8.4.2: Estimación de proporciones poblacionales

Lección

Estimemos las proporciones poblacionales usando muestras.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Getting to School

Un maestro preguntó a todos los alumnos de una clase cuántos minutos les lleva llegar a la escuela. Aquí hay una lista de sus respuestas:

\(20\quad 10\quad 15\quad 8\quad 5\quad 15\quad 10\quad 5\quad 20\quad 5\quad 15\quad 10\quad 3\quad 10\quad 18\quad 5\quad 25\quad 5\quad 5\quad 12\quad 10\quad 30\quad 5\quad 10\quad \)

1. Qué fracción de los alumnos de esta clase dice:
   1. les toma 5 minutos llegar a la escuela?
   2. les toma más de 10 minutos llegar a la escuela?
2. Si toda la escuela tiene 720 alumnos, ¿puedes usar estos datos para estimar cuántos de ellos dirían que les toma más de 10 minutos llegar a la escuela?
   Esté preparado para explicar su razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Reacting Times

El entrenador de pista en una escuela secundaria necesita un estudiante cuyo tiempo de reacción sea inferior a 0.4 segundos para ayudar en las juntas de pista. Todos los alumnos de duodécimo grado de la escuela midieron sus tiempos de reacción. Tu profesor te entregará una bolsa de papeles que listan sus resultados.

1. Trabaja con tu pareja para seleccionar una muestra aleatoria de 20 tiempos de reacción, y registrarlos en la tabla.

   Mesa\(\PageIndex{1}\)

2. ¿Qué proporción de tu muestra es menor a 0.4 segundos?
3. Estimar la proporción de todos los alumnos de duodécimo grado de esta escuela que tengan un tiempo de reacción inferior a 0.4 segundos. Explica tu razonamiento.
4. En esta escuela hay 120 alumnos de duodécimo grado. Estima cuántos de ellos tienen un tiempo de reacción inferior a 0.4 segundos.
5. Supongamos que a otro grupo de tu clase se le ocurre una estimación diferente a la tuya para la pregunta anterior.
   1. ¿Cuál es otra estimación que sería razonable?
   2. ¿Cuál es una estimación que considerarías irrazonable?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): A New Comic Book Hero

Estos son los resultados de una encuesta a 20 personas que leyeron Las aventuras de Super Sam respecto a qué habilidad especial creen que debería tener el nuevo héroe.

Figura\(\PageIndex{1}\): Flame 002, de Will Eisner (lápices) y Lou Fine (tintas) subido por Roygbiv666 (Public Domain Super Heroes). Dominio Público. Wikimedia Commons. Fuente.

Mesa\(\PageIndex{2}\)

respuesta	¿Qué nueva habilidad?
1	volar
2	congelar
3	congelar
4	volar
5	volar
6	congelar
7	volar
8	super fuerza
9	congelar
10	volar
11	congelar
12	congelar
13	volar
14	invisibilidad
15	congelar
16	volar
17	congelar
18	volar
19	super fuerza
20	congelar

1. ¿Qué proporción de esta muestra quiere que el nuevo héroe tenga la capacidad de volar?
2. Si hay 2,024 lectores dedicados de Las aventuras de Super Sam, estime el número de lectores que quieren que el nuevo héroe vuele.
   Otros dos cómics hicieron una encuesta similar a sus lectores.
   • En una encuesta a personas que leen Beyond Human, 42 de cada 60 personas quieren un nuevo héroe para poder volar.
   • En una encuesta a personas que leen Planetas misteriosos, 14 de cada 40 personas quieren un nuevo héroe para poder volar.
3. ¿Crees que la proporción de todos los lectores que quieren un nuevo héroe que pueda volar es casi la misma para los tres cómics diferentes? Explica tu razonamiento.
4. Si estuvieras a cargo de estos tres cómics, ¿le darías la posibilidad de volar a alguno de los nuevos héroes? Explica tu razonamiento usando las proporciones que calculaste.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Flying to the Shelves

Los autores de Las aventuras de Super Sam eligieron 50 muestras aleatorias diferentes de lectores. Cada muestra fue de tamaño 20. Miraron las proporciones de muestra que prefieren volar al nuevo héroe.

Figura\(\PageIndex{2}\): Una gráfica de puntos para proporciones de muestra para Las aventuras de Super Sam con los números 0 punto 1 a 0 punto 55, en incrementos de punto cero cero 5, indicado. Los datos son los siguientes: 0 punto 1, 3 puntos. 0 punto 1 5, 3 puntos. 0 punto 2, 11 puntos. 0 punto 2 5, 10 puntos. 0 punto 3, 8 puntos. 0 punto 3 5, 7 puntos. 0 punto 4, 4 puntos. 0 punto 4 5, 2 puntos. 0 punto 5, 1 punto. 0 punto 5, 1 punto. 0 punto 5 5, 1 punto.

1. ¿Cuál es una buena estimación de la proporción de todos los lectores que quieren que el nuevo héroe pueda volar?
2. ¿La mayoría de las proporciones muestrales están dentro de 0.1 de su estimación para la proporción poblacional?
3. Si los autores de Las aventuras de Super Sam le dan al nuevo héroe la capacidad de volar, ¿eso complacerá a la mayoría de los lectores? Explica tu razonamiento.

Los autores de la otra serie de cómics crearon tramas de puntos similares.

Figura\(\PageIndex{3}\): Se indica una gráfica de puntos para proporciones muestrales para Beyond Human con los números 0 punto 6 a 0 punto 8 5, en incrementos de punto cero cero 5. Los datos son los siguientes: 0 punto 6 3, 1 punto. 0 punto 6 5, 2 puntos. 0 punto 6 7, 3 puntos. 0 punto 6 9, 4 puntos. 0 punto 7, 5 puntos. 0 punto 7 2, 6 puntos. 0 punto 7 4, 6 puntos. 0 punto 7 5, 5 puntos. 0 punto 7 7, 7 puntos. 0 punto 7 8, 6 puntos. 0 punto 8, 3 puntos 0 punto 8 2, 1 punto. 0 punto 8 4, 1 punto.

Figura\(\PageIndex{4}\): Se indica una gráfica de puntos para proporciones muestrales para Planetas Misteriosos con los números 0 punto 3 a 0 punto 7, en incrementos de 0 punto 5. Los datos son los siguientes: 0 punto 3 3, 1 punto. 0 punto 3 5, 2 puntos. 0 punto 3 8, 5 puntos. 0 punto 4, 2 puntos. 0 punto 4 3, 6 puntos. 0 punto 4 5, 4 puntos. 0 punto 4 8, 7 puntos. 0 punto 5, 3 puntos. 0 punto 5 3, 6 puntos. 0 punto 5 5, 5 puntos. 0 punto 6, 3 puntos. 0 punto 6, 3 puntos. 0 punto 6, punto 6. 3, 2 puntos. 0 punto 6 5, 2 puntos. 0 punto 6 7, 2 puntos.

4. Para cada una de estas series, estime la proporción de todos los lectores que quieren que el nuevo héroe vuele.

• Más allá de lo humano:
• Planetas misteriosos:

5. ¿Deberían los autores de alguna de estas series darle a su nuevo héroe la capacidad de volar?

6. ¿Por qué podría ser más difícil para los autores de Misteriosos Planetas tomar la decisión que los autores de la otra serie?

¿Estás listo para más?

Dibuja un ejemplo de una gráfica de puntos con al menos 20 puntos que representen las proporciones muestrales para diferentes muestras aleatorias que indicarían que la proporción poblacional está por encima de 0.6, pero hay mucha incertidumbre sobre esa estimación.

Resumen

En ocasiones, un conjunto de datos consiste en información que se ajusta a categorías específicas. Por ejemplo, podríamos encuestar a los estudiantes sobre si tienen un gato o un perro mascota. Las categorías para estos datos serían {ninguno, solo perro, solo gato, ambos}. Supongamos que encuestamos a 10 estudiantes. Aquí hay una tabla que muestra posibles resultados:

Mesa\(\PageIndex{3}\)

opción	número de respuestas
ni perro ni gato	\(2\)
solo para perros	\(4\)
solo para gatos	\(1\)
tanto perro como gato	\(3\)

En esta muestra, 3 de los alumnos dijeron que tienen tanto un perro como un gato. Podemos decir que la proporción de estos alumnos que tienen tanto un perro como un gato es\(\frac{3}{10}\) o 0.3. Si esta muestra es representativa de los 720 alumnos de la escuela, podemos predecir que alrededor\(\frac{3}{10}\) de 720, o alrededor de 216 alumnos de la escuela tienen tanto un perro como un gato.

En general, una proporción es un número de 0 a 1 que representa la fracción de los datos que pertenece a una categoría dada.

Entradas en el glosario

Definición: Rango intercuartílico (IQR)

El rango intercuartílico es una forma de medir qué tan extendido está un conjunto de datos. A esto a veces lo llamamos el IQR. Para encontrar el rango intercuartil restamos el primer cuartil del tercer cuartil.

Por ejemplo, el IQR de este conjunto de datos es 20 porque\(50-30=20\).

Mesa\(\PageIndex{4}\)

22	29	30	31	32	43	44	45	50	50	59
		Q1			Q2			Q3

Definición: Proporción

Una proporción de un conjunto de datos es la fracción de los datos en una categoría dada.

Por ejemplo, una clase cuenta con 18 alumnos. Hay 2 estudiantes zurdos y 16 estudiantes diestros en la clase. La proporción de estudiantes que son zurdos es\(\frac{2}{20}\), o 0.1.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Tyler se pregunta qué proporción de alumnos de su escuela se teñirían el pelo de azul, si se les permitiera. Encuestó a una muestra aleatoria de 10 alumnos de su escuela, y 2 de ellos dijeron que lo harían. Kiran no pensó que la estimación de Tyler fuera muy precisa, por lo que encuestó a una muestra aleatoria de 100 estudiantes, y 17 de ellos dijeron que lo harían.

1. Con base en la muestra de Tyler, estime qué proporción de los estudiantes se teñirían el cabello de azul.
2. Con base en la muestra de Kiran, estime qué proporción de los estudiantes se teñirían el pelo de azul.
3. ¿De quién es la estimación más precisa? Explica cómo sabes.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Han encuesta a una muestra aleatoria de estudiantes sobre su plato de pasta favorito servido por la cafetería y hace un gráfico de barras de los resultados.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Estimar la proporción de los alumnos a los que les gusta la lasaña como su plato de pasta favorito.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Elena quiere saber qué proporción de personas tienen gatos como mascotas. Describir un proceso que podría utilizar para estimar una respuesta a su pregunta.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

El profesor de ciencias da la tarea diaria. Para una muestra aleatoria de días a lo largo del año, la mediana del número de problemas es 5 y el IQR es 2. El profesor de español también da tareas diarias. Para una muestra aleatoria de días a lo largo del año, la mediana del número de problemas es de 10 y el IQR es de 1. Si estimas que el número medio de problemas de tareas científicas es 5 y el número medio de problemas españoles en 10, ¿cuál es más probable que sea exacto? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 8.4.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Diego quiere encuestar a una muestra de alumnos de su escuela para conocer el porcentaje de alumnos que están satisfechos con la comida en la cafetería. Decide ir a la cafetería un lunes y preguntar a los primeros 25 alumnos que compren un almuerzo en la cafetería si están satisfechos con la comida.

¿Crees que esta es una buena manera para que Diego seleccione su muestra? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 8.3.4)