6.4.3: Combinar términos similares (Parte 1)

Lección

Veamos cómo podemos decir que las expresiones son equivalentes.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Why is it True?

Explique por qué cada afirmación es cierta.

1. \(5+2+3=5+(2+3)\)
2. \(9a\)es equivalente a\(11a-2a\).
3. \(7a+4-2a\)es equivalente a\(7a+-2a+4\).
4. \(8a-(8a-8)\)es equivalente a\(8\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): A's and B's

Diego y Jada están tratando de escribir una expresión con menos términos que equivale a\(7a+5b-3a+4b\)

• Jada piensa que\(10a+1b\) es equivalente a la expresión original.
• Diego piensa que\(4a+9b\) es equivalente a la expresión original.

1. Podemos mostrar que las expresiones son equivalentes escribiendo todas las variables. Explique por qué la expresión en cada fila (después de la primera fila) es equivalente a la expresión en la fila anterior a ella.
   \(7a+5b-3a+4b\)
   \((a+a+a+a+a+a+a) + (b+b+b+b+b) - (a+a+a)+(b+b+b+b)\)
   \((a+a+a+a) + (a+a+a)+(b+b+b+b+b)-(a+a+a)+(b+b+b+b)\)
   \((a+a+a+a)+(b+b+b+b+b)+(a+a+a)-(a+a+a)+(b+b+b+b)\)
   \((a+a+a+a)+(b+b+b+b+b)+(b+b+b+b)\)
   \((a+a+a+a)+(b+b+b+b+b+b+b+b+b)\)
   \(4a+9b\)
2. Aquí hay otra forma en que podemos reescribir las expresiones. Explique por qué la expresión en cada fila (después de la primera fila) es equivalente a la expresión en la fila anterior a ella.
   \(7a+5b-3a+4b\)
   \(7a+5b+(-3a)+4b\)
   \(ya+(-3a)+5b+4b\)
   \((7+-3)a+(5+4)b\)
   \(4a+9b\)

¿Estás listo para más?

Siga las instrucciones para un rompecabezas numérico:

• Toma el número formado por los 3 primeros dígitos de tu número de teléfono y multiplícalo por 40
• Agregar 1 al resultado
• Multiplicar por 500
• Agrega el número formado por los últimos 4 dígitos de tu número de teléfono y luego vuelve a agregarlo
• Restar 500
• Multiplicar por\(\frac{1}{2}\)

1. ¿Cuál es el número final?
2. ¿Cómo funciona este rompecabezas de números?
3. ¿Se puede inventar un nuevo rompecabezas de números que dé un resultado sorprendente?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Making Sides Equal

¿Reemplazar cada uno? con una expresión que hará que el lado izquierdo de la ecuación sea equivalente al lado derecho.

Conjunto A

1. \(6x+?=10x\)
2. \(6x+?=2x\)
3. \(6x+?=-10x\)
4. \(6x+?=0\)
5. \(6x+?=10\)

Consulta tus resultados con tu pareja y resuelve cualquier desacuerdo. A continuación, pasa al Set B.

Conjunto B

1. \(6x-?=2x\)
2. \(6x-?=10x\)
3. \(6x-?=x\)
4. \(6x-?=6\)
5. \(6x-?=4x-10\)

Resumen

Hay muchas maneras de escribir expresiones equivalentes que pueden verse muy diferentes entre sí. Tenemos varias herramientas para saber si dos expresiones son equivalentes.

• Dos expresiones definitivamente no son equivalentes si tienen valores diferentes cuando sustituimos el mismo número por la variable. Por ejemplo,\(2(-3+x)+8\) y no\(2x+5\) son equivalentes porque cuando\(x\) es 1, la primera expresión es igual a 4 y la segunda expresión es igual a 7.
• Si dos expresiones son iguales para muchos valores diferentes sustituimos por la variable, entonces las expresiones pueden ser equivalentes, pero no lo sabemos con certeza. Es imposible comparar las dos expresiones para todos los valores. Para saber con certeza, utilizamos propiedades de operaciones. Por ejemplo,\(2(-3+x)+8\) es equivalente a\(2x+2\) porque:

\(\begin{array}{ccl}{2(-3+x)+8}&{\qquad}&{\qquad} \\ {-6+2x+8}&{\qquad}&{\text{by the distributive property}} \\ {2x+-6+8}&{\qquad}&{\text{by the commutative property}} \\ {2x+(-6+8)}&{\qquad}&{\text{by the associative property}} \\ {2x+2}&{\qquad}&{\qquad}\end{array}\)

Entradas en el glosario

Definición: Expandir

Para expandir una expresión, usamos la propiedad distributiva para reescribir un producto como suma. La nueva expresión es equivalente a la expresión original.

Por ejemplo, podemos expandir la expresión\(5(4x+7)\) para obtener la expresión equivalente\(20x+25\).

Definición: Factor (una expresión)

Para factorizar una expresión, utilizamos la propiedad distributiva para reescribir una suma como producto. La nueva expresión es equivalente a la expresión original.

Por ejemplo, podemos factorizar la expresión\(20x+35\) para obtener la expresión equivalente\(5(4x+7)\).

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión\(5x+18\) tiene dos términos. El primer término es\(5x\) y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Andre dice eso\(10x+6\) y\(5x+11\) son equivalentes porque ambos igualan 16 cuando\(x\) es 1. ¿Estás de acuerdo con Andre? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Seleccione todas las expresiones que se puedan restar\(9x\) para dar como resultado la expresión\(3x+5\).

1. \(-5+6x\)
2. \(5-6x\)
3. \(6x+5\)
4. \(6x-5\)
5. \(-6x+5\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Seleccione todas las declaraciones que sean verdaderas para cualquier valor de\(x\).

1. \(7x+(2x+7)=9x+7\)
2. \(7x+(2x-1)=9x+1\)
3. \(\frac{1}{2}x+(3-\frac{1}{2}x)=3\)
4. \(5x-(8-6x)=-x-8\)
5. \(0.4x-(0.2x+8)=0.2x-8\)
6. \(6x-(2x-4)=4x+4\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Para cada situación, ¿la describirías con\(x<25\),\(x>25\),\(x\leq 25\), o\(x\geq 25\)?

1. La biblioteca está teniendo una fiesta para cualquier estudiante que lea al menos 25 libros durante el verano. Priya leyó\(x\) libros y fue invitada a la fiesta.
2. Kiran leyó\(x\) libros durante el verano pero no fue invitado a la fiesta.

Figura\(\PageIndex{1}\)

4.

Figura\(\PageIndex{2}\)

(De la Unidad 6.3.1)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Considera el problema: Una cubeta de agua se está llenando con agua de un grifo de agua a un ritmo constante. ¿Cuándo estará llena la cubeta? ¿Qué información necesitarías para poder resolver el problema?

(De la Unidad 2.3.3)