21.2: Multiplicación y división de números complejos

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Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

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Una característica interesante de la forma polar de un número complejo es que la multiplicación y división son muy fáciles de realizar.

Proposición: Producto y cociente de números complejos

Let\(r_1(\cos(\theta_1)+i\sin(\theta_1))\) y\(r_2(\cos(\theta_2)+i\sin(\theta_2))\) ser dos números complejos en forma polar. Entonces, el producto y el cociente de estos vienen dados por

\[\label{EQU:Product} r_{1}\left(\cos \left(\theta_{1}\right)+i \sin \left(\theta_{1}\right)\right) \cdot r_{2}\left(\cos \left(\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{2}\right)\right) =r_{1} r_{2} \cdot\left(\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right) \]

\[\label{EQU:Quotient}\dfrac{r_{1}\left(\cos \left(\theta_{1}\right)+i \sin \left(\theta_{1}\right)\right)}{r_{2}\left(\cos \left(\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{2}\right)\right)}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}} \cdot\left(\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right) \]

Prueba

La prueba utiliza las fórmulas de adición para funciones trigonométricas\(\sin(\alpha+\beta)\) y\(\cos(\alpha+\beta)\) de proposición [prop:TRIG-ADD-Subt-formulas].

\ [\ begin {alineado}
r_ {1}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ cdot r_ {2}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha) &=r_ {1} r_ {2}\ cdot\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i^ {2}\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)\\
&=r_ {1} r_ {2}\ cdot\ izquierda (\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) -\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha) +i\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)\\
&=r_ {1} r_ {2}\ cdot\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1} +\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {1} +\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)
\ end {alineado}\ nonumber\]

Para la fórmula de división, tenga en cuenta, que la fórmula de multiplicación\(\ref{EQU:Product}\) da

\ [\ begin {alineado}
r_ {2}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha)\ cdot\ dfrac {1} {r_ {2}}\ izquierda (\ cos\ izquierda (-\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (-\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha) &=r_ {2}\ dfrac {1} {r_ {2}}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {2} -\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {2} -\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)\\
&=1\ cdot (\ cos 0+i\ sin 0)\\
&=1\ cdot (1+i\ cdot 0)\\
&=1\\
\ LongRightarrow\ dfrac {1} {r_ {2}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin izquierda\ (\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)} &=\ dfrac {1} {r_ {2}}\ izquierda (\ cos\ izquierda (-\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (-\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)
\ final {alineado}\ nonumber\]

para que

\ [\ begin {alineado}
\ dfrac {r_ {1}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ derecha)} {r_ {2}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ _ {2}\ derecha)\ derecha)} &=r_ {1}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ cdot\ dfrac {1} {r_ {2}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)}\\
&=r_ {1}\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {1}\ derecha)\ cdot\ dfrac {1} {r_ {2}}\ izquierda (\ cos\ izquierda (-\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (-\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)\\
&=\ dfrac {r_ {1}} {r_ { 2}}\ cdot\ izquierda (\ cos\ izquierda (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (\ theta_ {1} -\ theta_ {2}\ derecha)\ derecha)
\ final {alineado}\ nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Multiplica o divide los números complejos y escribe tu respuesta en forma polar y estándar.

\(5\left(\cos \left(11^{\circ}\right)+i \sin \left(11^{\circ}\right)\right) \cdot 8\left(\cos \left(34^{\circ}\right)+i \sin \left(34^{\circ}\right)\right)\)
\(3\left(\cos \left(\dfrac{5 \pi}{8}\right)+i \sin \left(\dfrac{5 \pi}{8}\right)\right) \cdot 12\left(\cos \left(\dfrac{7 \pi}{8}\right)+i \sin \left(\dfrac{7 \pi}{8}\right)\right)\)
\(\dfrac{32\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}{8\left(\cos \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right)+i \sin \left(\dfrac{7 \pi}{12}\right)\right)}\)
\(\dfrac{4\left(\cos \left(203^{\circ}\right)+i \sin \left(203^{\circ}\right)\right)}{6\left(\cos \left(74^{\circ}\right)+i \sin \left(74^{\circ}\right)\right)}\)

Solución

Multiplicaremos y dividiremos los números complejos usando ecuaciones\(\ref{EQU:Product}\) y\(\ref{EQU:Quotient}\), respectivamente, para luego convertirlos a notación estándar\(a + bi\).

\ [\ comenzar {alineado}
5\ izquierda (\ cos\ izquierda (11^ {\ circ}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (11^ {\ circ}\ derecha)\ derecha)\ cdot 8\ izquierda (\ cos\ izquierda (34^ {\ circ}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (34^ {\ circ}\ derecha)\ derecha) &=5\ cdot 8\ cdot\ izquierda (\ cos\ izquierda (11^ {\ circ} +34^ {\ circ}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (11^ {\ circ} +34^ {\ circ}\ derecha)\ derecha) = 40\ izquierda (\ cos\ izquierda (45^ {\ circ}\ derecha) +i\ sin\ izquierda (45^ {\ circ}\ derecha)\ derecha)\\
&=40\ izquierda (\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +i\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\ derecha)\\
&=40\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} +i\ cdot 40\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}\\
&=20\ sqrt {2} +20\ sqrt {2} i
\ end { alineado}\ nonumber\]
De igual manera, obtenemos el siguiente producto.

\[3\left(\cos \left(\dfrac{5 \pi}{8}\right)+i \sin \left(\dfrac{5 \pi}{8}\right)\right) \cdot 12\left(\cos \left(\dfrac{7 \pi}{8}\right)+i \sin \left(\dfrac{7 \pi}{8}\right)\right) = 36\left(\cos \left(\dfrac{5 \pi}{8}+\dfrac{7 \pi}{8}\right)+i \sin \left(\dfrac{5 \pi}{8}+\dfrac{7 \pi}{8}\right)\right) \nonumber \]

Ahora,\(\dfrac{5\pi}{8}+\dfrac{7\pi}{8}=\dfrac{5\pi+7\pi}{8}=\dfrac{12\pi}{8}=\dfrac{3\pi}2\), y\(\cos\left(\dfrac{3\pi}2\right)=0\) y\(\sin\left(\dfrac{3\pi}2\right)=-1\). Por lo tanto, obtenemos que el producto es

\[36\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right) = 36 (0+i\cdot (-1))=-36i \nonumber \]

Para el cociente, utilizamos la fórmula de resta\(\ref{EQU:Quotient}\).

\[\dfrac{32\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}{8\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\right)}=\dfrac{32}{8}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{12}\right)\right) \nonumber \]

Ahora bien, la diferencia en el argumento de\(\cos\) y\(\sin\) viene dada por

\[\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{3\pi-7\pi}{12}=\dfrac{-4\pi}{12}=\dfrac{-\pi}{3} \nonumber \]

y\(\cos\left(-\dfrac{\pi}3\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}3\right)=\dfrac 1 2\) y\(\sin\left(-\dfrac{\pi}3\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}3\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Con esto, obtenemos

\[\begin{aligned} \dfrac{32\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}{8\left(\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)+i\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\right)}&= 4\left(\cos\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)\right)\\ &=4\cdot \left(\dfrac 1 2-i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\&=2-2\sqrt{3} \cdot i \end{aligned} \nonumber \]

Por último, calculamos

\[\dfrac{4\left(\cos(203^\circ)+i\sin(203^\circ)\right)}{6(\cos(74^\circ)+i\sin(74^\circ))} = \dfrac{2}{3}\cdot \Big(\cos(129^\circ)+i\sin(129^\circ)\Big) \nonumber \]

Como no tenemos valores exactos de\(\cos\) y\(\sin\) para el ángulo\(129^\circ\), aproximamos el número complejo en forma estándar con la calculadora.

\[\begin{aligned} \dfrac{2}{3}\cdot \Big(\cos(129^\circ)+i\sin(129^\circ)\Big) &= \dfrac{2}{3}\cdot\cos(129^\circ)+i\cdot \dfrac{2}{3}\cdot\sin(129^\circ) \\ &\approx -0.420+ 0.518\cdot i\end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que aquí aproximamos la solución a la milésima más cercana.