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7.3.4: Superficie de los prismas derechos

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    Lección

    Veamos la superficie de los prismas.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Multifaceted

    Tu profesor te mostrará un prisma.

    1. ¿Cuáles son algunas cosas que podrías medir sobre el objeto?
    2. ¿Qué unidades usarías para estas medidas?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): So Many Faces

    Aquí hay una imagen del prisma de tu profesor:

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Tres estudiantes están tratando de calcular la superficie de este prisma.

    • Noé dice: “Esto va a ser mucho trabajo. Tenemos que encontrar las áreas de 14 caras diferentes y sumarlas”.
    • Elena dice: “No es tan malo. Todos los 12 rectángulos son copias idénticas, por lo que podemos encontrar el área para uno de ellos, multiplicarlo por 12 y luego sumar en las áreas de las 2 bases”.
    • Andre dice: “¡Espera, veo otra manera! Imagínese desplegando el prisma en una red. Podemos usar 1 rectángulo grande en lugar de 12 pequeños”.
    1. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.
    2. ¿Qué tan grande es el “1 rectángulo grande” del que habla Andre? Explica o muestra tu razonamiento. Si te atascas, considera dibujar una red para el prisma.
    3. ¿El método de Noé siempre funcionará para encontrar la superficie de cualquier prisma? ¿El método de Elena? ¿El método de Andre? Esté preparado para explicar su razonamiento.
    4. ¿Qué método prefieres? ¿Por qué?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Revisiting a Pentagonal Prism

    1. Entre usted y su pareja, elija quién utilizará cada uno de estos dos métodos para encontrar la superficie del prisma.
      • Adición de las áreas de todas las caras
      • Usando el perímetro de la base.
    2. Utilice su método elegido para calcular el área de superficie del prisma. Muestra tu pensamiento. Organízalo para que pueda ser seguido por otros.
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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    3. Comercia papeles con tu pareja, y revisa su trabajo. Discuta tu pensamiento. Si no estás de acuerdo, trabaja para llegar a un acuerdo.

    ¿Estás listo para más?

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    Figura\(\PageIndex{3}\)
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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    En una baraja de cartas, cada carta mide 6 cm por 9 cm.

    1. Cuando está apilada, la plataforma mide 2 cm de altura, como se muestra en la primera foto. Encuentra el volumen de esta baraja de cartas.
    2. Después se avivan las tarjetas, como se muestra en la segunda imagen. La distancia desde el punto más a la derecha en la carta inferior hasta el punto más a la derecha en la tarjeta superior es ahora de 7 cm en lugar de 2 cm. Encuentra el volumen de la nueva pila.

    Resumen

    Para encontrar el área superficial de una figura tridimensional cuyas caras están formadas por polígonos, podemos encontrar el área de cada cara, ¡y sumarlas!

    A veces hay formas de simplificar nuestro trabajo. Por ejemplo, todas las caras de un cubo con longitud lateral\(s\) son iguales. Podemos encontrar el área de una cara, y multiplicar por 6. Dado que el área de una cara de un cubo es\(s^{2}\), la superficie de un cubo es\(6s^{2}\).

    Podemos utilizar esta técnica para que sea más rápido encontrar el área de superficie de cualquier figura que tenga caras iguales.

    Para los prismas, hay otra manera. Podemos tratar el prisma como que tiene tres partes: dos bases idénticas, y un rectángulo largo que ha sido grabado a lo largo de los bordes de las bases. El rectángulo tiene la misma altura que el prisma, y su ancho es el perímetro de la base. Para encontrar el área de superficie, agregue el área de este rectángulo a las áreas de las dos bases.

    Entradas en el glosario

    Definición: Base (de un prisma o pirámide)

    La palabra base también puede referirse a una cara de un poliedro.

    Un prisma tiene dos bases idénticas que son paralelas. Una pirámide tiene una base.

    Un prisma o pirámide recibe el nombre de la forma de su base.

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    Figura\(\PageIndex{5}\): La figura de la izquierda está etiquetada como prisma pentagonal. Hay dos pentágonos idénticos en la parte superior e inferior. Cada vértice de un pentágono está conectado por un segmento vertical al vértice correspondiente de los otros pentágonos. Los pentágonos están cada uno sombreados, con la base de la palabra apuntando a cada uno. La figura de la derecha está etiquetada como pirámide hexagonal. Hay un hexágono en la parte inferior sombreada en verde. Desde un punto por encima del hexágono se extienden 6 segmentos, cada uno conectado a un vértice del hexágono.

    Definición: Sección transversal

    Una sección transversal es la nueva cara que ves cuando recortas una figura tridimensional.

    Por ejemplo, si corta una pirámide rectangular paralela a la base, obtiene un rectángulo más pequeño como sección transversal.

    Definición: Prisma

    Un prisma es un tipo de poliedro que tiene dos bases que son copias idénticas entre sí. Las bases están conectadas por rectángulos o paralelogramos.

    Aquí algunos dibujos de prismas.

    clipboard_e7e6a728838af063c32f37472e750bf6f.png
    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Definición: Pyramid

    Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una base. Todas las demás caras son triángulos, y todas se encuentran en un solo vértice.

    Aquí algunos dibujos de pirámides.

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    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Definición: Superficie

    El área superficial de un poliedro es el número de unidades cuadradas que cubren todas las caras del poliedro, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen cada una un área de 9 cm 2, entonces la superficie del cubo es\(6\cdot 9\), o 54 cm 2.

    Definición: Volumen

    Volumen es el número de unidades cúbicas que llenan una región tridimensional, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, el volumen de este prisma rectangular es de 60 unidades 3, debido a que está compuesto por 3 capas que son cada una de 20 unidades 3.

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    Figura\(\PageIndex{8}\)

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Las longitudes de los bordes se dan en unidades. Encuentra el área de superficie de cada prisma en unidades cuadradas.

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    Figura\(\PageIndex{9}\): Cinco prismas. Prisma A, prisma rectangular con dimensiones 5, 8, 10. Prisma B, la base es un triángulo rectángulo con lados 6, 8, 10, altura del prisma 15. Prisma C, prisma rectangular con dimensiones 5, 13, 4. Prisma D, la base es un triángulo rectángulo con lados 5, 12 y 13, la altura del prisma es 8. Prisma E, base es un triángulo con lados 6, 5, 5 y altura perpendicular al lado 6 es 4, altura del prisma 12.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Priya dice: “No importa de qué manera cortes este prisma rectangular, la sección transversal será un rectángulo”. Mai dice: “No estoy tan segura”. Describe una porción en la que Mai podría estar pensando.

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    Figura\(\PageIndex{10}\)

    (De la Unidad 7.3.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(B\)es la intersección de línea\(AC\) y línea\(ED\). Encuentra la medida de cada uno de los ángulos.

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    Figura\(\PageIndex{11}\): Dos líneas y dos rayos que se cruzan en el punto B creando 6 ángulos. La línea AC está inclinada hacia abajo y hacia la derecha y la línea ED está inclinada hacia arriba y hacia la derecha. Ray BG se dibuja entre el segmento de línea BD y el segmento de línea BC. El ángulo GBC que se forma mide 65 grados. Ray BF se dibuja entre el segmento de línea BC y el segmento de línea BE. El ángulo FBE que se forma mide 20 grados. Ángulo ABE está etiquetado 110 grados.
    1. Ángulo\(ABF\)
    2. Ángulo\(ABD\)
    3. Ángulo\(EBC\)
    4. Ángulo\(FBC\)
    5. Ángulo\(DBG\)

    (De la Unidad 7.1.5)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Escribe cada expresión con menos términos.

    1. \(12m-4m\)
    2. \(12m-5k+m\)
    3. \(9m+k-(3m-2k)\)

    (De la Unidad 6.4.3)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    1. Encuentra 44% de 625 usando los hechos que 40% de 625 es 250 y 4% de 625 es 25.
    2. ¿Qué es el 4.4% de 625?
    3. ¿Qué es 0.44% de 625?

    (De la Unidad 4.2.4)

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