4.1.4: La mitad de nuevo

Lección

Usemos fracciones para describir aumentos y disminuciones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: TApe Diagrams

¿Qué notas? ¿Qué te preguntas?

Figura\(\PageIndex{1}\): 2 diagramas de cinta. Primer diagrama. Una sección naranja más larga, etiquetada 1. Una sección azul más pequeña. Segundo diagrama. Una sección verde más larga y una sección azul más pequeña, todas etiquetadas con 1.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Walking Half as Much Again

1. Completa la tabla para mostrar la distancia total recorrida en cada caso.
   1. La tortuga mascota de Jada caminó 10 pies, y luego la mitad de esa longitud otra vez.
   2. El hermanito de Jada caminó 3 pies, y luego la mitad de esa longitud otra vez.
   3. El hámster de Jada caminó 4.5 pies, y luego la mitad de esa longitud nuevamente
   4. El robot de Jada caminó 1 pie, y luego la mitad de esa longitud otra vez.
   5. Una persona caminó\(x\) pies y luego la mitad de ese largo otra vez.

      Mesa\(\PageIndex{1}\)

      distancia inicial	distancia total
      \(10\)
      \(3\)
      \(4.5\)
      \(1\)
      \(x\)

2. Explica cómo computaste la distancia total en cada caso.
3. Dos estudiantes escribieron cada uno una ecuación para representar la relación entre la distancia inicial recorrida (\(x\)) y la distancia total recorrida (\(y\)).
   • Mai escribió\(y=x+\frac{1}{2}x\).
   • Kiran escribió\(y=\frac{3}{2}x\).

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Zeno saltó 8 metros. Después volvió a saltar la mitad de distancia (4 metros). Después volvió a saltar la mitad de distancia (2 metros). Entonces después de 3 saltos, estaba\(8+4+2=14\) a metros de su lugar de inicio.

1. Zenón siguió saltando hasta la mitad otra vez. ¿Qué tan lejos estaría después de 4 saltos? ¿5 saltos? ¿6 saltos?
2. Antes de comenzar a saltar, Zenón puso una marca en el piso que estaba exactamente a 16 metros de su lugar de inicio. ¿Qué tan cerca puede llegar Zenón a la marca si sigue saltando la mitad de distancia otra vez?
3. Si te gustó pensar en este problema, considera investigar la Paradoja de Zenón.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): More and Less

1. Haga coincidir cada situación con un diagrama. Un diagrama puede no tener una coincidencia.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Figura\(\PageIndex{3}\)

Figura\(\PageIndex{4}\)

Figura\(\PageIndex{5}\)

• Han comió\(x\) onzas de arándanos. Mai comió\(\frac{1}{3}\) menos que eso.
• Mai recorrió\(x\) millas en bicicleta. Han andaba en bicicleta\(\frac{2}{3}\) más que eso.
• Han compró\(x\) libras de manzanas. Mai compró\(\frac{2}{3}\) de eso.

2. Para cada diagrama, escriba una ecuación que represente la relación entre\(x\) y\(y\).

1. Diagrama A:
2. Diagrama B:
3. Diagrama C:
4. Diagrama D:

3. Escribe una historia para uno de los diagramas que no tiene coincidencia.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Card Sort: Representations of Proportional Relationships

Tu profesor te dará un conjunto de cartas que tienen relaciones proporcionales representadas de tres formas diferentes: como descripciones, ecuaciones y tablas. Mezcle las cartas y colóquelas todas boca arriba.

1. Tómese turnos con un compañero para hacer coincidir una descripción con una ecuación y una tabla.
   1. Por cada partido que encuentres, explícale a tu pareja cómo sabes que es un partido.
   2. Por cada partido que encuentre tu pareja, escucha atentamente su explicación, y si no estás de acuerdo, explica tu pensamiento.
2. Cuando estés de acuerdo en todos los partidos, revisa tus respuestas con la clave de respuestas. Si hay algún error, discuta por qué y revisa tus coincidencias.

Resumen

El uso de la propiedad distributiva proporciona un atajo para calcular el monto final en situaciones que implican sumar o restar una fracción de la cantidad original.

Por ejemplo, un día Clare corre 4 millas. Al día siguiente, planea correr esa misma distancia más la mitad otra vez. ¿Hasta dónde planea correr al día siguiente?

Figura\(\PageIndex{6}\)

Mañana correrá 4 millas más\(\frac{1}{2}\) de 4 millas. Podemos utilizar la propiedad distributiva para encontrar esto en un solo paso:\(1\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 4=\left( 1+\frac{1}{2}\right)\cdot 4\)

Clare planea correr\(1\frac{1}{2}\cdot 4\), o 6 millas.

Esto funciona cuando disminuimos en una fracción, también. Si Tyler gastó\(x\) dólares en una camisa nueva, y Noah gastó\(\frac{1}{3}\) menos que Tyler, entonces Noah gastó\(\frac{2}{3}x\) dólares desde entonces\(x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x\).

Entradas en el glosario

Definición: Porcentaje

Un porcentaje es una tasa por cada 100.

Por ejemplo, una pecera puede contener 36 litros. En este momento hay 27 litros de agua en el tanque. El porcentaje del tanque que está lleno es de 75%.

Figura\(\PageIndex{7}\)

Definición: Diagrama de cinta

Un diagrama de cinta es un grupo de rectángulos juntos para representar una relación entre cantidades.

Por ejemplo, este diagrama de cinta muestra una relación de 30 galones de pintura amarilla a 50 galones de pintura azul.

Figura\(\PageIndex{8}\)

Si cada rectángulo estuviera etiquetado como 5, en lugar de 10, entonces la misma imagen podría representar la relación equivalente de 15 galones de pintura amarilla a 25 galones de pintura azul.

Definición: Tasa Unitaria

Una tarifa unitaria es una tarifa por 1.

Por ejemplo, 12 personas comparten 2 tartas por igual. Una tarifa unitaria es de 6 personas por pastel, porque\(12\div 2=6\). La otra tarifa unitaria es\(\frac{1}{6}\) de un pastel por persona, porque\(2\div 12=\frac{1}{6}\).

Práctica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Haga coincidir cada situación con un diagrama.

Figura\(\PageIndex{9}\): Diagrama de cinta A. 8 secciones iguales, 4 azules etiquetadas x y 3 blancas. Una sección naranja más larga etiquetada y. Diagrama de cinta B, 4 secciones azules iguales etiquetadas x. Una sección naranja etiquetada y que tiene el mismo tamaño que 3 secciones azules. Diagrama de cinta C, 4 secciones azules iguales etiquetadas x. Una sección naranja etiquetada y que es del mismo tamaño que una sección azul.

1. Diagrama A
2. Diagrama B
3. Diagrama C

1. Diego bebió\(x\) onzas de jugo. Lin bebió\(\frac{1}{4}\) menos que eso.
2. Lin corrió\(x\) millas. Diego corrió\(\frac{3}{4}\) más que eso.
3. Diego compró\(x\) libras de almendras. Lin compró\(\frac{1}{4}\) de eso.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Elena caminó 12 millas. Entonces ella caminó\(\frac{1}{4}\) esa distancia. ¿Hasta dónde caminó ella todos juntos? Seleccione todas las que correspondan.

1. \(12+\frac{1}{4}\)
2. \(12\cdot\frac{1}{4}\)
3. \(12+\frac{1}{4}\cdot 12\)
4. \(12\left( 1+\frac{1}{4}\right)\)
5. \(12\cdot\frac{3}{4}\)
6. \(12\cdot\frac{5}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Escribe una historia que pueda ser representada por la ecuación\(y=x+\frac{1}{4}x\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Seleccione todas las proporciones que sean equivalentes a\(4:5\).

1. \(2:2.5\)
2. \(2:3\)
3. \(3:3.75\)
4. \(7:8\)
5. \(8:10\)
6. \(14:27.5\)

(De la Unidad 4.1.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Jada está haciendo invitaciones circulares de cumpleaños para sus amigas. El diámetro del círculo es de 12 cm. Ella compró 180 cm de cinta para pegar alrededor del borde de cada invitación. ¿Cuántas invitaciones puede hacer?

(De la Unidad 3.3.1)