6.2.5: Uso de ecuaciones para resolver problemas

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Lección

Usemos diagramas de cinta, ecuaciones y razonamientos para resolver problemas.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Remember Tape Diagrams

Escribe una historia que podría ser representada por este diagrama de cinta.
Escribe una ecuación que podría ser representada por este diagrama de cinta.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: At the Fair

1. Tyler está haciendo invitaciones a la feria. Ya ha hecho algunas de las invitaciones, y quiere terminar el resto dentro de una semana. Está tratando de extender el trabajo restante, para hacer el mismo número de invitaciones cada día. Tyler dibuja un diagrama para representar la situación.

Explica cómo se representa cada parte de la situación en el diagrama de Tyler:
Cuántas invitaciones totales está tratando de hacer Tyler.
Cuántas invitaciones ya ha hecho.
Cuántos días tiene para terminar las invitaciones.
¿Cuántas invitaciones debería hacer Tyler cada día para terminar su meta dentro de una semana? Explica o muestra tu razonamiento.
Usa el diagrama de Tyler para escribir una ecuación que represente la situación. Explica cómo se representa cada parte de la situación en tu ecuación.
Muestra cómo resolver tu ecuación.

2. Noah y su hermana están haciendo bolsas de premio para un juego en la feria. Noah está poniendo 7 gomas de borrar en cada bolsa. Su hermana está poniendo alguna cantidad de calcomanías. Después de llenar 3 de las bolsas, han utilizado un total de 57 artículos.

Explique cómo representa el diagrama la situación.
Noé escribe la ecuación$3(x+7)=57$ para representar la situación. ¿Estás de acuerdo con él? Explica tu razonamiento.
¿Cuántas pegatinas pone la hermana de Noé en cada bolsa de premios? Explica o muestra tu razonamiento.

3. Una familia de 6 personas va a ir a la feria. Tienen un cupón por $1.50 de descuento en cada boleto. Si pagan $46.50 por todos sus boletos, ¿cuánto cuesta un boleto sin el cupón? Explica o muestra tu razonamiento. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama o escribir una ecuación.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Running Around

Priya, Han y Elena, son miembros del club de running en la escuela.

Priya estaba ocupada estudiando esta semana y corrió 7 millas menos que la semana pasada. Corrió 9 veces hasta donde corrió Elena esta semana. Elena sólo tuvo tiempo de correr 4 millas esta semana.
1. ¿Cuántas millas corrió Priya la semana pasada?
2. Elena escribió la ecuación$\frac{1}{9}(x-7)=4$ para describir la situación. Ella resolvió la ecuación multiplicando cada lado por 9 y luego sumando 7 a cada lado. ¿Cómo se compara su solución con la forma en que encontraste las millas de Priya?
Un día de la semana pasada, 6 profesores se unieron$\frac{5}{7}$ de los integrantes del club de running en una carrera extraescolar. Priya contó un total de 31 personas corriendo ese día. ¿Cuántos socios tiene el club de running?
Priya y Han planean una recaudación de fondos para el club de running. Comienzan con un saldo de -80 por gastos. En la primera hora de la recaudación de fondos recaudan donaciones iguales de 9 familiares, lo que lleva su saldo a -44. ¿Cuánto dio cada padre?
El club de running utiliza el dinero que recaudaron para pagar un viaje a un cañón. En un momento durante una carrera en el cañón, los estudiantes se encuentran a una altura de 128 pies. Después de descender a una velocidad de 50 pies por minuto, alcanzan una elevación de -472 pies. ¿Cuánto tiempo tardó el descenso?

¿Estás listo para más?

Un músico actuó en tres ferias locales. Al principio duplicó su dinero y gastó 30 dólares. Al segundo triplicó su dinero y gastó 54 dólares. Al tercero, cuadruplicó su dinero y gastó 72 dólares. Al final le quedaban 48 dólares. ¿Cuánto tenía antes de presentarse en las ferias?

Resumen

Muchos problemas se pueden resolver escribiendo y resolviendo una ecuación. Aquí hay un ejemplo:

Clare corrió 4 millas el lunes. Entonces, durante los siguientes seis días, corrió la misma distancia cada día. Corrió un total de 22 millas durante la semana. ¿Cuántas millas corrió en cada uno de los 6 días?

Una forma de resolver el problema es representar la situación con una ecuación,$4+6x=22$, donde$x$ representa la distancia, en millas, corrió en cada uno de los 6 días. Resolver la ecuación da la solución a este problema.

$\begin{aligned} 4+6x&=22 \\ 6x&=18 \\ x&=3\end{aligned}$

Práctica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Encuentra el valor de cada variable.

$a\cdot 3=-30$
$-9\cdot b=45$
$-89\cdot 12=c$
$d\cdot 88=-88,000$

(De la Unidad 5.3.2)

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Haga coincidir cada ecuación con su solución y con la historia que describe.

Ecuaciones:

$5x-7=3$
$7=3(5+x)$
$3x+5=-7$
$\frac{1}{3}(x+7)=5$

Soluciones:

$-4$
$\frac{-8}{3}$
$2$
$8$

Historias:

La temperatura es$-7$. Desde la medianoche la temperatura se triplicó y luego subió 5 grados. ¿Cuál era la temperatura a medianoche?
Jada tiene 7 rosas rosadas y algunas rosas blancas. Ella los regala a todos: 5 rosas a cada uno de sus 3 maestros favoritos. ¿Cuántas rosas blancas regaló?
Una compañía de instrumentos musicales redujo el tiempo que tarda un trabajador en construir una guitarra. Antes de la reducción tardó 5 horas. Ahora en 7 horas pueden construir 3 guitarras. ¿Por cuánto redujeron el tiempo que se tarda en construir cada guitarra?
Un club pone a sus miembros en 5 grupos para una actividad. Después de que 7 alumnos tengan que salir temprano, solo quedan 3 estudiantes para terminar la actividad. ¿Cuántos alumnos había en cada grupo?

Ejercicio$\PageIndex{6}$

La jirafa bebé pesaba 132 libras al nacer. Ganó peso a ritmo constante durante los primeros 7 meses hasta que su peso alcanzó las 538 libras. ¿Cuánto ganaba cada mes?

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Seis equipos están fuera en el campo jugando futbol. Todos los equipos tienen el mismo número de jugadores. El entrenador en jefe pide que 2 jugadores de cada equipo vengan a ayudarlo a mover algún equipo. Ahora hay 78 jugadores en el campo. Escribe y resuelve una ecuación cuya solución sea el número de jugadores en cada equipo.

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Un pequeño pueblo tenía una población de 960 personas el año pasado. La población creció a 1200 personas este año. ¿En qué porcentaje creció la población?

Figura$\PageIndex{4}$: Doble línea numérica, línea superior número de personas, marcas de garrapatas espaciadas uniformemente etiquetadas como 0, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080, 1200. Línea de fondo, marcas de garrapatas correspondientes, primero etiquetadas 0% y el resto en blanco.

(De la Unidad 4.2.2)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

El tanque de gasolina de un camión tiene capacidad para 30 galones. El tanque de gasolina de un automóvil de pasajeros tiene un 50% menos. ¿Cuántos galones tiene?

(De la Unidad 4.2.2)