1.4: Radicales y Exponentes

En esta sección, veremos las propiedades de los exponentes. Aquí, estas reglas se aplican a cualquier tipo de función que involucre exponentes, es decir, funciones de potencia y funciones exponenciales. Sin embargo, esta sección se centrará principalmente en las funciones de potencia, funciones donde la base es la variable y el exponente es una constante. Discutiremos varias reglas de exponentes, le mostraremos cómo usarlas y explicaremos el razonamiento detrás de estas reglas.

Nota

En esta sección, estamos asumiendo que todas las variables son estrictamente positivas, es decir, que no pueden ser negativas ni pueden ser cero

Esto es para asegurar que no vamos a tener ningún problema con dividir por cero o tratar de tomar una raíz cuadrada de un número negativo. Posteriormente, cuando discutamos dominios de funciones, revisaremos estos problemas y explicaremos cómo tratar las variables generales y no solo las variables que son estrictamente positivas. Antes de sumergirnos en las diferentes reglas, necesitamos tener una comprensión sólida de qué son los exponentes y lo que significan.

Cuando empezamos a aprender matemáticas, a menudo comenzamos con la adición. Entonces vemos rápidamente que la adición repetida puede ser útil. Nos encontramos con problemas como: “Tienes 4 perros y quieres darle 3 golosinas a cada perro. ¿Cuántas golosinas necesitas?” Resolvemos estos con adición repetida:\(3+3+3+3 = 12\), o tres golosinas para cada uno de los cuatro perros. Luego aprendemos que la adición repetida ocurre a menudo, por lo que desarrollamos una nueva notación, la multiplicación. Para nuestro problema de ejemplo, haríamos\(3 \times 4\) para decir que necesitamos sumar tres, cuatro veces. Los exponentes llevan esto un paso más allá. Cuando necesitamos hacer multiplicación repetida, como si necesitamos encontrar el volumen de un cubo, podemos acortar la notación usando exponentes. Para encontrar nuestro volumen, multiplicaríamos el largo lateral por sí mismo tres veces para obtener longitud por ancho por alto, pero con un cubo estas longitudes son todas iguales. Podemos escribir\(V(x) = (x)(x)(x)=x^3\). Aquí, el exponente nos dice cuántas veces hacer la multiplicación.

La regla del primer exponente que examinaremos es

\[ x^ax^b=x^{a+b}\label{add}\]

Aquí, el primer término, nos\(x^a\) dice multiplicar\(x\) por sí mismo los\(a\) tiempos y el segundo término nos dice que lo multipliquemos por\(b\) veces. Juntos, eso dice que necesitamos multiplicar\(x\) un total de\(a+b\) veces, dándonos\(x^{a+b}\). A modo de ejemplo,\(x^2x^3 = x^{2+3} = x^5\).

A continuación, veamos

\[x^{-a} = \frac{1}{x^a}\]

Esta regla se construye a partir de nuestra última regla. Si la tenemos\(x^5x^{-2}\), la regla nos\(\eqref{add}\) dice que realmente tenemos\(x^{5+(-2)} = x^{5-2} = x^3\). Pasamos de haber\(x\) multiplicado 5 veces a haber\(x\) multiplicado sólo 3 términos, es decir, hemos eliminado dos de las multiplicaciones. Eliminamos una multiplicación a través de una división:\[\frac{x^5}{x^2} = \frac{(x)(x)(x)(x)(x)}{(x)(x)} = (x)(x)(x) = x^3\] Esto nos muestra que un exponente negativo nos dice que tenemos división en lugar de multiplicación. También podemos combinar esta regla con algunas de nuestras reglas a partir de fracciones. Si tenemos\(\frac{1}{x^{-a}}\), podemos comenzar\(x^{-a}\) reemplazando por\(\frac{1}{x^a}\). Esto nos da

\[\frac{1}{x^{-a}} = \frac{1}{\frac{1}{x^a}}\]

Por nuestras reglas de fracciones, sabemos que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco, así que tenemos

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{1}{x^{-a}} &= \frac{1}{\frac{1}{x^a}} \\ & = 1 \times \frac{x^a}{1} \\ & = x^a \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

La tercera regla que discutiremos es

\[ (x^a)^b = x^{ab}\label{mult}\]

Esta regla también se construye directamente a partir de nuestra primera regla. \((x^a)^b\)nos dice que necesitamos multiplicar\(x^a\) por sí mismos los\(b\) tiempos. Ya que\(x^a\) multiplica\(x\) por sí mismo los\(a\) tiempos, nos\((x^a)^b\) dice que multipliquemos\(x\) por sí mismo un total de\(ab\) veces. Por ejemplo,\((x^2)^3 = (x^2)(x^2)(x^2) = x^{2+2+2} = x^{(2)(3)} = x^6\). También podemos usar esta regla cuando hay un producto o cociente dentro de los paréntesis, pero no si hay una suma o resta. Por ejemplo, podemos decir eso\((x^2y^3)^2 = (x^2)^2(y^3)^2 = x^4 y^6\), y eso\(\displaystyle \Bigg (\frac{x^2}{y^3}\Bigg) ^2 = \frac{(x^2)^2}{(y^3)^2} = \frac{x^4}{y^6}\), pero no podemos aplicar esta regla a\((x^2+y^3)^2\). Aquí, necesitaríamos reescribir como\((x^2+y^3)(x^2+y^3)\) y distribuir como vimos en nuestra sección anterior sobre expansión.

Nuestra última regla se centra en la función inversa, o cómo “deshacer” un exponente. Ya hemos visto estas funciones antes. Estas son nuestras funciones raíz. Una raíz cuadrada “deshace” la cuadratura y una raíz cúbica “deshace” el cubo. En general, tenemos

\[(x^a)^{1/a} = x\]

y

\[(x^{1/a})^a = x\]

Ambos provienen de la regla\(\eqref{mult}\). Adicionalmente, es posible que veas\(x^{1/a}\) escrito como\(\sqrt[a]{x}\). Los matemáticos llaman a\(\sqrt[a]{x}\) la forma radical y\(x^{1/a}\) a la forma exponencial. Ambos tienen el mismo significado, simplemente se ven un poco diferentes. En cualquier momento que veas\(\sqrt[a]{x}\), puedes reemplazarlo por\(x^{1/a}\) y viceversa.

Todas estas reglas serán bastante útiles en el cálculo. Tanto en el cálculo integral como en el diferencial, tendremos reglas que funcionan bien cuando tenemos una función de poder, pero no funcionarán para otras formas de funciones. Al poder reescribir funciones como\(f(x) = \frac{1}{x^2}\), como funciones de potencia (\(f(x) = x^{-2}\)aquí), se simplificarán otros cálculos. Nuestras reglas se resumen a continuación.

Reglas de exponente

• \(x^ax^b=x^{a+b}\)

• \(\displaystyle x^{-a} = \frac{1}{x^a}\)

• \(\displaystyle \frac{1}{x^{-a}} = x^a\)

• \((x^a)^b = x^{ab}\)

• \(x^{1/a} = \sqrt[a]{x}\)

Veamos algunos ejemplos de trabajo con reglas de exponente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Simplifying Exponents

Simplificar\(\displaystyle \Bigg( \frac{x^2 y^4}{x\sqrt{y}}\Bigg)^2\)

Solución

Cada vez que simplificamos, necesitamos recordar nuestro orden de operaciones. El orden de las operaciones nos dice comenzar con términos que están dentro de paréntesis, por lo que trabajaremos en simplificar la fracción antes de preocuparnos por el exponente en el exterior. Primero, escribiremos todo usando exponentes en lugar de radicales para que podamos usar nuestras reglas de exponentes más fácilmente en el resto del problema.

\[\Bigg( \frac{x^2 y^4}{x\sqrt{y}}\Bigg)^2 = \Bigg( \frac{x^2 y^4}{xy^{1/2}}\Bigg)^2\]

A continuación, eliminaremos la fracción mediante el uso de exponentes negativos en los términos que están en el denominador. Después de reescribir, combinaremos cualquier término similar.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \Bigg( \frac{x^2 y^4}{xy^{1/2}}\Bigg)^2 & = \Big( x^2 y^4 x^{-1} y^{-1/2} \Big)^2 \\ & = \Big( x^2 x^{-1} y^4 y^{-1/2} \Big)^2 \\ & = \Big( x^{2-1} y^{4-1/2} \Big)^2 \\ & = \Big( x^1 y^{8/2-1/2}\Big)^2 \\ & = \Big( x y^{7/2})^2 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora que todo dentro de los paréntesis se simplifica lo más posible, usaremos nuestra regla del tercer exponente para terminar de simplificar. Nuestra tercera regla dice eso\((x^a)^b = x^{ab}\). Tenemos que asegurarnos de distribuir el exponente que está fuera de los paréntesis a cada término dentro de los paréntesis. Esto nos da

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \Big( x y^{7/2}\Big)^2 &= (x)^2 (y^{7/2})^2 \\ &= x^2 y^{14/2} \\ & = x^2y^7 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Entonces, al final, obtenemos eso

\[\left(\frac{x^{2}y^{4}}{x\sqrt{y}}\right)^{2}=x^{2}y^{7}\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Simplifying Exponents

Simplificar\(\displaystyle \Big( \sqrt{y} + \sqrt{x}\Big)^2\).

Solución

Empezaremos de nuevo enfocándonos en los términos dentro de los paréntesis y reescribiendo todos los radicales como exponentes. Esto nos da

\[\Big( \sqrt{y} + \sqrt{x} \Big)^2 = \Big( y^{1/2} + x^{1/2} \Big)^2\]

No hay nada que podamos simplificar dentro de los paréntesis, por lo que ahora necesitamos aplicar el exponente en el exterior de los paréntesis. Dentro de los paréntesis tenemos dos términos que se agregan, por lo que no podemos aplicar una regla de exponente aquí. Tendremos que reescribir y luego expandirnos.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \Big(y^{1/2} + x^{1/2} \Big)^2 & = \Big(y^{1/2} + x^{1/2} \Big)\Big(y^{1/2} + x^{1/2} \Big) \\ & = (y^{1/2})^2 + 2 y^{1/2}x^{1/2} + (x^{1/2})^2 \\ & = y + 2 y^{1/2}x^{1/2} + x \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

No tenemos términos similares, así que no podemos simplificar más. Podríamos reescribir ligeramente, pero esto es una cuestión de preferencia personal. Tenemos otras tres formas en las que podríamos escribir esta respuesta final. Podríamos usar reglas exponentes para reescribir el término medio ya\(y^{1/2}x^{1/2}=(yx)^{1/2}\), dándonos\(y+2(yx)^{1/2} + x\). También podríamos usar radicales y escribir cualquiera\(y + 2\sqrt{y}\sqrt{x} + x\) o\(y+2\sqrt{yx} + x\). Todas estas cuatro respuestas están completamente simplificadas, y son igualmente válidas. Probablemente la forma más común es

\[\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)^{2}=y+2\sqrt{yx}+x\]

Mucha gente lucha por evaluar radicales o exponentes fraccionarios a mano. Echemos un vistazo a cómo podemos evaluar este tipo de términos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Evaluating Radicals

Evaluar\(8^{2/3}\).

Solución

A primera vista, esto parece que no vamos a poder hacer mucho con él. Sin embargo, podemos usar nuestras reglas de exponente para ayudarnos a evaluarlo. Podemos reescribir esto como\((8^2)^{1/3}\) o como\((8^{1/3})^2\). Preferimos la segunda versión. Con la primera versión tendríamos\((8^2)^{1/3} = (64)^{1/3}\), pero esto es complicado de tratar a mano porque no mucha gente tiene cubos perfectos memorizados, por lo que necesitaríamos factorial 64.

Si usamos la segunda versión,\((8^{1/3})^2\), empezaríamos por encontrar la raíz cúbica de 8. Cuando facetamos, obtenemos\(8=2\times2\times2\), lo que nos demuestra eso\(2=8^{1/3}\). Esto nos da\((8^{1/3})^2 = (2)^2 = 4\), así que nuestra respuesta final es

\[8^{2/3}=4\]