6.1.5: Razonamiento sobre ecuaciones y diagramas de cinta (Parte 2)

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Lección

Usemos diagramas de cinta para ayudar a responder preguntas sobre situaciones en las que la ecuación tiene paréntesis.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Algebra Talk: Seeing Structure

Resuelve cada ecuación mentalmente.

$x-1=5$

$2(x-1)=10$

$3(x-1)=15$

$500=100(x-1)$

Ejercicio$\PageIndex{2}$: More Situations and Diagrams

Dibuja un diagrama de cinta para representar cada situación. Para algunas de las situaciones, es necesario decidir qué representar con una variable.

Cada una de las 5 bolsas de regalo contiene$x$ lápices. Tyler agrega 3 lápices más a cada bolsa. En total, las bolsas de regalo contienen 20 lápices.
Noé dibujó un triángulo equilátero con lados de 5 pulgadas de largo. Quiere aumentar la longitud de cada lado en$x$ pulgadas por lo que el triángulo sigue siendo equilátero y tiene un perímetro de 20 pulgadas.
Una clase de arte cobra a cada estudiante $3 para asistir más una tarifa por suministros. Hoy se recaudaron 20 dólares para los 5 alumnos que asistían a la clase.
Elena corrió 20 millas esta semana, que fue tres veces más lejos que Clare corrió esta semana. Clare corrió 5 millas más esta semana que la semana pasada.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: More Situations, Diagrams, and Equations

Cada situación en la actividad anterior está representada por una de las ecuaciones.

$(x+3)\cdot 5=20$
$3(x+5)=20$

Haga coincidir cada situación con una ecuación.
Encuentra la solución a cada ecuación. Usa tus diagramas para ayudarte a razonar.
¿Qué te dice cada solución sobre su situación?

¿Estás listo para más?

Han, su hermana, su papá y su abuela se suben a un autobús abarrotado con solo 3 asientos abiertos para un viaje de 42 minutos. Ellos deciden que la abuela de Han debería sentarse durante todo el viaje. Han, su hermana y su papá se turnan para sentarse en los dos asientos restantes, y el papá de Han se sienta 1.5 veces más tiempo que tanto Han como su hermana. ¿Cuántos minutos pasó cada uno sentado?

Resumen

Las ecuaciones con paréntesis pueden representar una variedad de situaciones.

Lin es voluntario en un hospital y está preparando canastas de juguete para niños que son pacientes. Agrega 2 artículos a cada canasta, tras lo cual la lista del supervisor muestra que 140 juguetes han sido empacados en un grupo de 10 canastas. Lin quiere saber cuántos juguetes había en cada canasta antes de agregar los artículos.
Una tienda grande tiene el mismo número de trabajadores en cada uno de los 2 equipos para manejar diferentes turnos. Deciden sumar 10 trabajadores a cada equipo, elevando el número total de trabajadores a 140. Un ejecutivo de la compañía que dirige esta cadena de tiendas quiere saber cuántos empleados había en cada equipo antes del incremento.

Cada bolsa en la primera historia tiene un número desconocido de juguetes,$x$, que se incrementa en 2. Después diez grupos de$x+2$ dan un total de 140 juguetes. Una ecuación que representa esta situación es$10(x+2)=140$. Ya que 10 veces un número es 140, ese número es 14, que es el número total de artículos en cada bolsa. Antes de que Lin agregara los 2 artículos había$14-2$ o 12 juguetes en cada bolsa.

El ejecutivo en el segundo piso sabe que el tamaño de cada equipo de empleados se ha incrementado en 10. Ahora hay 2 equipos de$y+10$ cada uno. Una ecuación que representa esta situación es$2(y+10)=140$. Ya que 2 veces una cantidad es 140, esa cantidad es 70, que es el nuevo tamaño de cada equipo. El valor de$y$ es$70-10$ o 60. Había 60 empleados en cada equipo antes del incremento.

Entradas en el glosario

Definición: Expresiones equivalentes

Las expresiones equivalentes son siempre iguales entre sí. Si las expresiones tienen variables, son iguales siempre que se use el mismo valor para la variable en cada expresión.

Por ejemplo,$3x+4x$ es equivalente a$5x+2x$. No importa para qué valor usemos$x$, estas expresiones son siempre iguales. Cuando$x$ es 3, ambas expresiones equivalen a 21. Cuando$x$ es 10, ambas expresiones equivalen a 70.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Aquí hay algunos precios que los clientes pagaron por diferentes artículos en el mercado de un agricultor. Encuentra el costo por 1 libra de cada artículo.

$5 por 4 libras de manzanas
$3.50 por$\frac{1}{2}$ libra de queso
$8.25 por$1\frac{1}{2}$ libras de granos de café
$6.75 por$\frac{3}{4}$ libras de dulce de azúcar
$5.50 por una$6\frac{1}{4}$ libra de calabaza

(De la Unidad 4.1.2)

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra los productos.

$\frac{2}{3}\cdot\left( \frac{-4}{5}\right)$
$\left(\frac{-5}{7}\right)\cdot\left(\frac{7}{5}\right)$
$\left(\frac{-2}{39}\right)\cdot 39$
$\left(\frac{2}{5}\right)\cdot\left(\frac{-3}{4}\right)$

(De la Unidad 5.3.2)

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Aquí hay dos historias:

Una familia compra 6 boletos para un espectáculo. También cada uno gasta $3 en un refrigerio. Gastan 24 dólares en el programa.
Diego tiene 24 onzas de jugo. Él vierte cantidades iguales por cada uno de sus 3 amigos, y luego agrega 6 onzas más por cada uno.

Aquí hay dos ecuaciones:

$3(x+6)=24$
$6(x+3)=24$

¿Qué ecuación representa qué historia?
¿Qué$x$ representa en cada ecuación?
Encuentra la solución a cada ecuación. Explica o muestra tu razonamiento.
¿Qué te dice cada solución sobre su situación?

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Aquí hay un diagrama y su ecuación correspondiente. Encuentra la solución a la ecuación y explica tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

A continuación se muestra un conjunto de datos sobre las temperaturas. El rango de un conjunto de datos es la distancia entre el valor más bajo y el más alto en el conjunto. ¿Cuál es el rango de estas temperaturas?

$9^{\circ}\text{C},\: -3^{\circ}\text{C},\: 22^{\circ}\text{C},\: -5^{\circ}\text{C},\: 11^{\circ}\text{C},\: 15^{\circ}\text{C}$

(De la Unidad 5.2.6)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Una tienda está teniendo un 25% de descuento en todas las playeras. Muestra dos formas diferentes de calcular el precio de venta de una playera que normalmente cuesta $24.

(De la Unidad 4.3.2)