1.3: Factoraje y expansión

Primero, veremos cómo expandir correctamente un producto de polinomios. Una vez que hayamos discutido esta habilidad, veremos factorizar polinomios. Expandir y factorizar son ideas inversas; ambas funcionan con las mismas dos formas y nos ayudan a alternar entre estas dos formas. La expansión funciona a partir de las ideas que vimos cuando miramos el orden de las operaciones, pero normalmente involucra variables o parámetros de tal manera que no podemos escribir la expresión sin usar suma o resta.

1.3.1: Ampliando

Cuando aprendemos a multiplicar dos números de dos dígitos juntos, estamos usando las mismas ideas que se utilizan en la expansión. Echemos nuestro primer vistazo a cómo vamos a expandir productos de funciones al ver esos métodos, pero con multiplicar dos números de dos dígitos juntos en lugar de multiplicar dos funciones. Esto te mostrará los métodos que usaremos, pero con un problema ya sabes cómo hacerlo. Estos métodos te mostrarán una nueva forma de ver este problema que nos ayudará a expandir las funciones correctamente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Multiplying Two Two-Digit Numbers

Evaluar\((40+2)(30+1)\).

Solución

Por lo general, iniciaríamos este problema observando nuestro orden de operaciones. Nuestro orden de operaciones nos dice que hagamos primero todo dentro de los paréntesis, lo que nos daría\((42)(31)\), y luego los multiplicaríamos. Sin embargo, vamos a usar la propiedad distributiva en su lugar. La propiedad distributiva nos dice que cada término en el primer conjunto de paréntesis debe multiplicarse por el segundo conjunto de paréntesis:

\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:distributive_prop} \begin{split} (40+2)(30+1) & = 40(30+1) + 2(30+1) \\ & = 40\times 30 +40\times 1 + 2\times 30 + 2 \times 1 \\ & = 1200+40+60+2 \\ & = 1302 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Después de multiplicar el segundo conjunto de paréntesis por cada término del primer conjunto, entonces usamos nuevamente la propiedad distributiva. En este segundo paso, distribuimos 40 a ambos 30 y 1 y distribuimos 2 a ambos 30 y 1. Después de que se formen estas multiplicaciones, terminamos con cuatro términos. Aquí, los cuatro términos son solo números y se pueden sumar para obtener la respuesta final:

\[(40+2)(30+1)=1302\]

Claramente, para este problema, esta no es la forma más fácil de obtener la respuesta final, pero ilustra cómo podemos usar correctamente la propiedad distributiva. El uso de la propiedad distributiva se vuelve muy importante cuando tenemos variables o parámetros involucrados y no podemos simplificar dentro de los paréntesis.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Expanding the Product of Linear Functions

Ampliar\(f(x)g(x)\), dónde\(f(x)=2x-1\) y\(g(x)=x+5\).

Solución

Primero, tenemos que asegurarnos de que estamos usando correctamente paréntesis en este problema. Queremos ampliar el producto de\(f(x)\) y\(g(x)\), cada uno de los cuales tiene dos términos. Esto significa que necesitamos incluir un conjunto de paréntesis alrededor\(f(x)\) y un conjunto alrededor\(g(x)\) para asegurarnos de que multipliquemos con toda la función. Después de eso, usaremos la propiedad distributiva, tal como hicimos en el ejemplo anterior. \[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:distribute} \begin{split} f(x)g(x) & = (2x-1)(x+5)\\ & = 2x(x+5) -1(x+5) \\ & = 2x^2+10x -x -5 \\ & = 2x^2 + 9x -5 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Al igual que en nuestro ejemplo anterior, distribuimos multiplicando primero cada término del primer conjunto de paréntesis al segundo conjunto de paréntesis. Al final, pudimos combinar términos similares porque teníamos dos términos lineales:\(10x\) y\(-x\). No se pudieron combinar otros términos porque solo había un término cuadrático y solo un término constante, dándonos una respuesta final de

\[f(x)g(x)=2x^{2}+9x-5\]

Mucha gente se saltará el paso de escribir\(2x(x+5) -1(x+5)\) y saltará directamente a\(2x^2+10x-x-5\). Una forma en la que puedes hacer este salto es usando el acrónimo FOIL. FOIL significa Primera, Exterior, Interior, Última. Dice que se debe multiplicar el primer término de cada conjunto de paréntesis juntos, luego los términos “externos”, luego los términos “internos”, y luego los últimos términos. Esto funciona muy bien cuando cada conjunto de paréntesis sólo tiene dos términos en él. Sin embargo, si los paréntesis tienen más de dos términos cada uno, FOIL puede ser un poco engañoso. En cambio, nos gusta pensar en comenzar con el primer término en el primer conjunto de paréntesis y multiplicarlo por el primer término del segundo conjunto, luego el segundo término del segundo conjunto, luego el tercer término del segundo conjunto, etc. Luego, pasamos al segundo término en el primer conjunto, y hacemos lo mismo. Veamos esto en acción:

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Expanding the Product of Quadratic Functions

Ampliar\(g(t)h(t)\) para\(g(t)=2t^2+3t+4\) y\(h(t)=t^2-t-3\).

Solución

Como antes, necesitamos asegurarnos de poner paréntesis alrededor de cada una de las funciones antes de multiplicarnos; esto nos da:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} g(t)h(t) & = (2t^2+3t+4)(t^2-t-3) \\ & = 2t^2(t^2-t-3)+3t(t^2-t-3)+4(t^2-t-3) \\ & = 2t^4-2t^3-6t^2 +3t^3-3t^2-9t +4t^2-4t-12 \\ & = 2t^4 + t^3 -5t^2 -13t -12 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Aquí tuvimos un poco de combinación de términos similares para encargarnos después de que terminamos de multiplicar; había un\(t^4\) término, dos\(t^3\) términos, tres\(t^2\) términos, dos\(t\) términos y un término constante. Después de combinar los términos similares, obtenemos

\[g(t)h(t)=2t^{4}+t^{3}-5t^{2}-13t-12\]

En cada uno de nuestros ejemplos hasta ahora, solo hemos trabajado con dos conjuntos de paréntesis. Podemos ampliar este proceso para trabajar en situaciones en las que tengamos tres o más conjuntos de paréntesis. Personalmente, nos gusta trabajar de izquierda a derecha, por lo que comenzamos expandiendo los dos primeros conjuntos de paréntesis. Entonces, tomamos ese resultado y lo expandimos con el siguiente set. Seguimos hasta que todo se haya ampliado. Nos aseguramos de combinar términos similares como parte de cada expansión porque de lo contrario el número de términos se vuelve realmente grande, muy rápido. Como vimos en nuestra expansión de cuadráticas, teníamos nueve términos antes de combinar términos similares; después de combinar, solo teníamos cinco.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Expanding with Three Set of Parentheses

Ampliar\(f(x)g(x)h(x)\) dónde\(f(x)=x-4\)\(g(x)= -x+3\), y\(h(x)=2x+1\),

Solución

Trabajaremos de izquierda a derecha; expandiremos los dos primeros conjuntos de paréntesis y luego ese resultado con el tercer conjunto. \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} f(x)g(x)h(x) & =(x-4)(-x+3)(2x+1) \\ & = (-x^2+3x+4x-12)(2x+1) \\ & = (-x^2+7x-12)(2x+1) \\ & = -2x^3-x^2+14x^2+7x-24x-12 \\ & = -2x^3 + 13x^2 - 17x -12 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Observe que aquí no mostramos todos los pasos del proceso. De manera realista, este es el nivel de detalle que normalmente verías en este tipo de problemas. Hasta que tengas plena confianza con el proceso te recomendamos mostrar cada paso, pero una vez que te sientas cómodo con las ideas, puedes mostrar trabajo como lo hicimos nosotros en este problema. Observe que combinamos cualquier término similar después del primer paso de distribución, y luego nuevamente al final, dándonos una respuesta final de

\[f(x)g(x)h(x)=-2x^{3}+13x^{2}-17x-12\]

Estos métodos funcionarán, sin importar cuántos conjuntos de paréntesis esté trabajando y sin importar cuántos términos haya en cada conjunto. Hay algunas otras situaciones en las que necesitaremos usar estas técnicas que quizás no sean obvias. Por ejemplo, si tenemos\(f(x)=x+3\) y\(g(x)=x^2\), sabemos que podríamos combinar estas dos funciones de muchas maneras. Si hacemos la composición de\(g\) con\(f\), tendríamos\(g(f(x))=(x+3)^2\). Podríamos dejar la función en esta forma, pero puede haber situaciones en las que queramos expandirla. Aquí tendríamos que recordar que\((x+3)^2\) es lo mismo que\((x+3)(x+3)\), ya que cuadrar significa que debemos multiplicar el término por sí mismo. Del mismo modo, si tenemos\(h(x)=x^3\) y queremos encontrar la composición de\(h\) con\(f\), tendríamos\(h(f(x))=(x+3)^3\), o\(h(f(x))=(x+3)(x+3)(x+3)\). Ten cuidado en estas situaciones para trabajar un paso a la vez; muchos estudiantes se sienten tentados a escribir cosas como\((x+3)^2 = x^2 + 3^2\) o\((x+3)^3 = x^3 + 3^3\), pero a través del proceso de expansión, puedes ver que este atajo no es bueno porque nos da una declaración falsa.

Patrones de expansión comunes

Hay algunas expansiones que aparecen con mucha frecuencia en las matemáticas. Te puede resultar útil memorizar algunos de estos patrones, sin embargo asegúrate de expandir cada uno a mano al menos una vez para que puedas ver y entender por qué estos patrones son correctos. Aquí hay tres expansiones que puede ver con frecuencia:

• \((a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\)

• \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)

• \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

En cada uno de estos patrones,\(a\) y\(b\) puede ser cualquier cosa. Echemos un vistazo a trabajar con uno de estos patrones cuando\(a\) y\(b\) son un poco complicados.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Expanding Using Expansion Rules

Usando las reglas de expansión dadas anteriormente, expanda\((2xy-3xyz)^2\)

Solución

Ya que aquí estamos cuadrando, la forma más cercana es la primera regla,\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). No obstante, en la primera regla se suman los términos, y en nuestro problema se resta el segundo término. No obstante, podemos arreglar esto escribiendo\((2xy + (-3xyz))^2\) en lugar de\((2xy-3xyz)^2\), ya que\(a\) y\(b\) puede ser cualquier cosa, positiva o negativa. A continuación, necesitamos identificar para qué debemos usar\(a\) y para\(b\). En la regla, el primer término es\(a\), y nuestro primer término lo es\(2xy\), por lo que debemos usar\(a=2xy\). El segundo término en el patrón es\(b\), y nuestro segundo término lo es\(-3xyz\), así que debemos usar\(b=-3xyz\). Observe que nuestro\(b\) incluye lo negativo. Ahora que hemos identificado la regla que necesitamos y cada parte de la regla, podemos completar nuestra expansión. Al hacer esto, pondremos paréntesis alrededor de cada uno\(a\) y cada uno\(b\) para asegurarnos de que todo se use correctamente. \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} (2xy - 3xyz)^2 & = (2xy + (-3xyz))^2 \\ & = (2xy)^2 + 2 (2xy)(-3xyz) + (-3xyz)^2 \\ & = (2xy)(2xy) + 2(2xy)(-3xyz) + (-3xyz)(-3xyz) \\ & = 4x^2y^2 -12x^2y^2z + 9 x^2y^2z^2 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Observe que fuimos muy cuidadosos en los lugares donde estábamos trabajando con signos negativos. Un error común es dejar de lado un signo negativo, pero esto puede cambiar drásticamente tu respuesta final. Aquí, no podemos combinar ningún término porque los exponentes en z son diferentes para cada uno de los términos, así que nuestra respuesta final es

\[(2xy-3xyz)^{2}=4x^{2}y^{2}-12x^{2}y^{2}z+9x^{2}y^{2}z^{2}\]

1.3.2: Factoraje

Como se mencionó al inicio de esta sección, la expansión y la factorización son acciones inversas; la expansión nos mueve del producto de polinomios a un polinomio único, expandido, y el factorización nos mueve de ese polinomio expandido único de nuevo al producto de polinomios. Nos movemos de un lado a otro entre las dos formas porque a veces una forma es mucho más útil que otra. Expandir a menudo es útil en el cálculo cuando se están tomando derivados o evaluando una integral, y el factoring se puede utilizar para simplificar funciones racionales (funciones que son el cociente de polinomios) y para determinar dónde una función es igual a cero (también conocido como encontrar sus raíces). Principalmente trabajaremos en la factorización de funciones cuadráticas y cúbicas; las funciones de grado superior pueden ser muy difíciles de factorizar y rara vez son necesarias factorizadas en el cálculo. También, sólo veremos ejemplos donde no hay un factor obvio que sea compartido por todos los términos; por ejemplo,\(h(t) = 2t^3+14t^2+20t\) tiene\(2t\) como factor para cada término, por lo que el primer paso sería factorizar el\(2t\). Esto daría\(h(t)=(2t)(t^2+14t+20)\). Tu primer paso en la factorización siempre debe ser buscar factores comunes y lidiar con esos primero. En esta sección, discutiremos cómo encontrar los factores menos obvios.

Para factorizar, es importante sentirse cómodo con la expansión ya que son acciones inversas. Empezaremos por mirar cómo factorizar una función cuadrática donde el término principal,\(x^2\) tiene un coeficiente de uno. Las cuadráticas no siempre se pueden factorizar (volveremos a esto más adelante), pero las cuadráticas de esta forma son las más fáciles de trabajar. Cuando factorizamos una cuadrática, terminaremos con el producto de dos funciones lineales, llamadas factores, si es posible factorizar la cuadrática. Para polinomios de grado superior, nuestros factores pueden ser lineales o cuadráticos. Un polinomio solo puede tener tantos factores lineales como su grado, por lo que un cúbico puede tener como máximo tres factores lineales, y un polinomio de cuarto grado puede tener cuatro factores lineales como máximo. Echemos un vistazo rápido a cómo se ve el producto de dos funciones lineales:

\[\begin{align}\begin{aligned}  (x+a)(x+b) & = x^2 + bx + ax + ab \\ & = x^2 + (a+b)x + ab  \end{aligned}\label{expanding}\end{align}\]

Aquí, sólo estamos mirando situaciones donde\(a\) y\(b\) son ambos enteros. Pueden ser positivos, negativos o cero. Identificemos algunas características clave de la ecuación\(\eqref{expanding}\). Vemos que en cada término lineal,\(x\) tiene un coeficiente de uno. En la forma expandida, el\(x^2\) viene de multiplicar los dos\(x\) términos juntos, por lo que también tiene un coeficiente de uno. En la forma expandida, el término constante es producto de\(a\) y\(b\), y el coeficiente del\(x\) término es\(a+b\). La combinación de estos hechos nos ayudará a factorizar cuadráticas. Sabemos que si miramos el término constante en la versión expandida, será producto de las constantes a partir de los términos lineales. Esto nos dará un buen punto de partida para buscar factores. Entonces podemos limitar las posibilidades algunas mirando el\(x\) término en la forma expandida. Su coeficiente es la suma de estas dos constantes. Por ejemplo, si tenemos\(x^2+5x+4\), tenemos varios pares de enteros que podrían multiplicarse juntos para darnos 4. Veamos cómo podemos eliminar algunos de estos pares:

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Factoring a Quadratic

Factorizar la función cuadrática\(f(x)=x^2+5x+4\).

Solución

Como señalamos anteriormente, el mejor punto de partida es buscar pares de enteros que podamos multiplicar para obtener el término constante. Sabemos que para obtener 4, podríamos multiplicar cualquiera de los siguientes pares para obtener 4:

\[\begin{array}{lll}{\text{(A) 4 and 1}}&{\qquad}&{\text{(C) -4 and -1}} \\ {\text{(B) 2 and 2}}&{\qquad}&{\text{(D) -2 and -2}}\end{array}\nonumber\]

Ahora, veremos el\(x\) término en la cuadrática. Tiene un coeficiente de 5, por lo que necesitamos averiguar qué par de números sumarán hasta 5. Podemos ver bastante rápido que el único par que puede sumar hasta 5 es 4 y 1. Eso nos dice que los factores de\(x^2+5x+4\) son\(x+4\) y\(x+1\). A menudo nos gusta verificar que factorizamos correctamente multiplicando y expandiendo los factores. Comprobemos:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} (x+4)(x+1) & = x^2 + x + 4x +4 \\ & = x^2 + 5x + 4 \\ & = f(x) \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Esto verifica que nuestros factores son correctos, y verifica que nuestra respuesta final es

\[x^{2}+5x+4=(x+4)(x+1)\]

Veamos algunos ejemplos más para que podamos compararlos y buscar algunos patrones que puedan ayudarnos a factorizar más rápidamente.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Factoring a Quadratic

Factorizar la función cuadrática\(g(x) = x^2 -5x +6\).

Solución

Empezaremos como hicimos en nuestro último ejemplo buscando pares de enteros que se multipliquen para darnos 6:

\[\begin{array}{lll}{\text{(A) 6 and 1}}&{\qquad}&{\text{(C) -6 and -1}} \\ {\text{(B) 3 and 2}}&{\qquad}&{\text{(D) -3 and -2}}\end{array}\nonumber\]

De estos pares, sólo -3 y -2 se suman para darnos -5, el\(x\) coeficiente en la cuadrática. Esto nos dice que los factores son\(x-3\) y\(x-2\). Entonces, tenemos

\[x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)\]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Factoring a Quadratic

Factorizar la función cuadrática\(h(x) = x^2 -7x -18\).

Solución

Empezaremos como hicimos en nuestro último ejemplo buscando pares de enteros que se multipliquen para darnos -18:

\[\begin{array}{lll}{\text{(A) -18 and 1}}&{\qquad}&{\text{(D) -3 and 6}} \\ {\text{(B) -9 and 2}}&{\qquad}&{\text{(E) -2 and 9}} \\ {\text{(C) -6 and 3}}&{\qquad}&{\text{(F) -1 and 18}}\end{array}\nonumber\]

De estos pares, sólo -9 y 2 suman para darnos -7, el\(x\) coeficiente en la cuadrática. Esto nos dice que los factores son\(x-9\) y\(x+2\). Entonces, tenemos

\[x^{2}-7x-18=(x-9)(x+2)\]

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Factoring a Quadratic

Factorizar la función cuadrática\(m(x) = x^2 +3x -18\).

Solución

Empezaremos como hicimos en nuestro último ejemplo buscando pares de enteros que se multipliquen para darnos -18:

\[\begin{array}{lll}{\text{(A) -18 and 1}}&{\qquad}&{\text{(D) -3 and 6}} \\ {\text{(B) -9 and 2}}&{\qquad}&{\text{(E) -2 and 9}} \\ {\text{(C) -6 and 3}}&{\qquad}&{\text{(F) -1 and 18}}\end{array}\nonumber\]

De estos pares, sólo -3 y 6 se suman para darnos 3, el\(x\) coeficiente en la cuadrática. Esto nos dice que los factores son\(x-3\) y\(x+6\). Entonces, tenemos

\[x^{2}+3x-18=(x-3)(x+6)\]

Observe que en los ejemplos\(\PageIndex{6}\) y\(\PageIndex{7}\), el término constante en la cuadrática es positivo. Esto nos dice que nuestros enteros en nuestros pares ambos necesitan tener el mismo signo. ¿Qué pasa en ejemplos\(\PageIndex{8}\) y\(\PageIndex{9}\)? ¿Qué relación tiene la constante en la cuadrática con los enteros en nuestros pares? En ejemplos\(\PageIndex{8}\) y\(\PageIndex{9}\), ¿hay algo sobre el coeficiente sobre x en la cuadrática que se relacione con los signos de los enteros en los pares? Es posible que le resulte útil identificar algunos de estos patrones, y le ayudará a comprender las ideas para factorizar más profundamente. No sientas que tienes que memorizar estos patrones; es mucho mejor estar cómodo con el proceso de factorización que recordar reglas que no entiendes la aplicación de.

Factores y Raíces

Cuando encontramos los factores de un polinomio, estamos a solo un par de pasos de encontrar las raíces de la función. Las raíces son las entradas de la función que tienen cero para su salida. Por ejemplo,\(f(x)=x^2+5x+4\) del ejemplo\(\PageIndex{6}\) tiene\(x=-1\) y\(x=-4\) como raíces porque\(f(-1)=0\) y\(f(-4)=0\). Vimos en el ejemplo\(\PageIndex{6}\) que los factores de\(f(x)\) son\(x+1\) y\(x+4\). Podemos utilizar estos factores para encontrar las raíces y viceversa. Si establecemos cada factor igual a 0 y resolvemos para la variable de entrada\(x\), obtendremos las raíces de la función:

\[\begin{array}{lll}{x+1=0}&{\qquad}&{x+4=0} \\ {x=-1}&{\qquad}&{x=-4}\end{array}\]

Del mismo modo, podemos ir hacia atrás y encontrar los factores desde las raíces:

\[\begin{array}{lll}{x=-1}&{\qquad}&{x=-4} \\ {x+1=0}&{\qquad}&{x+4=0}\end{array}\]

Esta relación entre factores y raíces es bastante útil porque existe una fórmula agradable que nos ayudará a determinar las raíces de una cuadrática: la fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática nos dice que las raíces de la función\(f(x) = ax^2 + bx +c\) son:

\[\label{eqn:quadratic_formula} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

El\(\pm\) signo nos dice que tendremos dos raíces; una raíz la encontramos usando\(+\) y la segunda raíz la encontramos usando\(-\). Esta es una forma más compacta de expresar la fórmula para las raíces, en lugar de escribirla como dos fórmulas separadas. La función cuadrática es bastante útil cuando no podemos encontrar fácilmente los factores como en nuestros ejemplos anteriores. Los problemas rara vez te dirán que necesitas usar la fórmula cuadrática; depende de ti tomar esa decisión. De hecho, algunas personas prefieren usar la fórmula cuadrática todo el tiempo en lugar de factorizar como lo hicimos antes. Echemos un vistazo a su uso.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Factoring a Quadratic

Factorizar la función cuadrática\(h(t)=6t^2-7t+2\).

Solución

Aquí, nuestra función tiene en\(t\) lugar de\(x\), pero realmente está en la forma que necesitamos para usar la fórmula cuadrática; solo nos aseguraremos de dar la respuesta con t en lugar de x Encontraremos nuestras raíces, y luego las usaremos para ayudarnos a encontrar nuestros factores. Comenzaremos identificando los valores para a, b y c, y luego conectándolos a la fórmula cuadrática. El coeficiente encendido\(t^2\) es 6, así que eso nos dice\(a=6\). El coeficiente encendido\(t\) es -7, así que eso nos dice\(b=-7\). Por último, la constante es 2, entonces\(c=2\). Tomaremos estos valores y los conectaremos a nuestra fórmula:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} t & = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(6)(2)}}{2(6)} \\ & = \frac{-(-7) \pm \sqrt{49 - 48}}{2(6)} \\ & = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{12} \\ & = \frac{7 \pm 1}{12} \\ \end{split}\end{aligned}\end{align}\]A partir de aquí, nos dividiremos en dos fórmulas para que obtengamos ambas raíces:

\[\begin{align}t&= \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \\ t &= \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\end{align}\]

Esto nos dice nuestras dos raíces:\(\frac{1}{2}\) y\(\frac{2}{3}\). Si reescribimos para encontrar nuestros factores, obtenemos\(t-\frac{1}{2}\) y\(t- \frac{2}{3}\) como factores. No obstante, estos no son suficientes. Si los multiplicamos,\(t^2\) sólo tiene un coeficiente de 1, no de 6, como en\(h(t)\). Esto nos dice que también tenemos 6 como factor, por lo que nuestra respuesta final es

\[h(t)=6\left(t-\frac{1}{2}\right)\left(t-\frac{2}{3}\right)\]

A mucha gente podría no gustarle esta respuesta final y puede tener un factor ligeramente diferente. Podríamos reescribir un poco esta respuesta:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} h(t) & = 6 \bigg(t-\frac{1}{2} \bigg) \bigg(t-\frac{2}{3} \bigg) \\ & = 2 \times 3 \times \bigg(t-\frac{1}{2} \bigg) \bigg(t-\frac{2}{3} \bigg) \\ & = \bigg[2 \bigg(t-\frac{1}{2} \bigg) \bigg] \bigg[ 3 \bigg(t-\frac{2}{3} \bigg) \bigg] \\ & = (2t-1)(3t-2) \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ambas respuestas son igualmente válidas; algunos prefieren la segunda forma porque no hay fracciones. Algunos prefieren la primera forma porque es más fácil identificar las raíces,\(t=\frac{1}{2}\) y\(t=\frac{2}{3}\). De cualquier manera, la función\(h(t)\) se considera factorizada.

Cuadráticas irreducibles

Como mencionamos anteriormente, no todas las cuadráticas pueden ser factorizadas. Si una cuadrática no puede ser factorizada, decimos que es irreducible, es decir, no se puede “reducir” en el producto de funciones lineales. Estas cuadráticas se pueden identificar mediante el uso de la fórmula cuadrática. Si una cuadrática es irreducible, nos encontraremos con un problema usando la fórmula cuadrática. El discriminante, la parte bajo la raíz cuadrada, será negativo. Esto nos dirá que la función no tiene raíces numéricas reales, solo un par de raíces imaginarias. Si estás factorizando un polinomio y te encuentras con un cuadrático irreducible, solo déjalo en paz. El cuadrático irreducible sería considerado uno de los factores del polinomio.

Funciones cúbicas de factorización

Factorizar funciones cúbicas puede ser un poco complicado. Existe una fórmula especial para encontrar las raíces de una función cúbica, pero es muy larga y complicada. De hecho, muy raramente se acostumbra. En cambio, los matemáticos construyen a partir de las ideas que ya aprendimos en esta sección. Por lo general, el primer lugar para comenzar con una función cúbica es encontrando una de las raíces. Para ello, comenzamos enumerando todos los factores enteros del término constante. Entonces, conectamos cada uno de estos factores a la función para ver si alguno de ellos es raíz. Comenzamos probando los números que son más fáciles de trabajar como 1,\(-1\), y otros enteros pequeños. Una vez que encontremos una raíz, dejaremos de enchufar factores del término constante porque sabemos que hemos encontrado un factor del polinomio. Antes de preocuparnos por el siguiente paso del proceso, veamos este primer paso.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\): Finding a Factor of a Cubic Function

Encuentra un factor de la función\(f(x)=x^3 +8x^2+21x+18\).

Solución

Aquí, el término constante del cúbico es\(18\), por lo que comenzaremos enumerando todos sus factores, positivos y negativos. Los factores son: 18, 9, 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -6, -9 y -18. Hay un montón, así que como se mencionó anteriormente, comenzaremos revisando los números “fáciles” para ver si alguno de ellos es de raíces.

• \(f(1) = (1)^3+8(1)^2+21(1)+18 = 1 + 8 + 21 +18 \neq 0\)

• \(f(-1) = (-1)^3+8(-1)^2+21(-1)+18 = -1 + 8 -21 + 18 \neq 0\)

• \(f(-2) = (-2)^3+8(-2)^2+21(-2)+18 = -8 + 32 - 42 + 18 = 0\)

Ya que\(f(-2)=0\), sabemos que\(x=-2\) es una raíz de\(f(x)\), diciéndonos que

\[x+2\text{ is a factor of }f(x)\]

Observe que en el ejemplo anterior, empezamos primero con los números fáciles. Además, podemos eliminar la mitad de estos factores con bastante rapidez. En\(f(x)\), cada término tiene un coeficiente positivo. Sabemos que si x es positivo,\(x^3\) y también\(x^2\) son positivos, y no podemos sumar un montón de números positivos y obtener 0, así que no necesitamos verificar ninguno de los factores positivos, solo los factores negativos.

Esto nos da un factor, pero no nos ayuda a factorizar completamente este polinomio. Podríamos intentar buscar otras raíces, pero ya sabemos que es posible tener como factor una cuadrática irreducible, o incluso una cuadrática que no tenga raíces enteras. El método más confiable para encontrar otros factores de un cúbico es con división polinómica larga. La división polinómica larga funciona de manera similar a la división larga regular con números. Terminaremos de factorizar\(f(x)=x^3 +8x^2+21x+18\) como ejemplo, y describiremos cada paso en detalle. Primero, queremos comenzar con el mismo tipo de montaje que usamos para la división larga, pero esta vez vamos a estar dividiendo\(x^3 +8x^2+21x+18\) por\(x+2\), el factor que ya encontramos.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\): Factoring a Cubic Function

Completamente factorizar la función\(f(x)=x^3+8x^2+21x+18\).

Solución

En ejemplo\(\PageIndex{11}\), encontramos que\(x=-2\) es una raíz de\(f(x)\), diciéndonos que\(x+2\) es un factor de\(f(x)\). Ahora que tenemos un factor, podemos usar la división polinómica larga para ayudar a encontrar los factores restantes. Empezaremos configurando la división polinómica larga. La configuración inicial es como una división larga con números:

\[x+2\overline{|x^{3}+8x^{2}+21x+18}\]

Con la división polinomial larga, nos enfocaremos en el poder más alto de\(x\) en cada paso. Inicialmente, el término de poder más alto de nuestro dividendo,\(x^3+8x^2+21x+18\) es\(x^3\), y el término de poder más alto del divisor,\(x+2\), es\(x\). Si dividimos\(x^3\) por\(x\), obtenemos\(x^2\). Esto irá por encima de la línea, y restaremos\(x^2(x+2)=x^3+2x^2\) del dividendo:

\[\begin{align}\begin{aligned} &x^{2} \\x+2&\overline{|x^{3}+8x^{2}+21x+18} \\ &\underline{-(x^{3}+2x^{2})} \\ &\qquad\qquad 6x^{2}+21x\end{aligned}  \end{align}\]

Cuando hacemos la resta, nos quedamos con\(6x^2\), y bajamos el siguiente término de poder más alto del dividendo,\(21x\). Nuevamente, solo veremos los términos de poder más altos,\(6x^2\), y\(x\). Si nos dividimos\(6x^2\) por\(x\), obtenemos\(6x\). Esto va por encima de la línea, y restaremos\(6x(x+2)=6x^2+12x\) de lo que queda del dividendo:

\[\begin{align}\begin{aligned} &x^{2}+6x \\ x+2&\overline{|x^{3}+8x^{2}+21x+18} \\  &\underline{-(x^{3}+2x^{2})} \\ &\qquad\qquad 6x^{2}+21x \\&\qquad\quad\: \underline{-(6x^{2}+12x)} \\&\qquad\qquad\qquad\quad\:\: 9x+18\end{aligned}   \end{align}\]

Esta resta nos deja con\(9x\), y bajamos el último término de nuestro dividendo,\(18\). Mirando los términos de poder más altos, tenemos\(9x\) y\(x\). Si nos dividimos\(9x\) por\(x\), obtenemos\(9\). Esto va por encima de la línea, y restaremos\(9(x+2)=9x+18\) de lo que queda del dividendo:

\[\begin{align}\begin{aligned} &x^{2}+6x \\ x+2&\overline{|x^{3}+8x^{2}+21x+18} \\  &\underline{-(x^{3}+2x^{2})} \\ &\qquad\qquad 6x^{2}+21x \\&\qquad\quad\: \underline{-(6x^{2}+12x)} \\&\qquad\qquad\qquad\quad\:\: 9x+18\\ &\qquad\qquad\qquad\:\:\underline{-(9x+18)} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:0\end{aligned}   \end{align}\]

Después de completar la resta, obtenemos\(0\) y no nos quedan otros términos de nuestro dividendo. Esto significa que hemos terminado con la división polinómica larga y no tenemos resto. La falta de remanente verifica que\(x+2\) es un factor de\(f(x)\); si hubiera un resto, no sería un factor. Hasta el momento, tenemos eso\(f(x) = (x+2)(x^2+6x+9)\).

Aún no hemos terminado del todo, porque tenemos un término cuadrático, y no hemos comprobado para ver si podemos factorizarlo o si es irreducible. Intentaremos factorizarlo primero. Vemos que el término constante es 9; nuestros pares de factores de 9 son: 9 y 1, 3 y 3, -3 y -3, y -9 y -1. El par 3 y 3 se suma a 6, así que vemos eso\(x^2+6x+9 = (x+3)(x+3)\). Podemos condensar esto un poco escribiendo\((x+3)^2\) en lugar de\((x+3)(x+3)\).

En conjunto, tenemos que

\[f(x)=(x+2)(x+3)^{2}\]

No vamos a mostrar cómo factorizar polinomio con un grado superior a 3, pero el proceso es muy similar. Comenzarías tratando de encontrar una raíz; una vez que encuentres una raíz puedes reescribir para obtener un factor y puedes hacer división polinómica larga. El polinomio división larga te dirá un segundo factor. Sigue repitiendo esos pasos hasta que solo tengas factores cuadráticos y lineales.

Factorización por Agrupación

En algunas circunstancias especiales, podemos usar un método diferente para factorizar cubics, llamado factorización por agrupación. Con este método, “agruparemos” los\(x^2\) términos\(x^3\) y juntos y factorizaremos cualquier término común, y “agruparemos” los términos\(x\) y los términos constantes y factorizaremos cualquier término común de esos. Este método es rápido y eficiente cuando funciona, pero no siempre funciona. Veremos un ejemplo donde sí funciona y uno en el que no.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\): Factoring a Cubic Function

Completamente factor\(f(t) = t^3 + t^2 -4t-4\).

Solución

Comenzaremos agrupando y luego factorizando cada grupo:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} f(t) = t^3 + t^2 -4t -4 & = (t^3+t^2) + (-4t-4) \\ & = t^2(t+1) + (-4)(t+1) \\ & = t^2(t+1) -4(t+1) \\ & = (t^2-4)(t+1) \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Observe que después de factorizar cada grupo, nos quedamos con\(t+1\) para cada uno. Esto quiere decir que\(t+1\) es un factor de\(f(t)\). Lo que factorizamos,\(t^2\) y\(-4\), combinamos para darnos otro factor,\(t^2-4\). Esto es cuadrático, así que necesitamos ver si se puede factorizar. Los pares de factores de la constante\(-4\),, son -4 y 1, -2 y 2, y -1 y 4. Vemos que -2 y 2 se suman a cero, diciéndonos que los factores de\(t^2-4\) son\(t-2\) y\(t+2\). En total, obtenemos

\[f(t)=(t+1)(t-2)(t+2)\]

Para ver un ejemplo donde la factorización por agrupación no funciona, echemos un vistazo a la función de Example\(\PageIndex{12}\),\(f(x)=x^3+8x^2+21x+18\). Podemos comenzar agrupando y factorizando cada grupo:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} f(x) = x^3+8x^2+21x+18 & = (x^3+8x^2) + (21x+18) \\ & = x^2(x+8) + 3(7x+6) \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Observe que lo que queda después de sacar los factores comunes son\(x+8\) y\(7x+6\). Estos son dos términos muy diferentes, y ninguno se parece a ninguno de los factores que encontramos anteriormente:\(x+2\) y\(x+3\). Dado que estos son diferentes, no podemos encontrar ningún factor de\(f(x)\) esta manera. Puede ser una buena idea probar factorización agrupando antes de sumergirse en el método polinomial de división larga, pero la factorización por agrupación no está garantizada para ayudarle a encontrar los factores de su función. Como vimos en Ejemplo\(\PageIndex{13}\), cuando factorizar por agrupación funciona, funciona bien y es muy rápido, pero es una caída es que no se garantiza encontrar un factor.

Patrones comunes

En nuestra sección sobre expansión, vimos algunos patrones comunes que se pueden usar como atajos al expandir ciertas formas. Estos patrones funcionan igualmente bien en la dirección opuesta; si vemos algo que se ajusta a una de las formas expandidas, sabremos por el patrón cuáles son los factores. Aquí están esos patrones, y algunos otros, escritos primero con la forma expandida.

• \(a^2 + 2ab+b^2 = (a+b)^2\)

• \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)

• \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3\)

• \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

• \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Es bueno señalar aquí que\(a\) y\(b\) puede ser cualquier cosa, enteros o decimales, positivos o negativos, y pueden incluir variables. Por ejemplo, después de completar la división polinómica, terminamos con\(f(x)=(x+2)(x+6x+9)\). El cuadrático se ajusta a uno de nuestros patrones: si lo dejamos\(a=x\) y\(b=3\), se ajusta al primer patrón. Este patrón nos dice entonces eso\(x^2+6x+9=(x+3)^3\), que pudimos encontrar con nuestros métodos anteriores. Memorizar estos patrones puede ser útil y ahorrar algo de tiempo, pero es mucho más importante estar cómodo con los otros métodos que discutimos. Echemos un vistazo a un ejemplo de usar un patrón donde\(a\) y\(b\) son un poco más complicados.

Ejemplo\(\PageIndex{14}\): Factoring Using Patterns

Factorizar\(g(t) = 8t^3 - \frac{1}{27}\) completamente.

Solución

Aquí vemos que sólo\(g(t)\) tiene dos términos, y que uno de ellos tiene\(t^3\). Esto me apunta hacia los dos últimos patrones: ambos tienen partes elevadas a la tercera potencia y sólo tienen dos términos cada uno. Con\(g(t)\), tenemos resta, no suma, por lo que esto nos apunta a la última regla. Tenemos que averiguar qué\(a\) y\(b\) podría ser. El patrón comienza con\(a^3\) y\(g(t)\) empieza con\(8t^3\), así que parece que tenemos\(a^3=8t^3\). Esto funciona si\(a=2t\) desde\((2t)^3 = 8t^3\).

A continuación, tenemos que averiguarlo\(b\). El segundo término en el patrón es\(b^3\) y el segundo término en\(g(t)\) es\(\frac{1}{27}\). Esto nos dice eso\(b^3 = \frac{1}{27}\), o aquello\(b=\frac{1}{3}\).

Ahora, podemos usar el patrón:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} g(t) &= 8t^3 - \frac{1}{27} \\ &= (2t)^3 - \bigg( \frac{1}{3} \bigg)^3 \\ & = \bigg[2t-\frac{1}{3} \bigg]\bigg[(2t)^2 + (2t)\bigg(\frac{1}{3}\bigg) + \bigg(\frac{1}{3}\bigg)^2 \bigg] \\ & = \bigg(2t-\frac{1}{3} \bigg)\bigg(4t^2 + \frac{2t}{3} + \frac{1}{9} \bigg) \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

No necesitamos ir más allá. Normalmente, verificaríamos para ver si la cuadrática se puede factorizar o si es irreducible, pero todos los patrones se han reducido por completo, es decir, que nunca podremos factorizar la cuadrática en este patrón.