7.3.2: Volumen de Prismas Derechos.

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Lección

Veamos volúmenes de prismas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Three Prisms with the Same Volume

Los rectángulos A, B y C representan bases de tres prismas.

Si cada prisma tiene la misma altura, ¿cuál tendrá el mayor volumen y cuál tendrá el menor? Explica tu razonamiento.
Si cada prisma tiene el mismo volumen, ¿cuál tendrá la altura más alta y cuál tendrá la más corta? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Finding Volume with Cubes

Este applet tiene 64 cubos snap, todos sentados en el mismo lugar de la pantalla, como una pila oculta de bloques. Siempre sabrás dónde está la pila porque se asienta sobre un cuadrado gris. Puedes seguir arrastrando bloques fuera de la pila por sus puntos rojos hasta que tengas lo suficiente para construir lo que quieras.

Haga clic en los puntos rojos para cambiar de movimiento izquierda/derecha a movimiento arriba/abajo.

También hay una forma en la cuadrícula. Marca la huella de las formas que vas a construir.

Usando la cara de un cubo a presión como su unidad de área, ¿cuál es el área de la forma? Explica o muestra tu razonamiento.
Usa cubos de presión para construir la forma a partir del papel. Agrega otra capa de cubos encima de la forma que has construido. Describir este objeto tridimensional.
¿Cuál es el volumen de tu objeto? Explica tu razonamiento.
Ahora mismo, tu objeto tiene una altura de 2. ¿Cuál sería el volumen
1. si tuviera una altura de 5?
2. si tuviera una altura de 8.5?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Can You Find the Volume?

El applet tiene un conjunto de figuras tridimensionales.

Para cada figura, determina si la forma es un prisma.
Para cada prisma:
1. Encuentra el área de la base del prisma.
2. Encuentra la altura del prisma.
3. Calcular el volumen del prisma.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
¿Es un prisma?	área de la base del prisma (cm\(^{2}\))	altura (cm)	volumen (cm\(^{3}\))
	\ (^ {2}\)) ">		\ (^ {3}\)) ">
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Comienza agarrando la barra gris de la izquierda y arrastrándola hacia la derecha hasta que veas el deslizador.
Elige una figura usando el control deslizante.
Gire la vista usando la herramienta Rotar gráficos 3D marcada por dos flechas curvas que se cruzan.
Tenga en cuenta que cada poliedro tiene solo una etiqueta por cara única. Donde no se muestran medidas, las caras son copias idénticas.
Utilice la herramienta de distancia, marcada con el “cm”, para hacer clic en cualquier segmento y encontrar la altura o la longitud.
Consejo de solución de problemas: el cursor debe estar en la ventana Gráficos 3D para que aparezca la barra de herramientas completa.

¿Estás listo para más?

Imagina un cubo grande y sólido hecho de 64 cubos a presión blancos. Alguien pinta en aerosol las 6 caras del cubo grande de azul. Después de que la pintura se seque, desmontan el cubo grande en una pila de 64 cubos a presión.

¿Cuántos de esos 64 cubos snap tienen exactamente 2 caras que son azules?
¿Cuáles son los otros números posibles de caras azules que pueden tener los cubos? ¿Cuántos de cada uno hay?
Intente este problema nuevamente con algunos cubos de mayor tamaño que usan más de 64 cubos a presión para construir. ¿Qué patrones notas?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): What's the Prism's Height?

Hay 4 prismas diferentes que todos tienen el mismo volumen. Así es como se ve la base de cada prisma.

Figura\(\PageIndex{4}\): Cuatro polígonos en una cuadrícula. Polígono A, un bloque de 3 por 3 con un bloque de 1 por 1 que falta en la esquina. Polígono B, un triángulo rectángulo 3 cuadras por 4 cuadras. Polígono C, un rectángulo de 4 por 4 con un triángulo de 4 por 1 que falta en la parte superior. Polígono D, 5 bloques dispuestos como un signo más.

Ordene los prismas del más corto al más alto. Explica tu razonamiento.
Si el volumen de cada prisma es de 60 unidades ³, ¿cuál sería la altura de cada prisma?
Para un volumen distinto a 60 unidades ³, ¿cuál podría ser la altura de cada prisma?
Discuta tu pensamiento con tu pareja. Si no estás de acuerdo, trabaja para llegar a un acuerdo.

Resumen

Cualquier sección transversal de un prisma que sea paralela a la base será idéntica a la base. Esto significa que podemos rebanar prismas para ayudar a encontrar su volumen. Por ejemplo, si tenemos un prisma rectangular que tiene 3 unidades de altura y tiene una base que es de 4 unidades por 5 unidades, podemos pensar en esto como 3 capas, donde cada capa tiene unidades\(4\cdot 5\) cúbicas.

Eso significa que el volumen del prisma rectangular original es de unidades\(3(4\cdot 5)\) cúbicas.

¡Esto funciona con cualquier prisma! Si tenemos un prisma con altura 3 cm que tiene una base de área 20 cm ², entonces el volumen es\(3\cdot 20\) cm ³ independientemente de la forma de la base. En general, el volumen de un prisma con altura\(h\) y área\(B\) es

\(V=B\cdot h\)

Por ejemplo, estos dos prismas tienen ambos un volumen de 100 cm ³.

Entradas en el glosario

Definición: Base (de un prisma o pirámide)

La palabra base también puede referirse a una cara de un poliedro.

Un prisma tiene dos bases idénticas que son paralelas. Una pirámide tiene una base.

Un prisma o pirámide recibe el nombre de la forma de su base.

Figura\(\PageIndex{7}\): La figura de la izquierda está etiquetada como prisma pentagonal. Hay dos pentágonos idénticos en la parte superior e inferior. Cada vértice de un pentágono está conectado por un segmento vertical al vértice correspondiente de los otros pentágonos. Los pentágonos están cada uno sombreados, con la base de la palabra apuntando a cada uno. La figura de la derecha está etiquetada como pirámide hexagonal. Hay un hexágono en la parte inferior sombreada en verde. Desde un punto por encima del hexágono se extienden 6 segmentos, cada uno conectado a un vértice del hexágono.

Definición: Sección transversal

Una sección transversal es la nueva cara que ves cuando cortas una figura tridimensional.

Por ejemplo, si corta una pirámide rectangular paralela a la base, obtiene un rectángulo más pequeño como sección transversal.

Definición: Prisma

Un prisma es un tipo de poliedro que tiene dos bases que son copias idénticas entre sí. Las bases están conectadas por rectángulos o paralelogramos.

Aquí algunos dibujos de prismas.

Definición: Pyramid

Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una base. Todas las demás caras son triángulos, y todas se encuentran en un solo vértice.

Aquí algunos dibujos de pirámides.

Definición: Volumen

Volumen es el número de unidades cúbicas que llenan una región tridimensional, sin huecos ni superposiciones.

Por ejemplo, el volumen de este prisma rectangular es de 60 unidades ³, debido a que está compuesto por 3 capas que son cada una de 20 unidades ³.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Selecciona todos los prismas.
Para cada prisma, sombrea una de sus bases.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

El volumen de ambos prismas trapezoidales es de 24 unidades cúbicas. Sus alturas son de 6 y 8 unidades, tal como están etiquetadas. ¿Cuál es el área de una base trapezoidal de cada prisma?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dos ángulos son complementarios. Uno tiene una medida de 19 grados. ¿Cuál es la medida del otro?

(De la Unidad 7.1.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dos ángulos son suplementarios. Uno tiene una medida que es dos veces más grande que la otra. Encuentra las dos medidas de ángulo.

(De la Unidad 7.1.2)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Haga coincidir cada expresión de la primera lista con una expresión equivalente de la segunda lista.

\(7(x+2)-x+3\)
\(6x+3+4x+5\)
\(\frac{-2}{5}x-7+\frac{3}{5}x-3\)
\(8x-5+4-9\)
\(24x+36\)

\(\frac{1}{5}x-10\)
\(6x+17\)
\(2(5x+4)\)
\(12(2x+3)\)
\(8x+(-5)+4+(-9)\)

(De la Unidad 6.4.5)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Clare pagó 50% más por su cuaderno de lo que Priya pagó por el suyo. Priya\(x\) pagó su cuaderno y Clare pagó\(y\) dólares por el suyo. Escribir una ecuación que represente la relación entre\(y\) y\(x\).

(De la Unidad 4.2.3)