6.2.3: Tratar con números negativos

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Lección

Demostremos que hacer lo mismo a cada lado también funciona para números negativos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which One Doesn't Belong: Rational Number Arithmetic

¿Qué ecuación no pertenece?

\(\begin{array}{llll}{15=-5\cdot -3}&{\qquad}&{\qquad}&{4--2=6}\\{2+-5=-3}&{\qquad}&{\qquad}&{-3\cdot -4=-12}\end{array}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Old and New Ways to Solve

Resuelve cada ecuación. Esté preparado para explicar su razonamiento.

\(x+6=4\)
\(x--4=-6\)
\(2(x-1)=-200\)
\(2x+-3=-23\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Keeping It True

Aquí hay algunas ecuaciones que todas tienen la misma solución.

\(\begin{aligned} x&=-6\\ x-3&=-9 \\ -9&=x-3 \\ 900&=-100(x-3) \\ 900&=(x-3)\cdot (-100) \\ 900&=-100x+300\end{aligned}\)

Explica cómo sabes que cada ecuación tiene la misma solución que la ecuación anterior. Haga una pausa para la discusión antes de pasar a la siguiente pregunta.
Mantén tu trabajo en secreto de tu pareja. Comienza con la ecuación\(-5=x\). Haz lo mismo a cada lado al menos tres veces para crear una ecuación que tenga la misma solución que la ecuación inicial. Escribe la ecuación con la que terminaste en una hoja de papel, e intercambiar ecuaciones con tu pareja.
A ver si puedes averiguar qué pasos utilizaron para\(-5=x\) transformarse en su ecuación. Cuando creas que sabes, consulta con ellos para ver si tienes razón.

Resumen

Cuando queremos encontrar una solución a una ecuación, a veces solo pensamos en qué valor en lugar de la variable haría verdadera la ecuación. En ocasiones realizamos la misma operación en cada lado (por ejemplo, restamos la misma cantidad de cada lado). Las perchas balanceadas nos ayudaron a entender que hacer lo mismo a cada lado de una ecuación mantiene la ecuación verdadera.

Dado que los números negativos son solo números, entonces hacer lo mismo a cada lado de una ecuación también funciona para números negativos. Estos son algunos ejemplos de ecuaciones que tienen números negativos y pasos que podrías tomar para resolverlos.

Ejemplo:

\(\begin{aligned} 2(x-5)&=-6 \\ \frac{1}{2}\cdot 2(x-5)&=\frac{1}{2}\cdot (-6)\qquad\text{multiply each side by }\frac{1}{2} \\ x-5&=-3 \\ x-5+5&=-3 +5 \qquad\text{ add }5\text{ to each side} \\ x&=2\end{aligned}\)

Ejemplo:

\(\begin{aligned} -2x+-5&=6 \\ -2x+-5--5&=6--5 \qquad\text{ subtract }-5\text{ from each side} \\ -2x&=11 \\ -2x\div -2 &=11\div 2\qquad\text{ divide each side by }-2 \\ x&=-\frac{11}{2}\end{aligned}\)

Hacer lo mismo a cada lado mantiene la igualdad aunque no sea útil para resolver por la cantidad desconocida. Por ejemplo, podríamos tomar la ecuación\(-3x+7=-8\) y agregar\(-2\) a cada lado:

\(\begin{aligned} -3x+7&=-8 \\ -3x+7+-2&=-8+-2\qquad\text{ add }-2\text{ to each side} \\ -3x+5 &=-10\end{aligned}\)

Si\(-2x+7=-8\) es cierto entonces también\(-3x+5=-10\) es cierto, pero no estamos más cerca de una solución de lo que estábamos antes de agregar -2. Podemos usar movimientos que mantengan la igualdad para hacer nuevas ecuaciones que todas tengan la misma solución. Las combinaciones útiles de movimientos eventualmente conducirán a una ecuación como\(x=5\), que da la solución a la ecuación original (y a cada ecuación que escribimos en el proceso de resolución).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Resuelve cada ecuación.

\(4x=-28\)
\(x--6=-2\)
\(-x+4=-9\)
\(-3x+7=1\)
\(25x+-11=-86\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Aquí hay una ecuación\(2x+9=-15\). Escribe tres ecuaciones diferentes que tengan la misma solución que\(2x+9=-15\). Muestre o explique cómo los encontró.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Seleccione todas las ecuaciones que coincidan con el diagrama.

\(x+5=18\)
\(18\div 3=x+5\)
\(3(x+5)=18\)
\(x+5=\frac{1}{3}\cdot 18\)
\(3x+5=18\)

(De la Unidad 6.1.3)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Hay 88 asientos en un teatro. El asiento en el teatro se divide en 4 secciones idénticas. Cada sección tiene 14 asientos rojos y algunos asientos azules.

Dibuja un diagrama de cinta para representar la situación.
¿Qué cantidades desconocidas se pueden encontrar usando el diagrama o razonamiento sobre la situación?

(De la Unidad 6.1.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Coincidir cada historia con una ecuación.

Una pila de vasos de papel anidados mide 8 pulgadas de alto. La primera copa mide 4 pulgadas de alto y cada una de las demás tazas de la pila agrega\(\frac{1}{4}\) pulgadas a la altura de la pila.
Un panadero usa 4 tazas de harina. Ella usa\(\frac{1}{4}\) taza para enharinar los mostradores y el resto para hacer 8 magdalenas idénticas.
Elena tiene un trozo de cinta de 8 pies. Ella corta una pieza que es\(\frac{1}{4}\) de un pie de largo y corta el resto en cuatro piezas de igual longitud.

\(\frac{1}{4}+4x=8\)
\(4+\frac{1}{4}x=8\)
\(8x+\frac{1}{4}=4\)

(De la Unidad 6.1.4)