5.3.2: Multiplicar números racionales

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Lección

Multipliquemos los números firmados.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Before and After

Dónde estaba la chica:

¿5 segundos después de que se tomara esta foto? Marque su ubicación aproximada en la imagen.
¿5 segundos antes de que se tomara esta foto? Marque su ubicación aproximada en la imagen.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Backwards in Time

Un ingeniero de seguridad vial estaba estudiando los patrones de viaje a lo largo de una carretera. Ella montó una cámara y grabó la velocidad y dirección de los autos y camiones que pasaban junto a la cámara. Las posiciones al este de la cámara son positivas, y al oeste son negativas.

Aquí hay algunas posiciones y horarios para un auto:

posición (pies)	\(-180\)	\(-120\)	\(-60\)	\(0\)	\(60\)	\(120\)
tiempo (segundos)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

¿En qué dirección viaja este automóvil?
¿Cuál es su velocidad?

1. ¿Qué significa cuando el tiempo es cero?
2. ¿Qué podría significar tener un tiempo negativo?

Aquí están las posiciones y tiempos para un automóvil diferente cuya velocidad es de -50 pies por segundo:

posición (pies)				\(0\)	\(-50\)	\(-100\)
tiempo (segundos)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)

Mesa\(\PageIndex{2}\)

Completa la tabla con el resto de las posiciones.
¿En qué dirección viaja este automóvil? Explique cómo sabe.

Completa la mesa para varios autos diferentes pasando por la cámara.

Mesa\(\PageIndex{3}\)
	velocidad (metros por segundo)	tiempo después de pasar la cámara (segundos)	posición final (metros)	ecuación
carro C	\(+25\)	\(+10\)	\(+250\)	\(25\cdot 10=250\)
auto D	\(-20\)	\(+30\)
auto E	\(+32\)	\(-40\)
carro F	\(-35\)	\(-20\)
carro G	\(-15\)	\(-8\)

1. Si un automóvil viaja hacia el este cuando pasa por la cámara, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase la cámara?
2. Si multiplicamos un número positivo y un número negativo, ¿el resultado es positivo o negativo?
1. Si un automóvil viaja hacia el oeste cuando pasa por la cámara, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase la cámara?
2. Si multiplicamos dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Cruising

Alrededor del mediodía, un automóvil viajaba -32 metros por segundo por una autopista. Exactamente al mediodía (cuando el tiempo era 0), la posición del auto era de 0 metros.

Completa la tabla.

Mesa\(\PageIndex{4}\)
tiempo (s)	\(-10\)	\(-7\)	\(-4\)	\(-1\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(11\)
posición (m)

Grafica la relación entre el tiempo y la posición del auto.
1. ¿Cuál era la posición del auto a -3 segundos?
2. ¿Cuál era la posición del auto a 6.5 segundos?

¿Estás listo para más?

Encuentra el valor de estas expresiones sin usar una calculadora.

\((-1)^{2}\qquad (-1)^{3}\qquad (-1)^{4}\qquad (-1)^{99}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Rational Numbers Multiplication Grid

Observe los patrones a lo largo de las filas y columnas y continúe con esos patrones para completar la tabla. Cuando hayas rellenado todas las casillas que puedas ver, haz clic en el botón “Más Cajas”.

¿Qué te dice esto de la multiplicación por un negativo?

Resumen

Podemos usar números firmados para representar el tiempo relativo a un punto elegido en el tiempo. Podemos pensar en esto como arrancar un cronómetro. Los tiempos positivos son después de que el reloj arranca, y los tiempos negativos son tiempos antes de que comience el reloj.

Figura\(\PageIndex{2}\): Tres puntos están etiquetados en una recta numérica. Se indican los números negativos del 10 al 10, en incrementos de 1. Un punto en negativo 4 se etiqueta 4 segundos antes de la hora de inicio. Un punto a 0 se etiqueta como hora de inicio. Un punto a las 7 se etiqueta 7 segundos después de la hora de inicio.

Si un automóvil está en la posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces para los tiempos posteriores a eso (tiempos positivos), tendrá una posición positiva. A veces positivo un positivo es positivo.

Figura\(\PageIndex{3}\): Línea numérica. 7 marcas de verificación espaciadas uniformemente. Escala negativa 15 a 15, por 5s. Tres flechas de igual tamaño apuntando a la derecha, una de 0 a 5, de 5 a 10 y de 10 a 15.

Si un automóvil está en la posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces para los tiempos posteriores a eso (tiempos positivos), tendrá una posición negativa. A veces negativo un positivo es negativo.

Figura\(\PageIndex{4}\): Una línea numérica horizontal en blanco de 15 a 15 por 5s. Por encima de la recta numérica con tres flechas apuntando a la izquierda y un punto se trazan. La primera flecha apunta de 0 a negativo 5. La segunda flecha apunta de negativo 5 a negativo 10. La tercera flecha apunta de negativo 10 a negativo 15. Un punto está por encima de 0.

Si un automóvil está en la posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces para tiempos anteriores a eso (tiempos negativos), debe haber tenido una posición negativa. A veces positivo un negativo es negativo.

Figura\(\PageIndex{5}\): Una línea numérica horizontal en blanco de 15 a 15 por 5s. Por encima de la recta numérica con tres flechas apuntando a la derecha y un punto se trazan. La primera flecha apunta de negativo 15 a negativo 10. La segunda flecha apunta de negativo 10 a negativo 5. La tercera flecha apunta de negativo 5 a 0. Un punto está por encima de 0.

Si un automóvil está en la posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces para tiempos anteriores a eso (tiempos negativos), debe haber tenido una posición positiva. A veces negativo un negativo es positivo.

Figura\(\PageIndex{6}\): Una línea numérica horizontal en blanco de 15 a 15 por 5s. Por encima de la recta numérica con tres flechas apuntando a la izquierda y un punto se trazan. La primera flecha apunta de 15 a 10. La segunda flecha apunta de 10 a 5. La tercera flecha apunta de 5 a 0. Un punto está por encima de 0.

Aquí hay otra forma de ver esto:

Podemos pensar en\(3\cdot 5\) como\(5+5+5\), que tiene un valor de 15.

Podemos pensar en\(3\cdot (-5)\) como\(-5+-5+-5\), que tiene un valor de -15.

Sabemos que podemos multiplicar números positivos en cualquier orden:\(3\cdot 5=5\cdot 3\)

Si podemos multiplicar números con signo en cualquier orden, entonces también\((-5)\cdot 3\) equivaldría a -15.

Ahora pensemos en multiplicar dos negativos.

Podemos encontrar\(-5\cdot (3+-3)\) de dos maneras:

Aplicando la propiedad distributiva:
\(-5\cdot 3+-5\cdot (-3)\)
Sumando los números entre paréntesis:
\(-5\cdot (0)=0\)

Esto quiere decir que estas expresiones deben ser iguales.

\(-5\cdot 3+-5\cdot (-3)=0\)

Multiplicar los dos primeros números da

\(-15+-5\cdot (-3)=0\)

Lo que significa que

\(-5\cdot (-3)=15\)

No había nada especial en estos números particulares. ¡Esto siempre funciona!

A veces positivo un positivo es siempre positivo.
A veces negativo un positivo o un positivo veces un negativo siempre es negativo.
A veces negativo un negativo es siempre positivo.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Rellene los números faltantes en estas ecuaciones

\(-2\cdot (-4.5)=?\)
\((-8.7)\cdot (-10)=?\)
\((-7)\cdot ?=14\)
\(?\cdot (-10)=90\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Una estación meteorológica en la cima de una montaña informa que la temperatura se encuentra actualmente\(0^{\circ}\text{C}\) y ha estado bajando a un ritmo constante de\(3^{\circ}\text{C}\) por hora. Si continúa bajando a este ritmo, encuentra cada temperatura indicada. Explica o muestra tu razonamiento.

¿Cuál será la temperatura en 2 horas?
¿Cuál será la temperatura en 5 horas?
¿Cuál será la temperatura en media hora?
¿Cuál era la temperatura hace 1 hora?
¿Cuál era la temperatura hace 3 horas?
¿Cuál era la temperatura hace 4.5 horas?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra el valor de cada expresión.

\(\frac{1}{4}\cdot (-12)\)
\(-\frac{1}{3}\cdot 39\)
\((-\frac{4}{5})\cdot (-75)\)
\(-\frac{2}{5}\cdot (-\frac{3}{4})\)
\(\frac{8}{3}\cdot -42\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para hacer un tinte específico para el cabello, un estilista usa una proporción de\(1\frac{1}{8}\) oz de tono rojo,\(\frac{3}{4}\) oz de tono gris y\(\frac{5}{8}\) oz de tono marrón.

Si el estilista necesita hacer 20 oz de tinte, ¿cuánto de cada color de tinte se necesita?
Si el estilista necesita hacer 100 oz de tinte, ¿cuánto de cada color de tinte se necesita?

(De la Unidad 4.1.2)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Aquí están los vértices del rectángulo\(FROG\):\((-2,5),\: (-2,1),\: (6,5),\: (6,1)\).
Encuentra el perímetro de este rectángulo. Si te atascas, intenta trazar los puntos en un plano de coordenadas.
Encuentra el área del rectángulo\(FROG\).
Aquí están las coordenadas del rectángulo\(PLAY\):\((-11,20),\: (-11,-3),\: (-1,20),\: (-1,-3)\). Encuentra el perímetro y el área de este rectángulo. Mira si puedes averiguar sus longitudes laterales sin trazar los puntos.

(De la Unidad 5.2.6)