de un rollo grande, para que puedas comprar cualquier longitud que te guste. El costo de 6 pies de cuerda es de $7.50. ¿Cuánto pagarías por 50 pies de cuerda, a este ritmo?

1. Kiran sabe que puede resolver el problema de esta manera.

¿Cuál sería la respuesta de Kiran?

2. Kiran quiere saber si existe una manera más eficiente de resolver el problema. Priya dice que puede resolver el problema con solo 2 filas en la tabla.

Mesa$\PageIndex{2}$
longitud de la cuerda (pies)	precio de la cuerda (dólares)
$6$	$7.50$
$50$

¿Cuál crees que es el método de Priya?

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Swimming, Manufacturing, and Painting

Tyler nada a una velocidad constante, 5 metros cada 4 segundos. ¿Cuánto tiempo le lleva nadar 114 metros?

Mesa$\PageIndex{3}$
distancia (metros)	tiempo (segundos)
$5$	$4$
$114$

Una fábrica produce 3 botellas de agua con gas por cada 8 botellas de agua corriente. ¿Cuántas botellas de agua con gas produce la compañía cuando produce 600 botellas de agua corriente?

Mesa$\PageIndex{4}$
cantidad de botellas de agua con gas	número de botellas de agua

Un cierto tono de pintura azul claro se hace mezclando$1\frac{1}{2}$ cuartos de pintura azul con 5 cuartos de pintura blanca. ¿Cuánta pintura blanca necesitarías mezclar con 4 cuartos de pintura azul?
Para cada una de las tres situaciones anteriores, escribir una ecuación para representar la relación proporcional.

¿Estás listo para más?

Diferentes señales nerviosas viajan a diferentes velocidades.

Las señales de presión y contacto viajan alrededor de 250 pies por segundo.
Las señales de dolor sordo viajan aproximadamente 2 pies por segundo.

¿Cuánto tiempo te lleva sentir una hormiga arrastrándose sobre tu pie?
¿Cuánto tiempo se tarda en sentir un dolor sordo en el pie?

Ejercicio$\PageIndex{4}$: Finishing the Race and More Orange Juice

Lin corre$2\frac{3}{4}$ millas en$\frac{2}{5}$ una hora. Tyler corre$8\frac{2}{3}$ millas en$\frac{4}{3}$ una hora. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno de ellos en correr 10 millas a ese ritmo?
Priya mezcla$2\frac{1}{2}$ tazas de agua con$\frac{1}{3}$ taza de concentrado de jugo de naranja. Diego mezcla$1\frac{2}{3}$ tazas de agua con$\frac{1}{4}$ taza de concentrado de jugo de naranja. ¿Cuánto concentrado debe mezclar cada uno de ellos con 100 tazas de agua para hacer jugo que sabe igual que su receta original? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen

Si identificamos dos cantidades en un problema y una es proporcional a la otra, entonces podemos calcular la constante de proporcionalidad y usarla para responder a otras preguntas sobre la situación. Por ejemplo, Andre corre a una velocidad constante, 5 metros cada 2 segundos. ¿Cuánto tiempo le lleva correr 91 metros a este ritmo?

En este problema hay dos cantidades, tiempo (en segundos) y distancia (en metros). Dado que Andre corre a una velocidad constante, el tiempo es proporcional a la distancia. Podemos hacer una tabla con distancia y tiempo como encabezados de columna y rellenar la información dada.

Mesa$\PageIndex{5}$
distancia (metros)	tiempo (segundos)
$5$	$2$
$91$

Para encontrar el valor en la columna derecha, multiplicamos el valor en la columna izquierda por$\frac{2}{5}$ because$\frac{2}{5}\cdot 5=2$. Esto significa que Andre tarda$\frac{2}{5}$ segundos en correr un metro.

A este ritmo, Andre tardaría$\frac{2}{5}\cdot 91=\frac{182}{5}$, o 36.4 segundos en caminar 91 metros. En general, si$t$ es el tiempo que lleva caminar$d$ metros a ese ritmo, entonces$t=\frac{2}{5}d$.

Entradas en el glosario

Definición: Porcentaje

Un porcentaje es una tasa por cada 100.

Por ejemplo, una pecera puede contener 36 litros. En este momento hay 27 litros de agua en el tanque. El porcentaje del tanque que está lleno es de 75%.

Definición: Tasa Unitaria

Una tarifa unitaria es una tarifa por 1.

Por ejemplo, 12 personas comparten 2 tartas por igual. Una tarifa unitaria es de 6 personas por pastel, porque$12\div 2=6$. La otra tarifa unitaria es$\frac{1}{6}$ de un pastel por persona, porque$2\div 12=\frac{1}{6}$.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Una granja de hormigas tarda 3 días en consumir$\frac{1}{2}$ una manzana. A ese ritmo, ¿en cuántos días consumirá la granja de hormigas 3 manzanas?

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Para hacer un tono de pintura llamado verde jaspe, mezcle 4 cuartos de galón de pintura verde con$\frac{2}{3}$ tazas de pintura negra. ¿Cuánta pintura verde se debe mezclar con 4 tazas de pintura negra para hacer jaspe verde?

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Un avión vuela de la ciudad de Nueva York a Los Ángeles. La distancia que recorre en millas$d$,, está relacionada con el tiempo en segundos,$t$, por la ecuación$d=0.15t$.

¿Qué tan rápido es volar? Asegúrese de incluir las unidades.
¿Hasta dónde viajará en 30 segundos?
¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 12.75 millas?

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Un tendero puede comprar fresas por $1.38 por libra.

Escribe una ecuación que$c$ relacione, el costo, y$p$, las libras de fresas.
Un pedido de fresa costó $241.50. ¿Cuántas libras ordenó el tendero?

Ejercicio$\PageIndex{9}$

El Lago del Cráter en Oregón tiene la forma de un círculo con un diámetro de aproximadamente 5.5 millas.

¿Qué tan lejos está alrededor del perímetro del Lago del Cráter?
¿Cuál es el área de la superficie del Lago del Cráter?

(De la Unidad 3.3.1)

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Un trozo de alambre de 50 centímetros se dobla en un círculo. ¿Cuál es el área de este círculo?

(De la Unidad 3.2.3)

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Supongamos que los cuadriláteros A y B son ambos cuadrados. ¿A y B son necesariamente copias escaladas unas de otras? Explique.

(De la Unidad 1.1.2)

azúcar (tazas)	harina (tazas)
\(\frac{1}{2}\)	\(1\)
\(\frac{3}{4}\)
	\(1\frac{3}{4}\)
\(1\)
	\(2\frac{1}{2}\)

longitud de la cuerda (pies)	precio de la cuerda (dólares)
\(6\)	\(7.50\)
\(50\)

distancia (metros)	tiempo (segundos)
\(5\)	\(4\)
\(114\)

distancia (metros)	tiempo (segundos)
\(5\)	\(2\)
\(91\)