6.3.3: Resolver de manera eficiente las

Lección

Resolvamos desigualdades más complicadas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Lots of Negatives

Aquí hay una desigualdad:\(-x\geq -4\).

1. Predice cómo crees que serán las soluciones en la línea numérica.
2. Seleccione todos los valores que son soluciones para\(-x\geq -4\):
   1. \(3\)
   2. \(-3\)
   3. \(4\)
   4. \(-4\)
   5. \(4.001\)
   6. \(-4.001\)
3. Grafique las soluciones a la desigualdad en la recta numérica:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Inequalities with Tables

1. Investiguemos la desigualdad\(x-3>-2\).

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(x-3\)	\(-7\)		\(-5\)				\(-1\)		\(1\)

1. Completa la tabla.
2. ¿Para qué valores de\(x\) es cierto eso\(x-3=-2\)?
3. ¿Para qué valores de\(x\) es cierto eso\(x-3>-2\)?
4. Grafique las soluciones a\(x-3>-2\) en la recta numérica:

Figura\(\PageIndex{2}\)

2. Aquí hay una desigualdad:\(2x<6\).

1. Predecir qué valores de\(x\) harán\(2x<6\) verdadera la desigualdad.
2. Completa la tabla. ¿Coincide con tu predicción?

   Mesa\(\PageIndex{2}\)

   \(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
   \(2x\)

3. Grafique las soluciones a\(2x<6\) en la recta numérica:

Figura\(\PageIndex{3}\)

3. Aquí hay una desigualdad:\(-2x<6\).

1. Predecir qué valores de\(x\) harán\(-2x<6\) verdadera la desigualdad.
2. Completa la tabla. ¿Coincide con tu predicción?

   Mesa\(\PageIndex{4}\)

   \(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
   \(-2x\)

3. Grafique las soluciones a\(-2x<6\) en la recta numérica:

Figura\(\PageIndex{4}\)

d. ¿En qué se\(2x<6\) diferencian las soluciones de las soluciones a\(-2x<6\)?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Which Side are the Solutions?

1. Investiguemos\(-4x+5\geq 25\).

1. Resolver\(-4x+5=25\).
2. ¿Es\(-4x+5\geq 25\) verdad cuando\(x\) es 0? ¿Y cuándo\(x\) es\(7\)? ¿Y cuándo\(x\) es\(-7\)?
3. Grafique las soluciones a\(-4x+5\geq 25\) en la recta numérica.

Figura\(\PageIndex{5}\)

2. Investiguemos\(\frac{4}{3}x+3<\frac{23}{3}\).

1. Resolver\(\frac{4}{3}x+3=\frac{23}{3}\).
2. ¿Es\(\frac{4}{3}x+3<\frac{23}{3}\) verdad cuándo\(x\) es\(0\)?
3. Grafique las soluciones a\(\frac{4}{3}x+3<\frac{23}{3}\) en la recta numérica.

Figura\(\PageIndex{6}\)

3. Resuelve la desigualdad\(3(x+4)>17.4\) y grafica las soluciones en la recta numérica.

Figura\(\PageIndex{7}\)

4. Resuelve la desigualdad\(-3\left(x-\frac{4}{3}\right)\leq 6\) y grafica las soluciones en la recta numérica.

Figura\(\PageIndex{8}\)

¿Estás listo para más?

Escribir al menos tres desigualdades distintas cuya solución sea\(x>-10\). Encuentra uno con\(x\) en el lado izquierdo que use un\(<\).

Resumen

Aquí hay una desigualdad:\(3(10-2x)<18\). La solución a esta desigualdad son todos los valores que podrías usar en lugar de\(x\) hacer realidad la desigualdad.

Para resolver esto, primero podemos resolver la ecuación relacionada\(3(10-2x)=18\) para obtener la solución\(x=2\). Eso significa que 2 es el límite entre valores de que hacen verdadera la desigualdad y valores que hacen falsa la desigualdad.

Para resolver la desigualdad, podemos verificar números mayores que 2 y menores que 2 y ver cuáles hacen que la desigualdad sea cierta.

Comprobemos un número que sea mayor a 2:\(x=5\). Sustituyendo\(x\) con 5 en la desigualdad, obtenemos\(3(10-2\cdot 5)<18\) o simplemente\(0<18\). Esto es cierto, también lo\(x=5\) es una solución. Esto quiere decir que todos los valores mayores a 2 hacen que la desigualdad sea cierta. Podemos escribir las soluciones como\(x>2\) y también representar las soluciones en una línea numérica:

Figura\(\PageIndex{9}\)

Observe que 2 en sí no es una solución porque es el valor de lo\(x\) que hace\(3(10-2x)\) igual a 18, y así no hace\(3(10-2x)<18\) verdad.

Para confirmar que encontramos la solución correcta, también podemos probar un valor que es menor a 2. Si probamos\(x=0\), obtenemos\(3(10-2\cdot 0)<18\) o simplemente\(30<18\). Esto es falso, así\(x=0\) y todos los valores de\(x\) que son menores a 2 no son soluciones.

Entradas en el glosario

Definición: Solución a una desigualdad

Una solución a una desigualdad es un número que se puede utilizar en lugar de la variable para hacer realidad la desigualdad.

Por ejemplo, 5 es una solución a la desigualdad\(c<10\), porque es cierto que\(5<10\). Algunas otras soluciones a esta desigualdad son 9.9, 0 y -4.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Consideremos la desigualdad\(-1\leq \frac{x}{2}\).
   1. Predecir qué valores de\(x\) harán verdadera la desigualdad.
   2. Completa la tabla para verificar tu predicción.

      Mesa\(\PageIndex{5}\)

      \(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
      \(\frac{x}{2}\)

2. Consideremos la desigualdad\(1\leq\frac{-x}{2}\).
   1. Predecir qué valores de lo\(x\) harán realidad.
   2. Completa la tabla para verificar tu predicción.

      Mesa\(\PageIndex{6}\)

      \(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
      \(-\frac{x}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Diego está resolviendo la desigualdad\(100-3x\geq -50\). Él resuelve la ecuación\(100-3x=-50\) y obtiene\(x=50\). ¿Cuál es la solución a la desigualdad?

1. \(x<50\)
2. \(x\leq 50\)
3. \(x>50\)
4. \(x\geq 50\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelva la desigualdad\(-5(x-1)>-40\) y grafique la solución en una recta numérica.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Seleccionar todos los valores\(x\) que hagan\(-x+6\geq 10\) realidad la desigualdad.

1. \(-3.9\)
2. \(4\)
3. \(-4.01\)
4. \(-4\)
5. \(4.01\)
6. \(3.9\)
7. \(0\)
8. \(-7\)

(De la Unidad 6.3.1)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dibuja el conjunto de soluciones para cada una de las siguientes desigualdades.

1. \(x>7\)

Figura\(\PageIndex{10}\)

2. \(x\geq -4.2\)

Figura\(\PageIndex{11}\)

(De la Unidad 6.3.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

El precio de un par de aretes es de 22 dólares pero Priya los compra a la venta por 13.20 dólares.

1. ¿Por cuánto se descontó el precio?
2. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento?

(De la Unidad 4.3.3)